2024年1月25日发(作者：合肥中考数学试卷及答案解析)

6268工程数学

一、选择题

1、设Ａ、Ｂ均为n阶方阵，则下列命题中不正确的是（ ③ ）。

①AAAklkl ②

(Ak)lAkl ③(AB)kAkBk

④

(AB)kA(BA)k1B

2、设A,B均为n阶方阵且可逆，满足矩阵方程AXBC,则下列命题正确的是（ ③ ）。

①XABC ②XCAB ③XACB ④XBCA

3、设A,B均为n阶正交矩阵，A表示A的转置矩阵，则下列命题中不正确的是（ ④ ）。

①A是正交矩阵 ②A是正交矩阵 ③AB是正交矩阵 ④AB是正交矩阵

4、排列（1，8，2，7，3，6，4，5）是（ ② ）。

①奇排列 ②偶排列 ③非奇非偶 ④以上都不对

5、向量组1(0,0,0,1),2(1,1,0,1),3(2,1,3,1),4(1,1,0,1),

。

5(0,1,1,1)的最大无关组是（ ③ ）①

1,2,3 ②

1,2,5 ③

1,3,4,5

④

1,2,3,4

6、齐次线性方程组AX0有非零解的充分必要条件是（ ② ）。

①

|A|0 ②

|A|0 ③

|A|1 ④

|A|1

7、设向量组1(1,2,1),2(1,3,),1(1,,3),(1,3,2),，当满足（ ④ ）时，1TT11111111不能由1,2,3线性表示。

①0 ②3 ③0 ④0或3

10 8、设A00，则A的特征值是（ ③ ）。

03①1,1,2,2 ②1,1,2,3 ③1,2,3,3 ④1,2,2,3

(1)x12x24x309、齐次线性方程组2x1(3)x2x30有非零解，则（ ① ）。

xx(1)x0231

1

2 ③0，3 ④2,3 ①0,2或3 ②0，1010、要使10,21都是AX0的解，只要系数矩阵是（ ① ）。

21201102①

211 ②

 ③



011011011④

422

01111、设*是非齐次线性方程组AXb的解，是对应的齐次线性方程组AX0的解，则下列结论中正确的是（ ② ）。

①

*是AX0的解 ②

③

*是AX0的解 ④

*是AXb的解

*是AXb的解

12、设n阶方阵A,B,C可逆且满足ABCE，则必有（ ② ）。

①ACBE ②CBAE ③BACE ④BCAE

13、下列命题中正确的是（ ④ ）。

①设x1,x2是AXb的解，则x12是AXb的解

②设x1,x2是AXb的解，则x12是AXb的解

③设x1,x2是AXb的解，则x12是AX0的解

④设x1,x2是AXb的解，则x12是AX0的解

14、 设Ａ，Ｂ，Ｃ是任意三个随机事件，则以下命题中正确的是（ ① ）。

①

(AB)BAB ②

(AB)BA

③

(AB)CA(BC) ④

(AB)ABAB

1,2,3,,10，A2,3,4，B3,4,5，则AB＝（ ③ ）15、设S。

①

3,4 ②

2 ③

5 ④

5,6

16、若随机事件A,B,C两两互不相容，且P(A)0.2，P(B)0.3,P(C)0.4，则

2

。

P(ABC)等于（ ① ）①0.5 ②0.1 ③0.44 ④0.3

17、设随机变量X与Y相互独立，则下列等式中不正确的是（ ③ ）。

①E(XY)E(X)E(Y) ②D(XY)D(X)D(Y)

③D(XY)D(X)D(Y) ④XY0

18、10件新产品中有2件次品，现在其中取两次，每次随机地取一件，作不放回抽样，则

两件都是正品的概率为（ ① ）。

①

284441 ② ③ ④

4554545

19、下列命题中不正确的是（ ③ ）。

①P(A)1P(A) ②P()0

③P(AB)P(A)P(B) ④若AB，则P(BA)P(B)P(A)

20、随机变量X的方差记为D(X)，则下列等式中不正确的是（ ④ ）。

①D(C)0（C为常数） ②D(XC)D(X)

③

D(CX)CD(X)

T2 ④D(XY)D(X)D(Y)

