一类有迁移的传染病模型的研究

2023年12月26日发(作者：鸡西2019中考数学试卷)

一类有迁移的传染病模型的研究

彭华勤;郭志明;白定勇

【摘 要】建立了一类有人口迁移的传染病模型,得到了该模型的基本再生数R0,证明了当R0〈1时无疾病平衡点是全局渐近稳定的,当R0〉1时存在地方病平衡点且该平衡点是全局渐近稳定的。%In this paper, the basic reproduction number

is obtained from the SIS epidemic model with population dispersal which

is previously established. It is proved that the disease-free equilibrium is

globally asymptotically stable if R0〈1 and endemic equilibrium exists and

is globally asymptotically stable if .R0〉1.

【期刊名称】《佛山科学技术学院学报（自然科学版）》

【年(卷),期】2012(030)004

【总页数】7页(P16-22)

【关键词】传染病模型;迁移;基本再生数;稳定性

【作 者】彭华勤;郭志明;白定勇

【作者单位】广州大学数学与信息科学学院,广东广州510006;广州大学数学与信息科学学院,广东广州510006;广州大学数学与信息科学学院,广东广州510006

【正文语种】中 文

【中图分类】R18

自然界中,生物种群的迁移十分频繁[1-6]。在迁移过程中,传染病很容易伴随生物种

群的迁移从一个斑块传播到另一个斑块,因此研究传染病在生物种群中传播时,应当考虑种群的迁移。2004年,王稳地和赵晓强[5]建立了一个传染病传播的数学模型,并研究了斑块间有人口迁移的疾病传播的动力学性态,讨论了该模型在各平衡点处的稳定性。2006年,苟清明与王稳地在文献[6]中讨论了一类具有logistic增长率且只允许易感染者迁移的SIS传染病模型。受文献[6]的启发,本文将研究一类具有logistic函数出生率和死亡率且所有个体能够在斑块间自由迁移的SIS传染病模型。

本文将某地区的总人口分为两类:易感染者S和染病者I,它们分布在该地区的两个斑块中。易感染者与染病者接触后有可能变成染病者,而染病者康复之后立刻又变成易感染者,一些细菌性传染病符合上述病理现象。记Si(t)、Ii(t)和Ni(t)(i=1,2)分别表示在t时刻第i个斑块易感染者、感染者和总人口数量且满足Ni(t)=Si(t)+Ii(t)。U i为疾病传染率系数,_i为疾病恢复率,Pi表示迁移率,出生率和死亡率假定为logistic函数,其中都是大于零的常数,bi表示平均出生率,di表示平均死亡率,ri表示内禀增长率,Ki表示第i个斑块所能容纳此物种个体的最大数量即环境容纳量。根据传染病学的基本原理,可以建立如下有人口迁移的SIS传染病模型

由于,代入方程组(1)可得

因此方程组(1)可变为

容易验证D={(N 1,N 2,I1,I2)|Ni＞0,Ii≥0,i=1,2}是系统(2)的正向不变集,因此下面仅在D中对系统(2)进行分析。

1 模型分析

1.1 无疾病平衡点的存在性与稳定性

首先考虑无疾病平衡点。由

可得

在坐标平面(N1-N 2)内两条抛物线分别是凸的和凹的且都经过原点,它们的顶点坐标分别为。根据抛物线的凹凸性质可知它们在第一象限内有惟一的交点,所以方程组(2)存在惟一的无疾病平衡点E1(N*1,,0,0)且满足

