2024年3月1日发(作者：2022江苏专转本数学试卷)
第一章 命题逻辑基本概念
课后练习题答案
1.将下列命题符号化，并指出真值：
（1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1；
（2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1；
（3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1；
（4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0；
（5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0.
2.将下列命题符号化，并指出真值：
（1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1；
（2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1；
（3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；
（4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1；
（5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；
3.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨；
（2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；.
4.因为p与q不能同时为真.
5.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三：
（1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）；
（2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）；
（3）pq，真值为1；
（4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1.
第二章 命题逻辑等值演算
本章自测答案
5.(1)：∨∨,成真赋值为00、10、11；
(2)：0，矛盾式，无成真赋值；
(3)：∨∨∨∨∨∨∨,重言式，000、001、010、011、100、101、110、111全部为成真赋值；
7.(1)：∨∨∨∨⇔∧∧；
(2)：∨∨∨⇔∧∧∧；
8.(1)：1⇔∨∨∨,重言式；
(2)：∨⇔∨∨∨∨∨∨；
(3)：∧∧∧∧∧∧∧⇔0，矛盾式.
11.(1)：∨∨⇔∧∧∧∧；
(2)：∨∨∨∨∨∨∨⇔1；
返回
(3)：0⇔
12.A⇔∧∧∧∧.
∧∧∧⇔∨∨.
第三章 命题逻辑的推理理论
本章自测答案
6.在解本题时，应首先将简单陈述语句符号化，然后写出推理的形式结构*，其次就是判断*是否为重言式，若*是重言式，推理就正确，否则推理就不正确，这里不考虑简单语句之间的内在联系
(1)、(3)、(6)推理正确，其余的均不正确，下面以(1)、(2)为例，证明(1)推理正确，(2)推理不正确
(1)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为
(p→q)∧p→q(记作*1)
在本推理中，从p与q的内在联系可以知道，p与q的内在联系可以知道，p与q不可能同时为真，但在证明时，不考虑这一点，而只考虑*1是否为重言式.
可以用多种方法（如真值法、等值演算法、主析取式）证明*1为重言式，特别是，不难看出，当取A为p,B为q时，*1为假言推理定律，即
(p→q)∧p→q ⇒ q
(2)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为
(p→q)∧p→q(记作*2)
可以用多种方法证明*2不是重言式，比如，等值演算法、主析取范式（主和取范式法也可以）等
(p→q)∧q→p
⇔(┐p∨q) ∧q →p
⇔q →p
⇔┐p∨┐q
⇔⇔∨∨
从而可知，*2不是重言式，故推理不正确，注意，虽然这里的p与q同时为真或同时为假，但不考虑内在联系时，*2不是重言式，就认为推理不正确.
9.设p:a是奇数，q:a能被2整除，r:a：是偶数
推理的形式结构为
(p→q┐)∧(r→q)→(r→┐p) (记为*)
可以用多种方法证明*为重言式，下面用等值演算法证明：
(p→┐q)∧(r→q)→(r→┐p)
⇔(┐p∨┐q) ∨(q∨┐r)→(┐q∨┐r) (使用了交换律)
⇔(p∨q)∨(┐p∧r)∨┐q∨┐r
⇔(┐p∨q)∨(┐q∧┐r)
⇔┐p∨(q∨┐q)∧┐r
⇔1
10.设p:a,b两数之积为负数，q:a,b两数种恰有一个负数，r：a，b都是负数.
推理的形式结构为
(p→q)∧┐p→(┐q∧┐r)
⇔(┐p∨q) ∧┐p→(┐q∧┐r)
⇔┐p→(┐q∧┐r) (使用了吸收律)
⇔p∨(┐q∧┐r)
⇔∨∨∨
由于主析取范式中只含有5个W极小项，故推理不正确.