21、A表示A的转置距阵，则下列命题不正确的是（ ④ ）。

①

(A)A ②(AB)AB ③(A)A ④(AB)AB

TTTTTTTTTT12 （ ② ）22、。

25①25121414512 ② ③ ④

1229425425122923、下列命题中不正确的是（ ② ）。

①属于不同特征值的特征向量是线性无关的

②属于同一特征值的特征向量只有一个

③两个相似矩阵的特征值相同

④对称矩阵对应于两个不同特征值的特征向量是正交的

24、排列（２，４，５，３①

9 ②

10 ③

12 ④

8

① ）。

3

25、下列不正确的命题是（ ① ）。

①向量组的最大无关组必定唯一

②向量组的初等变换不改变向量组的秩和向量组的相关性

③向量组与其最大无关组等价

④设A(aij)mn，若A列列相关，则A行行不一定相关

211226、设A121a使R(A)3，则a的值（ ④ ）。

2112a①a1,a2 ②a1,a2

③a1,a2 ④a1,a2

x1x2x3027、齐次线性方程组2x1x2ax30有非零解的充分必要条件是常数a（ ② ）。

x2xx0231① １ ② ２ ③ ３ ④ ４

28、下列命题中正确的是（ ③ ）。

①若1,2,,r是一组线性相关的n维向量，则对于任意不全为0的数k1,k2kr，均有1k12k2rkr0

②若1,2,,r是一组线性无关的n维向量，则对于任意不全为0的数k1,k2kr，均有1k12k2rkr0

③如果向量组1,2,,r(r2)中任取个m向量(mr)所组成的部分向量组都线性无关，则这个向量组本身也是线性无关的

④若1,2,,r(r2)是线性相关的，则其中任何一个向量均可由其余向量线性表示

129、1231（ ② ）。

1

312312312312①231②231③231④231

23123123123130、设A为n阶方阵，若RAkn，则AX0的基础解系中所含向量个数为（ ④ ）。

4

①k个 ②n个 ③0个 ④(nk)个

31、已知向量组1,2,3,4线性无关，则下列命题正确的是（ ③ ）。

①12,23,34,14线性无关

②12,23,34,41线性无关

③12,23,34,41线性无关

④12,23,34,41线性无关

32、设A是n阶方阵，A0则A中（ ② ）。

①必有两列元素对应成比例 ②必有一列向量是其余列向量的线性组合

③任一列向量是其余列向量的线性组合 ④必有一列向量为零向量

33、设Ａ为mn矩阵,B(A,b),则方程组AXb有无穷多解的充要条件是

（ ④ ）。

①

R(A)R(B) ②

R(A)R(B) ③

R(A)R(B)n

④

R(A)R(B)n

34、 若随机事件Ａ和Ｂ都不发生的概率为Ｐ，则以下结论正确的是（ ③ ）。①

P(AB)1p ②

P(ABAB)1p

③

P(AB)1p ④

P(AB)1p

35、 设Sx0x2，Ax1x1，Bx1324x2，则AB＝（①x0x1x2 ②x12x12x1

③x0x12 ④x1x2

36、下列命题中，正确的是（ ④ ）。

①

P(A)0,则Ａ是不可能事件 ②

D(XY)D(X)D(Y)

③

P(AB)P(A)P(B),则Ａ与Ｂ是互不相容的

④

P(AB)P(AB)1,则P(A)P(B)1

37、方差D(X)0的充分必要条件是（ ① ）。

①PXE(X)1 ②XC ③XE(X) ④XE(X)C

① ）。

5

38、设随机变量X与Y相互独立，其概率分布分别为

X0

1

Y0

1

p

①2则下列结论正确的是（ ③ ）。

①XY ②PXY1 ③PXY39、设A,B,C为随机事件，则下列等式中不正确的是（ ④ ）。

①ABBA ②ABBA

③(AB)CA(BC) ④ABAB

40、设X服从两点分布，且PX1p,PX01pq，则下列等式中不正确的是（ ④ ）。

①E(X)p ②E(X2)p ③E(X2)p2 ④D(X)pq

41、设Ａ,Ｂ均为n阶方阵且可逆，A为Ａ的行列式,则下列命题中不正确的是（ ② ）。

T1①AA ②AA ③ABAB ④A1242、。

 （ ② ）2543、已知A,B均为n阶方阵，则下列命题中正确的是（ ④ ）。

①(AB)A2ABB ②(AB)AB

③AB0则必有A0或B0 ④AB0的充分条件是A0或B0

44、 排列（２，４，５，３ ① ）。

22TTT① 奇排列 ② 偶排列 ③ 非奇非偶 ④ 以上都不是

45、 设Ａ为n阶方阵，若R(A)n2,则AX0的基础解系所含向量个数是（ ③ ）

① 零个（即不存在） ② １个 ③ ２个 ④

n个

6

12

12

p

12

12

1 ④以上都不正确

21

A25121414512 ② ③ ④

12294254251229

046、(1234)25（ ② ）

1①(23) ②23 ③1231 ④23

56347、矩阵101的特征值是（ ① ）1

12①1232 ②1231

③11,232 ④1233

48、设Ｄ是行列式，Aij是元素aij的代数余子式，下列等式中正确的是（nn①

aikAik0 ②

ikAikD

k1ak1nn③

aikAjkD,(ij) ④

k1aikAi1,kD

k149、n维向量1,2,,s(3sn)线性无关的充要条件（ ④ ）

①存在一组不全为0的数k1,k2ks，使k11k22kss0

②1,2,,s中任意两个向量线性无关

③1,2,,s中有一个向量不能由其余向量线性表示

④1,2,,s中任一向量都不能由其余向量线性表示

50、 设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n阶方阵，则下列命题中不正确的是（ ③ ）。①

