高考数学-函数(知识点归纳+习题)

2024年1月11日发(作者：成都初中数学试卷分析)

高中数学函数知识点总结

1. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？

（定义域、对应法则、值域）

相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)

2. 求函数的定义域有哪些常见类型？

例：函数yx4xlgx32的定义域是

（答：0，22，33，4）

函数定义域求法：

 分式中的分母不为零；

 偶次方根下的数（或式）大于或等于零；

 指数式的底数大于零且不等于一；

对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。







正切函数ytanx

xR,且xk,k

2余切函数ycotx

xR,且xk,k

反三角函数的定义域

，函数y＝arccosx的定义域是 [－1, 1] ，函数y＝arcsinx的定义域是 [－1, 1] ，值域是值域是 [0, π] ，函数y＝arctgx的定义域是 R ，值域是.，函数y＝arcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, π) .

当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。

3. 如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是a，b，ba0，则函数F(x)f(x)f(x)的定

义域是_____________。

（答：a，a）

复合函数定义域的求法：已知yf(x)的定义域为m,n，求yfg(x)的定义域，可由mg(x)n解出x的范围，即为yfg(x)的定义域。

1例 若函数yf(x)的定义域为,2，则f(log2x)的定义域为 。

2111分析：由函数yf(x)的定义域为,2可知：x2；所以yf(log2x)中有log2x2。

222解：依题意知：

1log2x2

2 解之，得

2x4

∴

f(log2x)的定义域为x|2x4



4、函数值域的求法

1、直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

1例 求函数y=的值域

x2、配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例、求函数y=x2-2x+5，x[-1，2]的值域。

3、判别式法

对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面

下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂

b型：直接用不等式性质2k+xbxb. y2型,先化简，再用均值不等式xmxnx11 例：y121+x2x+xx2mxnc.. y2型 通常用判别式xmxnx2mxnd. y型

xn 法一：用判别式a. y 法二：用换元法，把分母替换掉2x2x1（x+1）（x+1）+1 1 例：y（x+1）1211x1x1x1

4、反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

3x4例 求函数y=值域。

5x6

5、函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。

ex12sin12sin1例 求函数y=x，y，y的值域。

e11sin1cos

ex11yyxex01ye12sin11yy|sin|||1,1sin2y2sin1y2sin1y(1cos)1cos2sinycos1y4y2sin(x)1y,即sin(x)1y4y2

1y4y2又由sin(x)1知1解不等式，求出y，就是要求的答案6、函数单调性法

通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容

例求函数y=2

7、换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角

函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发

挥作用。

例 求函数y=x+x1的值域。

8 数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这

类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

例：已知点P（x.y）在圆x2+y2=1上，

x5log3x1（2≤x≤10）的值域

y的取值范围x2 (2)y-2x的取值范围y 解:(1)令k,则yk(x2),是一条过(-2,0)的直线.

x2

(1) dR(d为圆心到直线的距离,R为半径) (2)令y-2xb,即y2xb0,也是直线d dR

例求函数y=(x2)2+(x8)2的值域。

解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（-8）间的距离之和。

由上图可知：当点P在线段AB上时，

y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，

y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10

故所求函数的值域为：[10，+∞）

例求函数y=x26x13+

x24x5的值域

2解：原函数可变形为：y=(x3)(02)+2(x2)2(01)

2

上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2，-1）的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时， ymin=∣AB∣=故所求函数的值域为[43，+∞）。

注：求两距离之和时，要将函数

9 、不等式法

(32)2(21)=43，

2利用基本不等式a+b≥2ab，a+b+c≥33abc（a，b，c∈R），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

2例：

x2(x0)

x =x2111133x23xxxx (应用公式a+b+c33abc时，注意使3者的乘积变成常数）

x2(3-2x)(0

=xx(3-2x)(10.倒数法

有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况

例 求函数y=x2的值域

x3

x2x3x20时，1x21x2yx2yx20时，y=00y1x220y1

212多种方法综合运用

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

5. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

切记：做题，特别是做大题时， 一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂

如：fx1exx，求f(x).