11.略
14.证明的命题序列可不惟一，下面对每一小题各给出一个证明
① p→(q→r) 前提引入
② P 前提引入
③ q→r ①②假言推理
④ q 前提引入
⑤ r ③④假言推理
⑥ r∨s 前提引入
（2）证明：
① ┐(p∧r) 前提引入
② ┐q∨┐r ①置换
③ r 前提引入
④ ┐q ②③析取三段论
⑤ p→q 前提引入
⑥ ┐p ④⑤拒取式
（3）证明：
① p→q 前提引入
② ┐q∨q ①置换
③ (┐p∨q)∧(┐p∨p) ②置换
④ ┐p∨(q∧p ③置换
⑤ p→(p∨q) ④置换
15.(1)证明：
① S 结论否定引入
② S→P 前提引入
③ P ①②假言推理
④ P→(q→r) 前提引入
⑤ q→r ③④假言推论
⑥ q 前提引入
⑦ r ⑤⑥假言推理
（2）证明：
① p 附加前提引入
② p∨q ①附加
③ (p∨q)→(r∧s) 前提引入
④ r∧s ②③假言推理
⑤ s ④化简
⑥ s∨t ⑤附加
⑦ (s∨t)→u 前提引入
⑧ u ⑥⑦拒取式
16.(1)证明：
① p 结论否定引入
② p→ ┐q 前提引入
③ ┐q ①② 假言推理
④ ┐r∨q 前提引入
⑤ ┐r ③④析取三段论
⑥ r∧┐s 前提引入
⑦ r ⑥化简
⑧ ┐r∧r ⑤⑦合取
（2）证明：
① ┐(r∨s) 结论否定引入
② ┐r∨┐s ①置换
③ ┐r ②化简
④ ┐s ②化简
⑤ p→r 前提引入
⑥ ┐p ③⑤拒取式
⑦ q→s 前提引入
⑧ ┐q ④⑦拒取式
⑨ ┐p∧┐q ⑥⑧合取
⑩ ┐(p∨q) ⑨置换
口 p∨q 前提引入
⑾①口 ┐(p∨q) ∧(p∨q) ⑩口合取
17．设p：A到过受害者房间，q: A在11点以前离开，r：A犯谋杀罪，s：看门人看见过A。
前提：(p∧┐q) →r , p ,q →s , ┐s
结论：r
证明：
① q→s 前提引入
② ┐s 前提引入
③ ┐q ①②拒取式
④ p 前提引入
⑤ p∧┐q ③④合取
⑥（p∧┐q）→r 前提引入
⑦ r ⑤⑥假言推理
18．（1）设 p：今天是星期六，q：我们要到颐和园玩，s：颐和园游人太多。
前提：p→(p∨r) , s→┐q , p , s
结论：r
证明：
① s→┐q 前提引入
② s 前提引入
③ ┐q ①②假言推理
④ p 前提引入
⑤ p→(q∨r) 前提引入
⑥ q∨r ④⑤假言推理
⑦r ③⑥析取三段论
（2）设p:小王是理科学生，q：小王数学成绩好，r：小王是文科学生。
前提：p→q ,┐r→p ,┐q
结论：r
证明：
① p→q 前提引入
② ┐q 前提引入
③ ┐p ①②拒取式
④ ┐r→p 前提引入
⑤ r ③④拒取式
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第四章 (一阶)谓词逻辑基本概念
本章自测答案
4.(1)┐x(F(x)∧ ┐G(x))⇔x( F (x) →G (x) ),其中,F(x)：x是有理数,G(x) ：x能表示成分数；
(2)┐x( F (x) →G (x) ) ⇔x(F(x)∧ ┐G(x)),其中,F (x)：x在北京卖菜,G (x) ：x是外地人；
(3)x( F (x) →G (x) ),其中,F (x)：x是乌鸦,G (x) ：x是黑色的；
(4)xF(x)∧ G(x)),其中,F (x)：x是人,G (x) ：x天天锻炼身体。
因为本题中没有指明个体域,因而使用全总个体域。
5.(1)xy (F(x) ∧ G( y ) → H(x,y)),其中,F(x)：x是火车,G(y) ：y是轮船,H(x,y)：x比y快；
(2)xy (F(x) ∧ G( y ) → H(x,y)),其中,F(x)：x是火车,G(y) ：y是汽车,
H(x,y)：x比y快；
(3)┐x(F(x)∧y(G (y) → H (x,y)))⇔x(F(x) → y(G(y) ∧ ┐H(x,y))),其中,F(x)：x是汽车,G (y) ：y是火车,H(x,y)：x比y快；
(4)┐x(F(x)→y(G(y) → H(x,y)))⇔xy(F(x)∧G(y)∧┐H(x,y))),其中,F(x)：x是汽车,G(y) ：y是火车,H(x,y)：x比y慢。
6.各命题符号化形式如下：
(1)xy (x ．y = 0)；
(2)xy (x ．y = 0)；
(3)xy (y =x+1)
(4)xy(x ．y = y．x)
(5)xy(x ．y =x+ y)
(6)xy (x + y ＜0 )
9.(1)对任意数的实数x和y,若x ＜y,则x ≠ y；
(2)对任意数的实数x和y,若x–y = 0,则x＜y；
(3)对任意数的实数x和y,若x＜y,则x–y≠0；
(4)对任意数的实数x和y,若x–y ＜0,则x=y.
其中,(1)(3)真值为1(2)与(4)真值为0.