(AB)CA(BC) ②

(AB)CA(BC)

③

ABBA ④

A(BC)ABAC

51、

x表示向量x的长度，则下列命题中不正确的是（ ③ ）。

①

x0时,x0 ②

x0时,x0

③

xx ④

xyxy

② ）

7

52、 设Ｐ是正交矩阵，则下列命题中不正确的是（ ③ ）。

①

P1PT ②

PPTE ③ Ｐ的列向量是两两正交的向量

④ Ｐ的行向量都是单位向量且两两相交

53、 设x,y表示两向量x,y的内积，x,y为非零向量，下列命题中不正确的是（ ③ ）。

①x,yy,x ②x,y0x,y正交

③x,yx,y ④xy,zx,zy,z

54、 一个口袋中装四个球，其中两个红球，两个白球，从中取两个球，两球

都是红球的概率是（ ② ）。

①

1111 ② ③ ④

4616855、 设A和B是两个随机事件，且P(AB)1，则以下结论正确的是（ ④ ）。

①AB ②BA ③P(AB)P(A)P(B) ④P(AB)P(A)

56、 下列等式中不正确的是（ ② ）。

①E(C)C ②

D(C)C2 ③

E(CX)CE(X)

④

D(CX)C2D(X)

57、 将一枚硬币抛两次，观察正反面出现的情况，设A表示“恰有一次出现正面”，则P(A)

（ ① ）。

113 ② ③ 1 ④

24458、 若事件A与B相互独立，则有（ ① ）。

①

①P(AB)P(A)P(B) ②P(AB)P(A)P(B)

③

P(AB)0 ④P(AB)P(A)

59、X的数学期望记为E(X)，则下列等式中不正确的是（ ② ）。

①E(aXb)aE(X)b ②E(XE(X))0

③E(XY)E(X)E(Y) ④E(XY)E(X)E(Y)

60、 设X服从泊松分布P()，则下列等式中不成立的是（ ② ）。

①E(X)

8

②E(X)

22③E(X) ④D(X)

22

二、填空题

1、4阶行列式中所有包含a23并带有负号的项是

a11a23a32a44,a12a23a34a41,a14a23a32a41。

2、排列341782659的逆序数为 11 。

41243、1202105200

0117

a2abb24、2aab2b(ab)3

111225、设A2123，A1136213623104

142a11a12a13100a11a12a136、aaaa21220102322a23

a31a32a33001a21a31a32a337、设A131301,A01

8．当mn时，m个n维向量线性 相关 。

253117439、矩阵759453132759454134的行向量组的一个极大线性无关组是 本行向量组 。25302048x1x210、方程组x31x1x2x3当 1 时有无穷多解。

xx212x311、设A,B为两个随机事件，则A,B至少有一个发生可表示为AB。

12、当P(AB)P(A)P(B)时，称事件Ａ与Ｂ是相互独立的。

9

13、当随机试验E满足 样本空间的元素只有有限个，且每个基本事件出现的可能性相同 时，称其为等可能性概型。

14、10件产品中有2件次品，从中任取三件，则至少有一件次品的概率是

15、设P(A)0.4,P(B)0.5,P(AB)0.2，则事件A与B 互相独立 。

16、行列式

8。

1512n1n(1)n(n1)2n!

n(n1)17、排列12n124(2n)的逆序数为 。

2213118、12504121 0

3162119、设Ａ可逆，Ａ亦可逆，则(A1)1 A 。

2113132120、

32102642396300

0010050051031,A21、 设Ａ011

02102322、 含有零向量的向量组线性 相关

23、向量组1(6,4,1,1,2),2(1,0,2,3,4),3(1,4,9,6,22),4(7,1,0,1,3)的

一个极大线性无关组是1,2,3,4。

24、若n阶方阵Ａ，Ｂ相似，则Ａ与Ｂ的特征多项式相同，从而Ａ与Ｂ的 特征值 相同。

10

25、当AB时，称事件A与B是互不相容的。

26、设A,B为两个随机事件，则P(AB)P(A)P(B)-P(AB)。

27、5个球中有三个红球，2个白球，从中任取一球，取到红球的概率是

28、10件产品中有2件次品，从中任取三件，则恰有一件次品的概率是3。

57。

1529、设X服从参数为的泊松分布，则E(X)﹦。

30、若X,Y相互独立则D(XY)

