高中数学椭圆知识点总结

2023年12月20日发(作者：四省联考数学试卷及答案文件)

椭圆知识点

知识点一：椭圆的定义

平面内一个动点P到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(PF1PF22aF1F2) ,这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.

注意：若PF1PF2F1F2，则动点P的轨迹为线段F1F2；

若PF1PF2F1F2，则动点P的轨迹无图形.

知识点二：椭圆的简单几何性质

x2y2y2x2 椭圆：221(ab0)与

221(ab0)的简单几何性质

abab

标准方程

x2y21

(ab0)

a2b2y2x21

(ab0)

a2b2图形

焦点

焦距

范围

对称性

性质

顶点

轴长

F1(c,0)，F2(c,0)

F1(0,c)，F2(0,c)

F1F22c

xa，yb

关于x轴、y轴和原点对称

F1F22c

xb，ya

(a,0)，(0,b)

(0,a)，(b,0)

长轴长=2a，短轴长=2b 长半轴长=a，短半轴长=b（注意看清题目）

离心率

ec(0e1)

aA1F1A2F2ac；A1F2A2F1ac；acPF1ac；

每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！

(p是椭圆上一点)（不等式告诉我们椭圆上一点到焦点距离的范围）

注意：①与坐标系无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；②与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等

知识点三：椭圆相关计算

1．椭圆标准方程中的三个量a,b,c的几何意义

a2b2c2

b22.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长2a

焦点弦：椭圆过焦点的弦。

3.最大角:p是椭圆上一点，当p是椭圆的短轴端点时，F1PF2为最大角。

4.椭圆上一点和两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。

焦点三角形的面积

5.求椭圆标准方程的步骤（待定系数法）．

每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！

SPF1F2b2tan2，其中F1PF2（注意公式的推导）

(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上．

(2)设方程：

x2y2x2y2 ①依据上述判断设方程为22=1(ab0)或22=1(ab0)

baab②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)．

(3)找关系，根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组．

(4)解方程组，代入所设方程即为所求．

6.点与椭圆的位置关系:

x2y2x2y2x2y22<1,点在椭圆内；22=1，点在椭圆上；22>1, 点在椭圆外。

2ababab7.直线与椭圆的位置关系

设直线方程y＝kx＋m，若直线与椭圆方程联立，消去y得关于x的一元二次方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．

(1)Δ＞0，直线与椭圆有两个公共点；

(2)Δ＝0，直线与椭圆有一个公共点；

(3)Δ＜0，直线与椭圆无公共点．

8.弦长公式：（注意推导和理解）

若直线l:ykxb与圆锥曲线相交与A、B两点，A（x1,y1),B(x2,y2)则弦长AB(x1x2)2(y1y2)2(x1x2)2(kx1kx2)2

1k2x1x2

1k2(x1x2)24x1x2=

9.点差法：

就是在求解圆锥曲线题目中，交代直线与圆锥曲线相交所截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．

步骤:①设直线和圆锥曲线交点为

式： ， ．.

， ，其中点坐标为 ，则得到关系每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！

②把 ， 分别代入圆锥曲线的解析式，并作差，利用平方差公式对结果进行因式分解．其结果为m(x1x2)(x1x2)n(y1y2)(y1y2)0

③利用

求出直线斜率,代入点斜式得直线方程为 .

中点弦的重要结论（不要死记会推导）

xacos10．参数方程 （为参数）几何意义：离心角

ybsin

11、椭圆切线的求法

x2y2xxyy1）切点（x0y0）已知时，221(ab0) 切线02021

ababy2x2yyxx

221(ab0) 切线02021

ababx2y22）切线斜率k已知时，

221(ab0) 切线ykxa2k2b2

aby2x2

221(ab0) 切线ykxb2k2a2

ab

12、焦半径：椭圆上点到焦点的距离

x2y2

221(ab0)

raex0（加减由长短决定）

aby2a2

221(ab0)

raey0（加减由长短决定）

ab

每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！

13．离心率的求法

椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种方

14. 焦点三角形的周长和面积的求法

利用定义求焦点三角形的周长和面积，解焦点三角形常利用椭圆的定义和正弦正理，常

15.

椭圆的范围或最值问题

知识点四：椭圆了解知识

1、椭圆面积：S椭ab

2、椭圆的第二定义：

每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！

仰望天空时，什么都比你高，你会自卑;

俯视大地时，什么都比你低，你会自负;

只有放宽视野，把天空和大地尽收眼底，

才能在苍穹泛土之间找准你真正的位置。

无须自卑，不要自负，坚持自信。

用心工作，快乐生活！（工作好，才有好的生活！）

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每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！