11.(1)、(4)为永真式,(2)、(6)为永假式,(3)、(5)为可满足式。
这里仅对(3)、(4)、(5)给出证明。
(3)取解释I 为：个体域为自然数集合N,F(x,y)：x ≤ y,在下,xy F(x,y)为真,而xy F(x,y)也为真(只需取x =0即可),于是(3)中公式为真,取解释 为：个体域仍为自然数集合N,而F(x,y)：x = y。此时,xyF(x,y)为真(取y为x即可),可是xyF(x,y)为假,于是(3)中公式在 下为假,这说明(3)中公式为可满足式。
(4)设I为任意一个解释,若在I下,蕴涵式前件xy F(x,y)为假,则
xyF(x,y)→yxF(x,y)为真,若前件xyF(x,y)为真,必存在I的个体域D1中的个体常项x0,使yF(0,y)为真,并且对于任意x
y∈,F(0,y)为真,由于有xx0∈,F(0,y)为真,所以xF(x,y)为真,又其中y是任意个体变项,所以 yxF(x,y )为真,由于I的任意性,所x以(4)中公式为永真式(其实,次永真式可用第五章的构造证明法证明之)。
(5)取解释可满足式。
13．（1）取解释 取解释为：个体域为自然数集合N，F（x）：x为奇数，G（x）：x为偶数，在 下， x（F（x）∨G（x））为真命题。
为：个体域为自然数集合,F(x,y)：x = y在下,(5)中公式为真,而将F(x,y)改为F(x,y)：x ＜ y,(5)中公式就为假了,所以它为为：个体域为整数集合Z，F（x）：x为正整数，G（x）：x为为负整数，在 下， x（F（x）∨G（x））为假命题。
（2）与（3）可类似解答。
14．提示：对每个公式分别找个成真的解释，一个成假的解释。
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第五章 谓词逻辑等值演算与推理
本章自测答案
2.(1) (F(a)∧ F(b)∧ F (c)) ∧ (G (a )∨G (b)∨G (c))
(2) (F(a)∧ F(b)∧ F (c)) ∨ (G (a)∧G (b)∧G (c))
(3) (F(a)∧ F(b)∧ F (c)) → (G (a)∧G (b)∧G (c))
(4) (F(a ,y) ∨ F(b,y)∨ F (c,y)) → (G (a)∨G (b)∨G (c))
5.提示：先消去量词，后求真值，注意，本题3个小题消去量词时，量词的辖域均不能缩小，经过演算真值分别为：1,0,1 .
(1) 的演算如下：
xyF(x,y)
⇔x (F(x,3)∨F(x,4))
⇔(F(3,3)∨F(3,4))∧(F(4,3)∨F(4 ,4))
⇔1∧1⇔1
6.乙说得对，甲错了。本题中，全称量词 的指导变元为x ，辖域为(F (x)→G(x,y)),其中F(x )与G(x,y)中的x都是约束变元，因而不能将量词的辖域缩小。
7.演算的第一步，应用量词辖域收缩与扩张算值式时丢掉了否定联结词“ ┐”。演算的第二步，在原错的基础上又用错了等值式，即
(F(x)∧(G(y)→ H(x,y))) ≠(F(x) ∧G(y)→H (x,y))
12.公式的前束范式不唯一，下面每题各给出一个答案。
(1) xy (F(x)→ G(z,y));
(2) xt (x,y) → G(x,t,z));
(3)
(4)
(5)
13.(1)xy(F(x) ∧G(y) ∧H(x ,y)),其中，F(x):x是汽车，G(y)：y是火车，H(x，y)：x比y跑的快；
(2)xy(F(x) ∧G(y)→H(x ,y)),其中，F(x):x是火车，G(y)：y是汽车，H(x，y)：x比y跑的快；
(3)xy(F(x) ∧G(y) ∧┐H(x ,y)),其中，F(x):x是火车，G(y)：y是汽车，H(x，y)：x比y跑的快；
(4)xy(F(x) ∧G(y) → ┐H(x ,y)),其中，F(x):x是飞机，G(y)：y是汽车，H(x，y)：x比y慢；
14.(1)对F(x) → xG(x)不能使用EI规则，它不是前束范式，首先化成前束范式。
F(x) → xG(x) <=> x(F(y)→G(x))
因为量词辖域(F(y)→G(x))中，除x外还有自由出现的y，所以不能使用EI规则。
(F(x4 ((F(((F(,)→G()→(F(,y) →G(,,y))∧(G(,y) →F(4,y)));
,)));
x)) → (H (,) → L())). ) → ┐G (
(2)对 x F(x) → y G(y)也应先化成前束范式才能消去量词，其前束范式为 x y(F(x) →G(y)),要消去量词，既要使用UI规则，又要使用EI规则。
(3)在自然推理系统F中EG规则为
A(c)/∴x(x)
其中c为特定的个体常项，这里A(y) = F(y) →G(y)不满足要求。
(4)这里，使F(a)为真的a不一定使G(a)为真，同样地使G(b)为真的b不一定使F(b)为真，如，F(x):x为奇数，G(x):x为偶数，显然F(3)∧G(4)为真，但不存在使F(x)∧G(x)为真的个体。
(5)这里c为个体常项，不能对F(c)→G(c)引入全称量词。
15.(1)证明：①xF(x) 前提引入
②xF(x)→ y((F(y)∨G(y)) →R(y))
③y((F(y)∨G(y)) →R(y)
④F(c)
⑤(F(c)∨G(c))→R(c)
⑥F(c)∨G(c)
⑦R(c)
⑧xR(x)
(2)证明①xF(x)
②x((F(x)→G(a)∧R(x)))
③F(c)
④F(c)→G(a)∧R(a)
⑤G(a)∧R(c)
⑥R(c)
⑦F(c)∧R(c)
⑧x(F(x)∧R(x))
(3)证明：①┐xF(x)
②x┐F(x)
③┐F(c)
④x(F(x)∨G(x))
⑤F(c)∨G(c)
⑥F(c)
⑦xF(x)
(4)证明①x(F(x)∨G(x))
②F(y)∨G(y)
③x(┐G(x)∨┐R(x))
④┐G(y)┐R(y)
⑤x R(x)
⑥R(y)
⑦┐G(y)
⑧F（y）
⑨xF(x)
17．本题不能用附加前提证明法.