D(x)+D(Y) 。

a131、

0c10c2b10b200d1(a1b2a2b1)(c1d2c2d1)。

0d20a2032、 设A52112

,A212511401121433、设A111,B131,则ABBA531

11121431134、设向量组1(6,4,1,1,2),2(1,0,2,3,4),3(1,4,9,6,22),4(7,1,0,1,3)，向量组的秩等于 4 。

35、使排列1274j56k9为偶排列，则j 3 ，k 8 。

36、对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为 正 。

37、设A,B为同阶可逆方阵，则AB也可逆，且AB38、以A表示的转置距阵，则AB=BA。

T1B1A1。

TTT39、设1,2是方阵A的两个特征值，12,p1,p2分别是对应于1,2的特征向量，则p1,p2必 线性无关 。

1140、若方阵A可逆，则A与A的关系是A=A1。

11

41、 设A,B为二事件，若AB，则P(A)

P(B)。

42、 设X服从参数为的泊松分布，则D(X)=。

43、设A,B,C三个随机事件，则A,B,C都不发生可表示为ABC。

44、X是一个随机变量，E(X)为其数学期望，则X的方差D(X)定义为E{[XE(X)]2}。

45 、设A,B相互独立，P(AB)0.6,P(A)0.4，则P(B)

三、计算题

1、解矩阵方程1。

31235

X34592111131解：A

xAB23

221

x12x2x34x402、求方程组x13x2x34x40的基础解系

2x4x2x8x0234112141214101400 解：A131401000242800000000x1141x00xx4x2034

x3x4 基础解系：11x10x03201x04,400

1

3、设某种电阻的的次品率为0.01,作有放回抽样4次,每次一个电阻,求恰有两次取到次品的概率。

解：P(A)C4*(0.01)*(0.99)0.0006

4、设随机变量Ｘ的概率密度为

221

12

21x2,1x1f(x)，

其它0,试求X的分布函数F(x)。

解：当x<-1，F(x)f(x)dx0

x1 当-11，F(x)

1211tdt22x11t2dt

211t2dt

0x111F(x)(x1x2arcsinx)21x1x[1,1]

5、设某种电阻的的次品率为0.01,作有放回抽样4次,每次一个电阻,求至少有三次取到次品的概率。

解：PC4*(0.01)*(0.99)C4*(0.01)*(0.99)

3314416、连续型随机变量X的分布密度为

解： x<0,F(x)=0

cosx,0xf(x)2,试求分布函数F(x)

0,其它 0

1

 x>

2, F(x)=

0costdt2

13

0sinxF(x)=1

x00xx2

27、设随机变量X的分布函数Fxx2,试求Y2X3的分布函数Gy。

解：Y=2X+3

X=1/2(Y-3)

F(x)=x G(y)=1/4(y-3)

228、设总体X的密度函数为cx(1),f(x)0,xc其它其中c0为已知,1,为未知参数。X1,X2,,Xn为总体的一个样本，求参数的极大似然估计量。

解：写出似然函数：

L()(Cxi(1))i1n

*(C)*(xnnn(1)ii1)*(C)*(x)nnn)(1)

ii1

参数的极大似然估计

ln(L())nlnnlnC(1)(1)(lnxi)

i1nd(ln(L(

))令：dn得：n =nln(C)lnxi0

i1nnnln(C)lnxii1

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nnln(C)lnxii1n

9、 设总体X的密度函数为xxf(x)2e0,2(22),x0其它其中0,为未知参数。X1,X2,,Xn为总体的一个样本，求参数的极大似然估计量。

解：写出似然函数：

L()(i1nxi2*e2)2n(xi)e2xi2n12(2xi2)i1n

i1ln(L())-2n(ln)+lnxii1n122(xi2)

i1n 参数的极大似然估计

d(ln(L(

))2n1n203(xi)0 令：=di1=

1n2(xi)2ni1

xf(x)X10、设总体的密度函数为0,1,0x1其它其中0,为未知参数。X1,X2,,Xn为总体的一个样本，求参数的极大似然估计量。

解：写出似然函数：

1(x)

i

L()i1nnln(1)(lnxi)

2i1nln(L())

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参数的极大似然估计

d(ln(L(

))nn令：d=212((lnxi))0

i1n2=b((lnx))2

ii1

四、证明题

、设在a,b上服从均匀分布，试证（1）E()ba(ba)212，（2）D()12。1ax证：在（a,b）上均匀，其概率密度为：f(x)=bba0其它

E(X)=xf(x)dxbx*1badxaba2

D(X)=E(X2)-(E(X))2

E(X2x2f(x)dx1b3a3)=

3ba

1b3a3(ab)2D(X)=

13ba ─4 =12(ba)2

2、设向量组1,2,3线性无关，试证1,12,123线性无关。

证：设k11k2(12)k3(123)0

(k1k2k3)1(k2k3)2k330

k1k2k30k10kk

230

k20

k30k30

所以，1,12,123线性无关

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