离散数学习题答案(耿素云屈婉玲)

2024年3月1日发(作者：宣城二模数学试卷理科)

离散数学习题答案（耿素云屈婉玲）

离散数学习题答案

习题二及答案：（P38）

5、求下列公式的主析取式，并求成真赋值： （2）()()p q q

r ?→∧∧ 解：原式()p q q r ?∨∧∧q r ?∧()p p q r ??∨∧∧

()()p q r p q r ??∧∧∨∧∧37m m ?∨，此即公式的主析取式，

所以成真赋值为011，111。

6、求下列公式的主合取式，并求成假赋值： （2）()()p q p r

∧∨?∨

解：原式()()p p r p q r ?∨?∨∧?∨∨()p q r ??∨∨4M ?，此即公式的主合取式，

所以成假赋值为100。

7、求下列公式的主析取式，再用主析取式求主合取式： （1）()p

q r ∧∨ 解：原式()(()())p q r r p p q q r ?∧∧?∨∨?∨∧?∨∧

()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q

r ?∧∧?∨∧∧∨?∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧ ()()()()()p q r p q r p q r p q r p

q r ??∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧∧

13567m m m m m ?∨∨∨∨，此即主析取式。

主析取式中没出现的极小项为0m ，2m ，4m ，所以主合取式中含有三个极大项0M ，2M ，4M ，故原式的主合取式

024M M M ?∧∧。

9、用真值表法求下面公式的主析取式： （1）()()p q p r ∨∨?∧

解：公式的真值表如下：

由真值表可以看出成真赋值的情况有7种，此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析取式，故主析取式

1234567m m m m m m m ?∨∨∨∨∨∨

习题三及答案：（P52-54）

11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。 前提：,,,p q q r

r s p ?∨?∨→

结论：s 证明：

① p 前提引入 ② p q ?∨ 前提引入 ③ q ①②析取三段论 ④

q r ?∨ 前提引入

⑤ r ③④析取三段论 ⑥

r s → 前提引入

⑦ s ⑤⑥假言推理

15、在自然推理系统P 中用附加前提法证明下面推理： （2）前提：()(),()p q r s s t u ∨→∧∨→ 结论：

p u →

证明：用附加前提证明法。 ① p 附加前提引入 ② p q ∨ ①附加

③ ()()p q r s ∨→∧ 前提引入 ④ r s ∧ ②③假言推理

⑤ s ④化简

⑥ s t ∨ ⑤附加

⑦

()s t u ∨→ 前提引入

⑧ u ⑥⑦假言推理 故推理正确。

16、在自然推理系统P 中用归谬法证明下面推理：

（1）前提：p q →?，r q ?∨，r s ∧? 结论：p ?

证明：用归谬法

① p 结论的否定引入

②

p q →? 前提引入 ③ q ? ①②假言推理 ④ r q ?∨ 前提引入

⑤ r ? ③④析取三段论 ⑥ r s ∧? 前提引入

⑦ r ⑥化简 ⑧r r ∧? ⑤⑦合取

由于0r r ∧??，所以推理正确。

17、在自然推理系统P 中构造下面推理的证明：

只要A 曾到过受害者房间并且11点以前没离开，A 就是谋杀嫌犯。A 曾到过受害者房间。如果A 在11点以前离开，看门人会看见他。看门人没有看见他。所以，A 是谋杀嫌犯。

解：设p ：A 到过受害者房间，q ：A 在11点以前离开，r ：A

是谋杀嫌犯，s ：看门人看见过A 。 则前提：()p q r ∧?→，p ，q s

→，s ?

结论：r 证明：

① q s → 前提引入 ② s ? 前提引入 ③ q ? ①②拒取式 ④ p 前提引入

⑤ p q ∧? ③④合取引入

⑥ ()p q r ∧?→ 前提引入 ⑦ r ⑤⑥假言推理

习题五及答案：（P80-81）

15、在自然推理系统N ξ中，构造下面推理的证明： （3）前提：(()())x F x G x ?∨，()xG x ?? 结论：()xF x ? 证明： ① ()xG x ?? 前提引入 ② ()x G x ?? ①置换 ③ ()G c ? ②UI 规则 ④

(()())x F x G x ?∨ 前提引入

⑤ ()()F c G c ∨ ④UI 规则 ⑥ ()F c ③⑤析取三段论

⑦

()xF x ? ⑥EG 规则

22、在自然推理系统N ξ中，构造下面推理的证明：

（2）凡大学生都是勤奋的。晓山不勤奋。所以晓山不是大学生。

解：设F(x)：x 为大学生，G(x)：想是勤奋的，c ：晓山 则前提：(()())x F x G x ?→，()G c ? 结论：()F c ? 证明： ① (()())x F x G x ?→

前提引入 ② ()()F c G c → ①UI 规则 ③ ()G c ? 前提引入 ④

()F c ? ②③拒取式

25、在自然推理系统N ξ中，构造下面推理的证明：

每个科学工作者都是刻苦钻研的，每个刻苦钻研而又聪明的人在他的事业中都将获得成功。大海是科学工作者，并且是聪明的。所以，

大海在他的事业中将获得成功。（个体域为人类集合）

解：设F(x)：x 是科学工作者，G(x)：x 是刻苦钻研的，H(x)：x

是聪明的，I(x)：x 在他的事业中获得成功，c ：大海 则前提：(()())x F

x G x ?→，(()()())x G x H x I x ?∧→，()()F c H c ∧ 结论：()I c 证明：

① ()()F c H c ∧ 前提引入 ② ()F c ①化简

③ ()H c ①化简 ④ (()())x F x G x ?→ 前提引入 ⑤ ()()F c G c →

④UI 规则 ⑥

()G c ②⑤假言推理

⑦ ()()G c H c ∧ ③⑥合取引入 ⑧ (()()())x G x H x I x ?∧→ 前提引入 ⑨ ()()()G c H c I c ∧→ ⑧UI 规则 ⑩ ()I c ⑦⑨假言推理