20.(1)与(2)均可用附加前提证明法。
前提引入
①②假言推理
①EI
③UI
④附加
⑤⑥假言推理
⑦EG
前提引入
前提引入
①EI
②UI
③④假言推理
⑤化简
③⑥合取
⑦EG
前提引入
①置换
②UI
前提引入
④UI
③⑤析取三段论
⑥EG
前提引入
①UI
前提引入
③UI
前提引入
⑤UI
④⑥析取三段论
②⑦析取三段论
⑧UG
22.(1)设F(x)：x为偶数，G(x):x能被2整除。
前提:x(F(x)→G(x))，F(6)
结论：G(6)
(2)设F(x)：x是大学生，G(x):x是勤奋的，a：王晓山。
前提:x(F(x)→G(x))，┐G(a)
结论：┐F(a)
23.(1)设F(x)：x是有理数，G(x):x是实数，H(x)：x是整数。
前提:x( F(x)→G(x))， x(F(x)∧H(x))
结论:x(G(x)∧H(x))
证明提示：先消存在量词。
(2)设F(x)：x是有理数，G(x):x是无理数，H(x)：x是实数，I(x)：x是虚数。
前提:x((F(x)∨G(x)) →H(x))， x( I(x)→┐H(x))
结论:x(I(x)→(┐F(x)∧┐G(x)))
证明①x(I(x)→(┐H(x)) 前提引入
②I(y)→H(y) ①UI
③x((F(x)∨G(x))→H(x)) 前提引入
④(F(y)∨G(y))→H(y) ③UI
⑤┐H(y)→(┐F(y)∧┐G(y)) ④置换
⑥I(y)→(┐F(y)∧┐G(y)) ②⑤假言三段论
⑦x(I(x)→(┐F(x)∧┐G(x)) ⑧UG
24.设F(x)：x喜欢步行，G(x)：x喜欢骑自行车，H(x)：x喜欢乘汽车。
前提:x(┐F(x)→┐G(x))， x(G(x)∨H(x))， x┐H(x)
结论:x┐F(x)
证明①x┐H(x) 前提引入
②┐H(c) ①UI
③x(G(x)∨H(x)) 前提引入
④G(c)∨H(c) ③UI
⑤G(c) ②④析取三段论
⑥x(F(x) →G(x)) 前提引入
⑦F(c)→┐G(c) ⑥UI
⑧┐F(c) ⑤⑦拒取式
⑨x┐F(x) ⑧UG
25.设F(x)：x是科学工作者，G(x)：x是刻苦钻研的，H(x)：x是聪明的，I(x)：x在事业中获得成功。
前提:x(F(x)→G(x))，x(G(x)∧H(x)→I(x))，a：王大海，F(a)，H(a)
结论：I(a)
证明①F(a) 前提引入
②x(F(x)→G(x)) 前提引入
③F(a)→G(a) ②UI
④G(a) ①③假言推理
⑤H(a) 前提引入
⑥x(G(x)∧H(x)→I(x)) 前提引入
⑦G(a)∧H(a)→I(a) ⑥UI
⑧G(a)∧H(a) ④⑤合取
⑨I(a) ⑦⑧假言推理
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第六章 集合代数
本章自测答案
4.(1) ③ (2) ④ (3) ⑤ (4) ⑦ (5) ⑧
6.只有(2)为真，其余为假。
9.(1) {4}；(2) {1,3,5,6}；(3) {2,3,4,5,6}；(4) {, { 1 }}；(5) {{ 4 },{1,4}}.
11.(1)； (2) {1,4,5}.
22.(2)、(3)、(4)、(8)、(10)为真，其余为假。
24.(1)为真，其余为假，因为
(P-Q) = P ⇒ (P-Q)∩Q = P∩Q ⇒ = P∩Q
(2)(3)(4)的反例：P ={1} ，Q ={2}
26.(A–B)∪(B–A) = (A∩ =(A∪B)∩( =(A∪B)∩E∩B)∪(B∩A)∩(A)
B∪A) B∪B)∩(A∪(A∩B)=(A∪B)-(A∩B)
B∩C∩C =A∩(B∩(B∪C) = A-(B∪C)
C)
C∩B)∪(A∩C∩C)
27.(1)(A-B)-C = A∩ (2)(A-C)-(B-C)A∩ =A∩ =A∩C∩(∩B∪C) = (A∩C=(A–B)- C
B∩C =A∩ (3)(A–B-C=A∩28.(1)A∩(B∪C∩B=(A–C)–B
A) = (A∩B)∪(A∩A) =(A∩B)∪
=A∩B=B∩A
(2)((A∪B)∩A) = (A∪B)∪A
=(A∩B)∪A = A
29.由第26题有(A-B)∪(B-A)=(A∪B)–(A∩B)，故(A-B)∪(B-A)A∪B。假若x∈A∩B，那么x∈A∪B，因此x(A∪B)-(A∩B),与(A-B)∪(B-A)
= (A∪B)-(A∩B) = A∪B矛盾.