令tx1，则t0

∴xt21

∴f(t)et21t21

x21x0

∴f(x)ex216. 反函数存在的条件是什么？

（一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？

（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

1x

如：求函数f(x)2x1x0的反函数

x0

x1x1（答：f(x)）

xx0在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看这个例题：

(2004.全国理)函数yx11(x1)的反函数是（ B ）

A．y=x2－2x+2(x<1)

C．y=x2－2x (x<1)

B．y=x2－2x+2(x≥1)

D．y=x2－2x

(x≥1)

当然，心情好的同学，可以自己慢慢的计算，我想， 一番心血之后，如果不出现计算问题的话，答案还是可以做出来的。可惜，这个不合我胃口，因为我一向懒散惯了，不习惯计算。下面请看一下我的思路：

原函数定义域为 x〉=1，那反函数值域也为y>=1. 排除选项C,D.现在看值域。原函数至于为y>=1,则反函数定义域为x>=1, 答案为B.

我题目已经做完了， 好像没有动笔（除非你拿来写*书）。思路能不能明白呢？

7. 反函数的性质有哪些？

反函数性质：

1、 反函数的定义域是原函数的值域 （可扩展为反函数中的x对应原函数中的y）

2、 反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y对应原函数中的x）

3、 反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点（x,y）和点（y，x）关于直线y=x对称

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；

②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设yf(x)的定义域为A，值域为C，aA，bC，则f(a)=bf1(b)a

f1f(a)f1(b)a，ff1(b)f(a)b

由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如

（04. 上海春季高考）已知函数f(x)log3(2)，则方程f1(x)4的解x__________.

8 . 如何用定义证明函数的单调性？

（取值、作差、判正负）

判断函数单调性的方法有三种：

(1)定义法：

根据定义，设任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之间的大小关系

可以变形为求4xf(x1)f(x1)f(x2)的正负号或者与1的关系

f(x2)x1x2(2)参照图象：

①若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相同的单调性； （特例：奇函数）

②若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，则函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调性。（特例：偶函数）

(3)利用单调函数的性质：

①函数f(x)与f(x)＋c(c是常数)是同向变化的

②函数f(x)与cf(x)(c是常数)，当c＞0时，它们是同向变化的；当c＜0时，它们是反向变化的。

③如果函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)＋f2(x)和它们同向变化；（函数相加）

④如果正值函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘）

⑤函数f(x)与1f(x)在f(x)的同号区间里反向变化。

⑥若函数u＝φ(x)，x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递增的；若函数u＝φ(x),x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β)，φ(α)]反向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递减的。（同增异减）

⑦若函数y＝f(x)是严格单调的，则其反函数x＝f－1(y)也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。

f(gg(xf[g(xf(x)+g(f(x)*g(

) ) )] x) x) 都是

正数

增 增 增 增 增

增 减 减 / /

减 增 减 / /

减 减 增 减 减

如：求ylog1x22x的单调区间

2

（设ux22x，由u0则0x2

且log1u，ux11，如图：

22 u

O 1 2 x

当x(0，1]时，u，又log1u，∴y

2

当x[1，2)时，u，又log1u，∴y

2∴……）

9. 如何利用导数判断函数的单调性？

在区间a，b内，若总有f\'(x)0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于

零，不影响函数的单调性），反之也对，若f\'(x)0呢？

如：已知a0，函数f(x)x3ax在1，上是单调增函数，则a的最大值是（ ）

A. 0

aa

（令f\'(x)3x2a3xx0

33

则xaa

或x33a1，即a3

3

由已知f(x)在[1，)上为增函数，则 ∴a的最大值为3）

10. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？

（f(x)定义域关于原点对称）

若f(x)f(x)总成立f(x)为奇函数函数图象关于原点对称

若f(x)f(x)总成立f(x)为偶函数函数图象关于y轴对称

注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)0。

a·2xa2为奇函数，则实数a

如：若f(x)x21

（∵f(x)为奇函数，xR，又0R，∴f(0)0

a·20a20，∴a1）

即2012x，

又如：f(x)为定义在(1，1)上的奇函数，当x(0，1)时，f(x)x41求f(x)在1，1上的解析式。

2x

（令x1，0，则x0，1，f(x)x

412x2x

又f(x)为奇函数，∴f(x)x

x4114

2xx41

又f(0)0，∴f(x)x24x1x(1，0)x0x0，1）

11.判断函数奇偶性的方法

一、 定义域法

一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.

二、 奇偶函数定义法

在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算f(x)，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.