习题七及答案：（P132-） 22、给定{}1,2,3,4A =

，A 上的关系{}1,3

,1,4,2,3,2,4,3,4

R =，试

（1）画出R 的关系图； （2）说明R 的性质。 解：（1）

●

●

（2）R R 是反自反的，不是自反的；

R 的关系图中任意两个顶点如果有边的都是单向边，故R 是反对称的，不是对称的；

R 的关系图中没有发生顶点x 到顶点y 有边、顶点y 到顶点z 有边，但顶点x 到顶点z 没有边的情况，故R 是

传递的。 26 设{}1,2,3,4,5,6A =，R 为A 上的关系，R 的关系图如图7.13所示：

（1）求2

3,R

R 的集合表达式；

（2）求r(R), s(R), t(R)的集合表达式。 解：（1）由R 的关系图可得{}1,5,2,5,3,1,,4,5R =

所以{}2

3,1,3,3,3,5R R R =?=，{}3

23,1,3,3,3,5R

R R =?=，

可得{}3,1,3,3,3,5,n>=2n

R

=当；

（2）{A r(R)=R

I 1,5,2,5,3,1,3,3,4,5,1,1,2,2,4,4,5,5,6,6

=，

{1()R

1,5,5,1,2,5,5,2,3,1,1,3,,4,5,s R R -==

{}232()R

R ...R

1,5,2,5,3,1,3,3,4,5,3,5t R R R ===

46、分别画出下列各偏序集,A R ≤

的哈斯图，并找出A 的极大元、极小元、最大元和最小元。

（1）{}

A ,,,,,,,,,,,,,I R a d a c a b a e e c e d e ≤

=

解：哈斯图如下：

A 的极大元为e 、极小元为a ； A 的最大元为e 、最小元为a 。

48、设

,B,S A R 和为偏序集，在集合A B ?上定义关系T 如下：

2

,,,A B,,,a b a b a b T a b a Ra b Sb ?

∈??∧

证明T 为A B ?上的偏序关系。 证明：（1）自反性：

1111111111

1,A B R R S b Sb R b Sb ,,,,T a b a a a a a b T a b

a Ra b Sb a b T a b ∈?∴∴∴∧?∧∴任取，则：

为偏序关系，具有自反性，为偏序关系，具有自反性，又，，故满足自反性

（2）反对称性：

112122121

21122,,,A B ,,,,R S b b ,,T a b a b a b T a b a b T

a b a Ra b Sb a Ra b Sb a Ra a Ra a a b Sb b Sb a b a b

∈?∧∧∴∧=∴∧=∴=任取，若且，则有：（1）（2）

，又为偏序关系，具有反对称性，所以，又为偏序关系，具有反对称性，所以，故满足反对称性

（3）传递性：

23332323

313131133,,,,A B ,,,,,,,,,R ,S b Sb b Sb ,,T a b a b

a b a b T a b a b T a b a b T a b a Ra b Sb a b T a b a Ra b Sb a Ra

a Ra a Ra b Sb b Sb a Ra a b T a b ∈??∧?∧∴∧∴∧∴∧?任取，，若且，则有：又为偏序关系，具有传递性，所以又为偏序关系，具有传递性，所以，故满足传递性。

综合（1）（2）（3）知T 满足自反性、反对称性和传递性，故T

为A B ?上的偏序关系。

习题九及答案：（P179-） 8、

S=Q Q,Q S a,b ,x,y a,b x,y ax,ay+b

S ?*?∈*=为有理数集，为上的二元运算，有

（1）S *运算在上是否可交换、可结合？是否为幂等的？

（2）S *运算是否有单位元、零元？如果有，请指出，并求出中所有可逆元素的逆元。 解：（1）

,a,b xa,xb+y ax,bx+y a,b ,x y x y *==≠*∴*运算不具有交换律

()()

(),a,b c,d

ax,bx+y c,d acx,adx+bx+y ,a,b c,d ,*ac,ad+b

xac,xad+xb+y acx,adx+bx+y ,a,b c,d x y x y x y x y

**=*=**====**∴*而运算有结合律

2a,b s a,b a,b a ,a,b ad b ∈*=+≠∴*任取，则有：运算无幂等律

（2）

()()a,b *,a,b a,b s ax,ay+b a,b a,b s ax a a x 10a,b ay b b ay 0x

10x 1

y 0y 0

101010

x y =?∈=?∈?=?-=?∴+==???-==??∴

==??∴**∴*令对均成立则有：对均成立

对成立必定有运算的右单位元为，，可验证，也为运算的左单位元，运算的单位元为，

()()()a,b *,,,a,b s a,b *,,ax,ay+b ,a 1x 0ax x a 1y+b 0ay b y a

1y+b 0a,b s a,b *,,a,b s x y x y x y x y x y x y

x y x y =?∈=?=?-=?=??

-=+=

-=?∈=?∈令，若存在使得对上述等式均成立，则存在零元，否则不存在零元。由由于不可能对均成立，

故不可能对均成立，故不存在零元；

a,b ,a,b *,e 101x ax 1a

a ay

b 0b y a a 0a,b 1b a a,b ,a a

x y x y ==?

=?=≠??+=??=-

∴=≠-设元素的逆元为，则令，（当0）

当时，的逆元不存在；

当0时，的逆元是

11

、{}S 12S S ?

=***设，，...,10，问下面的运算能否与构成代数系统，如果能构成代数系统则说明运算是否满足交换律、结合律，并求运算的单位元和零元。