⇔x(x∈A→x∈B)⇔x(xB→xA)
⇔x(x∈B→x∈ AB ⇒
而
A)⇔BA
A∪B
A∪B=E反之，
A∪AA∪B ⇒ EA∪BE，因此AB ⇒
A∪B = E ⇒ A∩(A∪B)= A ⇒ A∩B = A ⇒ AB
综合上述，AB⇔A∪B = E
AB ⇒ A-B = ⇒ A-BB
反之A-BB ⇒ (A-B)∪BB ⇒ A∪BB ⇒ A∪B = B ⇒ AB
综合上述AB⇔A-BB
31.任取x ,x∈A ⇒ {x} A=>{x}∈P(A)=>{x}∈P(B)=>{x}B ⇒ x∈B
32.先证CA∧CB ⇒ CA∩B,任取x,x∈C ⇒ x∈C∧x∈C ⇒ x∈A∧x∈B ⇒ x∈A∪B,从而得到CA∪B.再证CA∩B ⇒ CA∧CB，这可以由CA∩BA,CA∩BB得到。
⇒ P-Q= ⇒ P-QP，反之，P-QP ⇒ P∩(P-Q)P∩P ⇒ P-Q= ⇒ PQ
34.令X=，则有∪Y =，即Y = .
⇒ A∪AB∪A ⇒ EB∪A因为E为全集,B∪AE综合上述B∪A=E.
36.由A∩CB∩C,A-CB-C，利用A∪CB∪D有：
(A∩C)∪(A-C) (B∩C)∪(B-C)
⇒ (A∩C)∪(A∩C)(B∩C)∪(B∩C)
⇒ (A∩(C∪C)(B∩(C∪C) ⇒ A∩EB∩E ⇒ AB
37.恒等变形法
B=B∩(B∪A)=B∩(AB)=B∩(AC)
=(B∩A)∪(B∩C)=(A∩C)∪(B∩C)
=(A∪B)∩C=(A∪C)∩C=C
39.任取x，有x∈P(A) ⇒ x A ⇒ x B ⇒ x∈P(B)，因此P(A)P(B).
40.(1)任取x有
x∈P(A)∩P(B)⇔x∈P(A)∧x∈P(B)⇔xA∧xB
⇔xA∩B⇔x∈P(A∩B)
(2)任取x有
x∈P(A)∪P(B)⇔x∈P(A)∨x∈P(B)⇔xA∧xB
⇒ xA∪B⇔x∈P(A∪B)
注意与(1)的推理不同，上面的推理中有一步是“ ⇒ ”符号，而不是“⇔”符号。(3)反例如下：A = {1}，B = {2}，则
P(A)∪P(B)= {,{1},{2}}
P(A∪B)={,{1},{2},{1,2}}
第七章 二元关系
本章自测答案
3.(1) 任取< x,y >,有
⇔x ∈A∧x ∈ B∧y ∈C∧y ∈ D
⇔(x ∈A∧y ∈C )∧(x∈B∧y∈D)
⇔
⇔
(2)都为假,反例如下:
A ={1}, B ={1,2}, C ={2}, D ={3}
4.(1)为假,反例如下:A ={1}, B =,C = {2};
(2)为真,证明如下:任取
⇔(x∈A∧y∈B)∧(x∈A∧y∈C)
⇔
返回
(3)为真,令A = 即可;
(4)为假,反例如下: A =
7.
={<2,2>,<3,3 >,<4,4>}
={<2 . 3>,<2,4>,<3,2>,<3,4>,<4,2>,<4,3>} ∪
LA={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>}
DA={<2,2>,<2,4>,<3,3>,<4,4>}
9.(1){<1,2>,<1,4>,<1,6>,<2,1>,<2,2>,<2,4> <2,6>,<4,1>,<4,2>,<4,4>, <4,6> <6,1>, <6,2>,<6,4> <6,6>}
(2){<1,2>,<2,1>};
(3){<1,1>,<2,1>,<4,1>,<6,1>,<2,2>,<4,2>,<4,4>,<6,6>}
(4){<1,2>,<2,2>,<4,2>,<6,2>}
12.（略）
13.A∩B = {<1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,3>,<4,2>}, A ∩ B ={<2,4>}
domA = {1,2,3},domB = {1,2,4},dom(A ∪ B) = {1,2,3,4}
ranA = {2,3,4},ranB = {2,3,4},ran(A ∪ B) = {4},fld(A - B) = {1,2,3}
= {<0,2>,<0,3>,<1,3>}
R= {<1,0>,<2,0>,<3,0>,<2,1>,<3,1>,<3,2>}
R{0,1} = {<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>}
R[{1,2}] = {2,3}
18.(1)F(G∪H) = FG∪FH
任取
⇔t(
⇔t((
⇔t(
⇔
(2)和(4)类似可证
19.(2)任取y,有
y∈R[T∪W]⇔x(x∈T∪W∧
⇔x((x∈T∨x∈W)∧
⇔x((x∈A∧
⇔x(x∈T∧
⇔y∈R[T]∨y∈R[W]⇔y∈R[T]∩R[W]
(3)任取
⇔x∈A∧x∈B∧
⇔(x∈A∧
⇔
⇔
20.(1)任取
∪
⇔
(2)和(1)类似可证.