方程组(2)在无疾病平衡点的雅可比矩阵为

其中

矩阵J的特征多项式为

其中

记。经过简单计算可知-4h2＞0,m2-4n＞0。考虑矩阵

与

记矩阵FV-1的谱半径d(FV-1)为,根据文献[7]可知为方程组(2)的基本再生数。

引理1[7]1当且仅当λ1＞0;＜1当且仅当λ1＜0。

定理1 若λ1＜0,则无疾病平衡点E1(,,0,0)是局部渐近稳定的;若λ1＞0则无疾病平衡点E1(,,0,0)是不稳定的。

证明 由方程组(3)可知

易知m＜0,n＞0,从而λ2＜0。

当λ1＜0时,矩阵J的特征值全部小于零,所以无疾病平衡点,0,0)是局部渐近稳定的。

当λ1＞0时,矩阵J的特征值至少有一个特征值大于零,从而无疾病平衡点E1,0,0)是不稳定的。证毕。

定理2 如果＜1且,则方程组(2)的无疾病平衡点,0,0)是全局渐近稳定的。

证明 由方程组(2)有

作辅助系统

记,显然矩阵A对应的特征方程只有负根,从而辅助方程组的正解满足

由比较原理可知方程组(2)的正解满足式(4)。

由文献[6]可知方程组(2)是耗散的,考虑其极限系统

系统(5)在G={(N 1,N 2)∶Ni≥0,i=1,2}{0}内存在惟一的平衡点=,从定理1的证明过程可知是局部渐近稳定的。在G内令K=0。由Dulac判别法可知极限系统在G内无极限环,所以=)在G内是全局渐近稳定的,即当t→∞时(N 1(t),N2(t),0,0)→(

由极限系统理论可知方程组(2)满足(N1(t),N 2(t),I1(t),I2(t))→,0,0),t→∞,所以E1(,0,0)是全局渐近稳定的。证毕。

1.2 地方性疾病平衡点的存在性与稳定性

本节分析以下方程组

考虑该方程组的平衡点有

则

两抛物线在坐标平面(I1-I2)第一象限内凹凸性相异且都经过原点,顶点坐标分别为

根据两抛物线的凹凸性可知两抛物线在第一象限内没有交点必须满足

且两抛物线在原点处的斜率之积大于或等于1。根据凹凸性可知其余的情况都有惟一的交点。

根据0,可知h1＜0。由于两抛物线在原点处的斜率分别为,如果它们的乘积大于或等于1,则有h2=P1 P2≥0。如果h2＞0且h1＜0,则有λ1＜0,所以λ1＜0时,两抛物线在第一象限内没有交点,这也和前面定理与实际相符合。

根据上述讨论可知λ1＞0时存在惟一的平衡点,不妨设为),它满足

所以E2=()为方程组(2)惟一的地方性疾病正平衡点。

定理3 如果1,则方程组(2)的地方性疾病平衡点E2=()是全局渐近稳定的。

证明 考虑其极限系统

因为

从而

因此有

所以有

令U1=I1-,U2=I2-,G={(U1,U2)∶Uj＞-I*j,j=1,2}。则方程(8)化为

作Liapunov函数,得

其中,0。V沿着方程组(9)的全导数为

所以方程组(8)的零解在G中全局渐近稳定,则方程组(7)的平衡点是全局渐近稳定的。由极限系统理论可知方程组(2)的正平衡点E2=()是全局渐近稳定的。证毕。

注 h1＞0说明单位时间内一个患者在两个斑块内产生的新患者数大于从每一个斑块内患者的流失之和。记R12为两个斑块看作一个整体时的基本再生数。

由h1＞0有

即

记R1、R2分别为斑块1、2的基本再生数,h表示一个患者在两个斑块内各自的平均病程内分别产生的新染病者的积和迁出者数的乘积差。则有

将上式展开可得

从而有

即R1+R2-h＞1。所以尽管R12＜1,当R1+R2-h＞1时疾病继续存在,因此在有迁移的模型中要保证疾病消亡还必须加条件R12＜1且R1+R2-h＜1。

2 结论

本文建立了一个有人口迁移的SIS传染病模型,分析了在人口迁移的影响下疾病传播的动力学性态。该模型采用了满足logistic函数的种群出生率和死亡率,从而使得模型更为合理,与实际更加符合。通过分析认识到主特征值时无疾病平衡点是全局渐近稳定的,λ1＞0时地方性疾病平衡点是全局渐近稳定的。同时也发现在有迁移的模型中要保证疾病的消亡不仅需要R12＜1,同时还必须添加条件R1+R2-h＜1,这里R12表示两个斑块看作整体时的基本再生数,R1、R2为斑块1与斑块2的基本再生数,h表示一个患者在两个斑块内各自的平均病程内分别产生的新染病者的积和迁出者数的乘积差。

参考文献:

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[4] 苟清明,余沛.一类有迁移的传染病模型的阈值[J].四川师范大学学报:自然科学版,2006,29(3):273-276.

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