这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x) =0 奇函数f(x)-f(-x)=0 偶函数

f(x)1 偶函数

f(-x)f(x)1 奇函数f(-x)三、 复合函数奇偶性

f(g) g(x) f[g(x)]

奇 奇 奇

奇 偶 偶

偶 奇 偶

f(x)+g(x)

奇

非奇非偶

非奇非f(x)*g(x)

偶

奇

奇

偶 偶 偶

偶

偶 偶

12. 你熟悉周期函数的定义吗？

（若存在实数T（T0），在定义域内总有fxTf(x)，则f(x)为周期

函数，T是一个周期。）

如：若fxaf(x)，则

（答：f(x)是周期函数，T2a为f(x)的一个周期）

我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，这时说这f(x)f(xt)0个函数周期2t. 推导：f(xt)f(x2t)0f(x)f(x2t)，

同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对称， 对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。

如：

又如：若f(x)图象有两条对称轴xa，xb即f(ax)f(ax)，f(bx)f(bx)f(x)f(2ax)f(2ax)f(2bx)f(x)f(2bx)令t2ax,则2bxt2b2a,f(t)f(t2b2a)即f(x)f(x2b2a)所以,函数f(x)以2|ba|为周期(因不知道a,b的大小关系,为保守起见,我加了一个绝对值

13. 你掌握常用的图象变换了吗？

f(x)与f(x)的图象关于y轴对称 联想点（x,y）,(-x,y)

f(x)与f(x)的图象关于x轴对称 联想点（x,y）,(x,-y)

f(x)与f(x)的图象关于原点对称 联想点（x,y）,(-x,-y)

f(x)与f1(x)的图象关于直线yx对称 联想点（x,y）,(y,x)

f(x)与f(2ax)的图象关于直线xa对称 联想点（x,y）,(2a-x,y)

f(x)与f(2ax)的图象关于点(a，0)对称 联想点（x,y）,(2a-x,0)

a(a0)个单位yf(xa)上移b(b0)个单位yf(xa)b

将yf(x)图象左移右移a(a0)个单位yf(xa)下移b(b0)个单位yf(xa)b

（这是书上的方法，虽然我从来不用， 但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。你要判断函数y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的

坐标。 看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。）

注意如下“翻折”变换：

f(x)|f(x)|把x轴下方的图像翻到上面

f(x)f(|x|)把y轴右方的图像翻到上面

如：f(x)log2x1

作出ylog2x1及ylog2x1的图象

y

y=log2x

O 1 x

(k<0) y

(k>0)

y=b

O’(a,b)

O x

x=a

14. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

（1）一次函数：ykxbk0

（2）反比例函数：y的双曲线。

(k为斜率，b为直线与y轴的交点)

kkk0推广为ybk0是中心O\'(a，b)

xxa2b4acb2

（3）二次函数yaxbxca0ax图象为抛物线

2a4a2b4acb2b，对称轴x

顶点坐标为，

4a2a2a

开口方向：a0，向上，函数ymin4acb2

4a

a0，向下，ymax4acb2

4a

根的关系：xb2abc x1x2,x1x2,|x1x2|aa|a|二次函数的几种表达形式：f(x)ax2bxc(一般式)

f(x)a(xm)2n(顶点式，（m，n）为顶点f(x)a(xx1)(xx2)(x1,x2是方程的2个根）f(x)a(xx1)(xx2)h(函数经过点（x1,h)(x2,h)

应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

ax2bxc0，0时，两根x1、x2为二次函数yax2bxc的图象与x轴

的两个交点，也是二次不等式ax2bxc0(0)解集的端点值。

②求闭区间［m，n］上的最值。

b） fmaxf(m),fminf(n)2ab区间在对称轴右边（m） fmaxf(n),fminf(m)2ab区间在对称轴2边 （nm）

2a4acb2 fmin,fmaxmax(f(m),f(n))4a也可以比较m,n和对称轴的关系， 距离越远，值越大区间在对称轴左边（n(只讨论a0的情况） ③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题。

0b2

如：二次方程axbxc0的两根都大于kk

2af(k)0 y

(a>0)

O k x1 x2 x

一根大于k，一根小于kf(k)0

0在区间（m，n）内有2根mb2anf(m)0

f(n)0在区间（m，n）内有1根f(m)f(n)0（4）指数函数：yaxa0，a1

（5）对数函数ylogaxa0，a1

由图象记性质！ （注意底数的限定！）

y

y=ax(a>1)