21.只有对称性,因为1+1≠10,<1,1>R,R不是自反的,又由于<5,5>∈R,因此R不是反自反的,根据xRy⇔x+y = 10=>yRx ,可知R是对称的,又由于<1,9>,<9,1>都是属于R,因此R不是反对称的, <1,9>,<9,1>都属于R,如果R是传递的,必有<1,1>属于R.但这是不成立的,因此R也不是传递的.
22.(1)关系图如图7.15所示; (P148)
(2)具有反自反性、反对称性、传递性.
26.(1)R={<3,3>,<3,1>,<3,5>}, = {<3,3>,<3,1>,<3,5>}
(2)r(R)={<1,1>,<1,5>,<2,2>,<2,5>,<3,3>,<3,1>,<4,4>,<4,5>,<5,5>,<6,6>}
s(R)={<1,5>,<5,1>,<2,5>,<5,2>,<3,3>,<3,1>,<1,3>,<4,5>,<5,4>}
T(R)={<1,5>,<2,5>,<3,3>,<3,1>,<3,5>,<4,5>}
31.(1)R = {<2,3>,<3,2>,<2,4>,<4,2>,<3,4>,<4,3>}∪32.(1)不是等价关系，因为<1,1> R，R不是自反的；
(2)不是等价关系，因为R不是传递的，1R3，3R2但是没有1R2；
(3)不是等价关系，因为<2,2> R，R不是自反的；
(4)不是等价关系，因为R不是传递的。
(5)是等价关系。
33．关系图如图7.17说示 (P151)
[a] = [b] ={a,b},[c] = [d] = {c,d}
；(2)R； (3)R.
38.现取x，有x∈A ⇒
⇒
任取
⇒
任取
⇒
⇒ (
⇒
42.x,x∈A ⇒
x,y∈A,
⇔
x,y,z∈A,
⇔
⇒
⇒
T是传递的。
43．哈斯图如下图所示.
44.(a)偏序集
(b)偏序集
(c)偏序集
45.(a)A={a,b,c,d,e,f,g}, ={
{
46.哈斯图如图7.19所示 （P153）
（1）极大元e,f；极小元a,f；没有最大与最小元。
（2）极大元a,b,d,e；极小元a,b,c,e；没有最大与最小元。
第八章 函数
本章自测答案
2. = {,,… }
= {<1,a>,<2,a>}, = {<1,a>,<2,b>}, = {<1,a>,<2,c>}
= {<1,b>,<2,a>}, = {<1,b>,<2,b>}, = {<1,b>,<2,c>}
= {<1,c>,<2,a>}, = {<1,c>,<2,b>}, = {<1,c>,<2,c>}
3.(1)双射，反函数=,f({8}=|8|),({4}={4}；
(2)双射，反函数：R→ R，（x）= logx, ({1}) = {2}, ({1,2}) ={0,1}；
(3)单射，({5}) = {<5,6>}, ({2,3}) = {2}；
(4)单射，({2,3}) = {5,7}, ({1,3}) = {0,1}；
(5)单射，({-1,2}) = {1,2}, ({1}) = {-1,1}；
口 =
返回
(b)A = {a,b,c,d,e,f,g},R
(6)单射，((0,1)) = (1/4,3/4), (8)单射，((0,1)) = (1,+∞),([1/4,1/2]) = [0,1/2]；
({2,3}) = {1/2,1/3}.
4.(1) 单射 (2) 不单射,也不满射 (3) 不单射,也不满射 (4) 满射 (5) 单射 (6) 不单射，也不满射.
5.(1) 为真，其余都为假.
7.(1) 结果不唯一，={
(2) 结果不唯一，={
(3) 不能
(4) 存在单射还书的充要条件是m ≤ n ，存在满射函数的充要条件是m ≥ n,
存在双射函数的充要条件是m = n .
9.双射函数与单射函数都是n!个
10.(1)不是单射，不是满射，也不是双射；
(2){<1,1>,<0,2>,<2,0>};
(3){3,5,7}
(x)=2x +7, bf(x) =2x +4, ff(x) =x +6, gg(x) =4x +3,
hf(x)=x/2 +3, gh(x) = x +1/2, fh(x) =(x +5)/2 gh f(x) =x +7/2
(n) =n+2, gf(n)=2n+1, fg(n)=2n+2, gh(n) =0
hg(n)=, hgf(n)=.
19.(1)gf(x)=x+8x +14, fg(x)=x+2
(2)都不是单射，也不是满射和双射。
(3)g和h有反函数，g:R→R,g(x) = x–4; h:R→R,h(x)=20．
(1)fg:N→N, fg(x) (2)不是单射，不是满射，也不是双射。
21.(1)单射，假设f(因为<0,0>ran
(2)不存在反函数
(3)ran={
) = f()，那么<,
+1> = <,+1>。根据有序对相等的条件得=，因此f是单射的，但是f不是满射的，24.这些函数都是不唯一的，以下只是一个可能的结果。
(1)f = {<1,a>,<2,b>,<3,c>}
(2)f(x) = 2x
(3)f(x) = ｜x｜ - 1
(4)f(x) = e
返回
第九章 集合的基数
本章自测答案
1.令:P(A)→2,(T) = Xт, 假如(),
）,从而证明了是单射的，对于任意g∈2,令B={x｜x∈A,g(x) = 1}，则B∈P(A), 且(B)= Xв = g.
,∈P(A),且≠,那么存在x只属于和之中的一个集合，不妨设x∈∧x,因此
2.令:[1,2] →[0,1],(x) = x – 1,则为[1,2]到[0,1]的双射函数.
3.令:A→N,(x) = x/2 , 则为双射函数.
6.提示：根据A ≈ C,B ≈ D，存在双射：A→C,g:B→D,构造函数h：A×B→C×D,h() = <(a),g(b)>容易证明h的双射性。
7.A = {2n｜n∈N},B = {2|k∈N},C=Z
9.(1) 3∪6 = 6, 2∩5 = 2;
(2)4–3 ={3},3⊕1 = {1,2}
(3)∪4 = 3, ∩1 = 0
(4)1×4 = {<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>},2= {
10.(1)3, (2), (3), (4), (5), (6),
返回
={<0,0>,<1,0>} = {<0,0>,<1,1>}
={<0,1>,<1,0>} = {<0,1>,<1,1>}
,,,}，其中:
第十章 代数系统
本章自测答案
3.(1)可以，A = {-1,0,1}.
(2)不可以.
4.(1)封闭 (2)不封闭 (4)加法不封闭，乘法封闭 (5)不封闭 (7)封闭 (9)加法不封闭，乘法封闭
5.(1)没有交换律、结合律，对于一个运算不能考虑分配律；
(3)加法满足交换律、结合律，乘法满足结合律，乘法对加法满足分配律；
(4)乘法满足结合律
(6)加法和乘法都满足交换律、结合律，乘法对加法满足分配律；
(7)满足结合律；
(8)乘法满足交换律、结合律；
(9)乘法满足交换律、结合律；
(10)乘法满足交换律、结合律。
6.(1)没有单位元、零元，没有可逆元素。
(3)n阶全0矩阵是加法单位元，也是乘法的零元；n阶单位矩阵是乘法单位元；加法没有零元。任意n阶矩阵M对于加法都是可逆元，起逆元为
– M；只有n阶可逆矩阵(行列式不为0)对乘法是可逆元，其逆元为M .
(4) 乘法单元为n阶单位矩阵，没有零元。每个矩阵M都有逆元M .
(6) 加法单位元0，没有零元，每个元素x都可逆，其逆元是它的相反数 – x 。
当n = 1时，乘法有单位元1，只有两个可逆元素：1 = 1, ( - 1) = - 1.
当n＞1时乘法没有单位元和可逆元素。
(7)没有单位元和零元，也没有可逆元素。
(8)乘法单位元为1，只有1是可逆元素，1 = 1
(9)乘法单位元为1，只有1是可逆元素，1 = 1
(10)乘法没有单位元、零元以及可逆元素。
8.(1)不可交换。反例：<0,1> * <1,2> = <0,1>,<1,2> * <0,1> = <0,3>.
可结合，因为
(
=
=
不是幂等的，因为<1,1> * <1,1> = <1,2>
(2) 容易严整<1,0>为单位元，没有零元，当 a≠0 时，
11.(1)能构成代数系统。满足交换律、结合律、无单位元，零元是1；
(3)能构成代数系统。满足交换律、结合律，单位元是10，零元是1。
15.(1)能 (2)不能 (3)不能 (4)能
第十一章 半群与群
本章自测答案
2.(1)构成半群、独异点和群；
(3)构成半群，不构成独异点，也不构成群；
(4)构成半群、独异点和群
5.(1)假设a*b ≠ b*a，那么或者a*b = a , a = b ；或者a*b = b , b*a = a。若为前者，则 (a*b)*a = a*a = b , a*(b*a) = a*b = a
与结合律矛盾，若为后者，有
(a*b)* a = b*a = a ; a*(b*a) = a*a = b
也与结合律矛盾。
(2) 假设b*b = a ，那么或者a*b = b*a = a，或者a*b = b*a = b 。若为前者，则
(b*a)*a = a*a = b ; b*(a*a) = b*b = a
与结合律矛盾，若为后者，有
(b*a)*a = b*a = b ; b*(a*a) = b*b = a
也与结合律矛盾。
7.任取a + bi , c + di∈G , 有
返回
(a + bi)+(c + di)=(a + c)+(b + d)i∈G
任取a + bi , c + di , e + i ∈G ,有
((a + bi)+(c + di))+(e + i)=(a + c)+(b + d)i +(r + i)
= (a + c + e) + (b + d + ) i
同理
(a + bi)+((c + di)+(e + i))=(a + c + e) + (b + d + ) i
单位元是0，a + bi的逆元是 – a – bi .