(01)

1

O 1 x

(0

（6）“对勾函数”yxkxk0

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？（均值不等式一定要注意等号成立的条件）

y

k

O

k

x

15. 你在基本运算上常出现错误吗？

指数运算：a01(a0)，ap1ap(a0)

m

annam(a0)，amn1nam(a0)

对数运算：loga(MN)logaMlogaNM0，N0

logMaNlogMlog1aaN，lognaMnlogaM

对数恒等式：alogaxx

对数换底公式：logab

logcbnlogambnlogablogcam1logaxlogxa

16. 如何解抽象函数问题？

（赋值法、结构变换法）

如：（1）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)为奇函数。

（先令xy0f(0)0再令yx，……）

（2）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)是偶函数。

（先令xytf(t)(t)f(t·t)

∴f(t)f(t)f(t)f(t)

∴f(t)f(t)……）

（3）证明单调性：f(x2)fx2x1x2……



（对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了

1、 代y=x，

2、 令x=0或1来求出f(0)或f(1)

3、 求奇偶性，令y=—x；求单调性：令x+y=x1

几类常见的抽象函数

1. 正比例函数型的抽象函数

f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±y）＝f（x）±f（y）

2. 幂函数型的抽象函数

f（x）＝xa----------------f（xy）＝

f（x）f（y）；f（3. 指数函数型的抽象函数

f（x）＝ax-------------------

f（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝4. 对数函数型的抽象函数

x）＝

f（x）－f（y）

yf(x)

f(y)xf(x)）＝

yf(y)f（x）＝logax（a>0且a≠1）-----f（x·y）＝f（x）＋f（y）；f（5.

三角函数型的抽象函数

f（x）＝tgx--------------------------

f（x＋y）＝f(x)f(y)

1f(x)f(y)f（x）＝cotx------------------------

f（x＋y）＝

f(x)f(y)1

f(x)f(y)

例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>0，f(－1)＝ －2求f(x)在区间[－2,1]上的值域.

分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－x1）＋f（x1））；再根据区间求其值域.

例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>2，2f(3)＝ 5，求不等式

f（a－2a－2）<3的解.

分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（仿例1）；再求出f（1）＝3；最后脱去函数符号.

例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1].

（1）判断f（x）的奇偶性；

（2）判断f（x）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明；

（3）若a≥0且f（a＋1）≤39，求a的取值范围.

分析：（1）令y＝－1；

（2）利用f（x1）＝f（x1x·x2）＝f（1）f（x2）；

x2x2 （3）0≤a≤2.

例4设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2）；对任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求：

（1）f（0）；

(2)对任意值x，判断f（x）值的符号.

分析：（1）令x=

y＝0；（2）令y＝x≠0.

例5是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）>0,x∈N；②f（a＋b）＝

f（a）f（b），a、b∈N；③f（2）＝4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由.

分析：先猜出f（x）＝2x；再用数学归纳法证明.

例6设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求：

（1）

f（1）；

（2） 若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围.

分析：（1）利用3＝1×3；

（2）利用函数的单调性和已知关系式.

例7设函数y＝

f（x）的反函数是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由.

分析：设f（a）＝m，f（b）＝n，则g（m）＝a，g（n）＝b，

进而m＋n＝f（a）＋f（b）＝

f（ab）＝f [g（m）g（n）]….

例8已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：

①

②

③

x1、x2是定义域中的数时，有f（x1－x2）＝f(x1)f(x2)1；

f(x2)f(x1)f（a）＝ －1（a＞0，a是定义域中的一个数）；

当0＜x＜2a时，f（x）＜0.

试问：

（1）

f（x）的奇偶性如何？说明理由；

（2） 在（0，4a）上，f（x）的单调性如何？说明理由.

分析：（1）利用f [－（x1－x2）]＝ －f [（x1－x2）]，判定f（x）是奇函数；

（3） 先证明f（x）在（0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数.

对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题.

例9已知函数f（x）（x≠0）满足f（xy）＝f（x）＋f（y），

（1） 求证：f（1）＝f（－1）＝0；

（2） 求证：f（x）为偶函数；

1（3） 若f（x）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式f（x）＋f（x－）≤0.

2分析：函数模型为：f（x）＝loga|x|（a＞0）

（1） 先令x＝y＝1，再令x＝y＝ －1；

（2） 令y＝ －1；

（3） 由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（|x|）.