9. 能构成群，运算封闭。 x , y , z ∈A , 有
(xy)z = (x + y - 2) z = (x + y - 2) + z – 2 = x + y + z – 4
x(yz) = xо(y + z - 2) = x + (y + z - 2) – 2 = x + y + z – 4
结合律成立，单位元是2，x的逆元是4 – x。
11．设矩阵A=, B=， C=， D=，
那么运算表如表11.7所列
· A B C D
A
B
C
D
A B C D
B A D C
C D A B
D C B A
13.(2)a,b∈G有
(ab)(ba)=a(bb)a=aa=e
(ba)(ab)=b(aa)b=bb=e
因此b a 是ab的逆元，根据逆元唯一性，命题得证.
(4) 当m，n为自然数时任意给顶n，对m进行归纳， a∈G，有
m = 0,(a)= e = a 假设(a)= a (a)，则
=(a)a=aa=a= a
根据归纳法，命题得证.
下面对n或m小于0的情况进行验证,不妨设n＜0,m≥0,则n=-t,t＞0
(a)=(a)=((a))=(a) 其他类似情况可以类似加以验证.
(5)设G为交换群，当n为自然数时对n归纳。
N = 0,(ab)= e = ee = ab
假设(ab)= ab,则
(ab)= (ab)(ab) =(ab)ab = a(ba)b
b
=a=a
= a(ab)b = (aa)(bb) = a 根据归纳法，命题得证.
若n＜0,令n=-m,m＞0 ，那么有
(ab)=(ba)=(ba)=((ba))=(ab)
b=ab =(a)(b) =a16.若x∈G有x= e,因此x∈G有x= x.x ,y∈G，有
xy = (xy) = yx = yx
17.设a是幕等元，则aa = a,即aa = ae.根据消去律必有a = e.
19.由x=e⇔|x|=1或2,换句话说。对于G中元素x，如果|x|＞2,必有x≠x，由于|x|=|x|，阶大于2的元素成对出现，共有偶数个，那么剩下的1阶元总共应该是偶数个，1阶元只有1个，就是单位元，从而证明了G中必有的2阶元.
22.a∈N(a),N(a)≠,任取x,y∈N(a),有
ay = ya ⇒ a(ay)a= a(ya)a ⇒ ya = a y
(xy)a = x(ya) = x(ay) = x(ya)
= x(ay ) = (xa)y = a(xy )
根据判定定理，N(a)为G的子群。
30.(1)是同态，不是单同态，也不是满同态。() = {-1,1},ker = 2Z;
(2)是同态，不是单同态，也不是满同态。() = {cosx + i·sinx｜x∈Z},ker = {0};
(3)是同态，不是单同态，是满同态，()={cosx + i·sinx｜x∈R}= A,ker ={2kπ｜k∈Z}
31.设
：x,y∈→ ，： → ，因此: → ,
，有
(xy) =((xy)) =((x)(y))
=((x))((y)) =(x)(x)
因此是到的同态。
32.由于： → 是双射，因此：→ 也是双射。
x,y∈,a,b∈,使得(a) = x,(b) = y.从而得到
(x)= a,(y) = b
(xy) =((a)(b)) = ((ab)) = ab =(x)(y)
33.设是循环群，a，a∈有
aa=ａ =ａ =ａａ
因此G是Abel群，但是Abel群不一定是循环群，例如KIein四元群是Abel群，但不是循环群。
y=(ａ)=()=()=((a))
因此(a)是生成元，即()=<(a)>.
35.(1)生成元为a,a,a,a,a,a,a,a
(2)子群为
36.(1)στ=，τσ=，σ=，τ=，στσ=
(2)στ= (1 4 2 3 )，τ = (1 4 2 5 3 )， στσ = (1 5 2 4 3 )
(3)στ = (1 4)(1 2)(1 3)奇置换
τ = (14)(12)(15)(13)偶置换
στσ = (15)(12)(14)(13) 偶置换
第十二章 环与域
本章自测答案
4．（1）是环，是整环，也是域；
（2）不是环，因为关于加法不封闭；
（3）是环，不是整环和域，因为乘法没有么元；
（4）不是环，因为正整数关于加法的负元不存在，关于加法不构成群；
（5）不是环，因为关于乘法不封闭。
6.(1) ( - a )( - a) = - - (a a) = 1 , ( - a)( - a ) = - - ( a a ) = 1
因此 - a 是( - a)的逆元，根据逆元的唯一性得( - a) = - a
(2) (b a )(a b) = b (a a) b = 1 , (ab) (b a ) = a (b b ) a = 1
因此b a 是ab的逆元，根据逆元唯一性有(a b) = b a .
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