例10已知函数f（x）对一切实数x、y满足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）·f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，求证：

（1） 当x＞0时，0＜f（x）＜1；

（2）

f（x）在x∈R上是减函数.

分析：（1）先令x＝y＝0得f（0）＝1，再令y＝－x；

（3） 受指数函数单调性的启发：

由f（x＋y）＝f（x）f（y）可得f（x－y）＝f(x)，

f(y)进而由x1＜x2，有f(x1)＝f（x1－x2）＞1.

f(x2)练习题：

1.已知：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）对任意实数x、y都成立，则（ ）

（A）f（0）＝0 （B）f（0）＝1

（C）f（0）＝0或1 （D）以上都不对

2. 若对任意实数x、y总有f（xy）＝f（x）＋f（y），则下列各式中错误的是（ ）

1（A）f（1）＝0 （B）f（）＝

f（x）

x（C）f（x）＝

f（x）－f（y） （D）f（xn）＝nf（x）（n∈N）

y3.已知函数f（x）对一切实数x、y满足：f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，则当x＞0时，f（x）的取值范围是（ ）

（A）（1，＋∞） （B）（－∞，1）

（C）（0，1） （D）（－1，＋∞）

4.函数f（x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x1、x2都有

f（x1－x2）＝f(x1)f(x2)，则f（x）为（ ）

1f(x1)f(x2)（A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数

（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数

5.已知不恒为零的函数f（x）对任意实数x、y满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2[f（x）＋f（y）]，则函数f（x）是（ ）

（A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数

（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数

参考答案：

1．A 2．B 3 ．C 4．A 5．B

函数典型考题

1.若函数f(x)(m1)x(m2)x(m7m12)为偶函数，则m的值是 （B ）

A.

1 B.

2 C.

3 D.

4

2．已知函数f(x)是定义域在R上的偶函数，且在区间(,0)上单调递减，求满足

22f(x22x3)f(x24x5)的x的集合．

．解：

f(x)在R上为偶函数，在(,0)上单调递减

f(x)在(0,)上为增函数 又f(x24x5)f(x24x5)

x22x3(x1)220，x24x5(x2)210

由f(x2x3)f(x4x5)得

x22x3x24x5

22x1

解集为{x|x1}.

3.若f(x)是偶函数，它在0,上是减函数,且f（lgx）>f(1),则x的取值范围是（ C ）

A. (11，1) B. (0，)1010(1，) C. (1，10) D. (0，1)10(10，)

4.若a、b是任意实数，且a>b,则 （ D ）

a11A. a2>b2 B. <1 C.

lgab >0 D.<

b22abc5.设a,b,c都是正数，且346，则下列正确的是 （B ）

ab(A)

1c1a122112212babab (B)

C (C)

C (D)

2cab

6．对于函数fxaxbxb1（a0）．

2（Ⅰ）当a1,b2时，求函数f(x)的零点；

（Ⅱ）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的零点，求实数a的取值范围．

7. 二次函数yaxbxc中，ac0，则函数的零点个数是（ C ）

2

A 0个 B 1个 C 2个 D 无法确定

8．若函数fxxaxb的两个零点是2和3,则函数gxbxax1的零点是（D）

22A．1 和2 B．1 和2 C．1111和 D．和

23329．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0（x∈R），其中正确命题的个数是（ D ）

A 4 B 3 C 2 D 1

2x10.已知函数f(x2-3)=lg2,

x6(1)f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性；

(3)求f(x)的反函数; (4)若f[(x)]=lgx,求(3)的值。

解：（1）∵f(x2-3)=lgx2(x23)3x30得x2-3>3,∴ f(x)的定义域为（3，+）,∴f(x)=lg,又由2。

2x3x6(x3)3（2）∵f(x)的定义域不关于原点对称，∴ f(x)为非奇非偶函数。

3(10y1)3(10x1)x3-1(x0) （3）由y=lg,x>3,解得y>0, ∴f(x)=,得x=x310y110x1(4) ∵f[(3)]=lg(3)3(3)3lg3,∴3，解得(3)=6。

(3)3(3)311.下列函数中，同时满足：有反函数，是奇函数，定义域和值域相同的函数是（ C ）

exex1x（A）y=（B）y=lg（C）y=-x3

（D）y=x

21x零点问题