大学生数学竞赛真题(非数学类)

2023年12月26日发(作者：淮北一模2023数学试卷)

2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题（每小题5分，共20分）

y(xy)ln(1)xdxdy____________，其中区域D由直线xy1与两1．计算D1xy坐标轴所围成三角形区域.

2．设f(x)是连续函数，且满足f(x)3x220f(x)dx2, 则f(x)____________.

x2y22平行平面2x2yz0的切平面方程是__________. 3．曲面z24．设函数yy(x)由方程xef(y)eyln29确定，其中f具有二阶导数，且f1，则d2y________________.

dx2

exe2xenxx)，其中n是给定的正整数. 二、（5分）求极限lim(x0n

三、（15分）设函数f(x)连续，g(x)并讨论g(x)在x0处的连续性.

四、（15分）已知平面区域D{(x,y)|0x,0y}，L为D的正向边界，试证：

（1）xeLsiny10e且limf(xt)dt，x0f(x)求g(x)A，A为常数，xLdyyesinxdxxesinydyyesinxdx；

L（2）xe

siny5dyyesinydx2.

2五、（10分）已知y1xee，y2xee

1 / 14

x2xxxx2xx，y3xeee是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.

六、（10分）设抛物线yaxbx2lnc过原点.当0x1时,y0,又已知该抛物线与x轴及直线x1所围图形的面积为旋转体的体积最小.

21.试确定a,b,c,使此图形绕x轴旋转一周而成的3(x)un(x)xn1ex(n1,2,), 且un(1)七、（15分）已知un(x)满足un项级数

八、（10分）求x1时, 与

e, 求函数nun1n(x)之和.

xn等价的无穷大量.

n022010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、（25分，每小题5分）

（1）设xn(1a)(1a2)（2）求limexx(1a2),其中|a|1,求limxn.

nn11。

xx2（3）设s0，求I0esxxndx(n1,2,)。

222g2g1（4）设函数f(t)有二阶连续导数，rxy,g(x,y)f，求22。

xyrxy0x2y1z3（5）求直线l1:与直线l2:的距离。

421z02 / 14

二、（15分）设函数f(x)在(,)上具有二阶导数，并且

f(x)0,limf(x)0,limf(x)0,且存在一点x0，使得f(x0)0。

xx

x2tt2(t1)所确定，其中(t)具有二三、（15分）设函数yf(x)由参数方程y(t)阶导数，曲线y(t)与y

四、（15分）设an0,Snt21eudu23在t1出相切，求函数(t)。

2ea,证明：

kk1n（1）当1时，级数an收敛；

Sn1nan发散。

Sn1n（2）当1且sn(n)时，级数

五、（15分）设l是过原点、方向为(,,)，（其中1)的直线，均匀椭球

222x2y2z2221，其中（0cba,密度为1）绕l旋转。

2abc（1）求其转动惯量；

（2）求其转动惯量关于方向(,,)的最大值和最小值。

3 / 14

六、(15分)设函数(x)具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线积分c2xydx(x)dy的值为常数。

42xy22（1）设L为正向闭曲线(x2)y1,证明c2xydx(x)dy0;

x4y2（2）求函数(x)；

（3）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求

c2xydx(x)dy。

x4y22011年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一． 计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分）

sinx（1）.求limx0x

11cosx；

111（2）.求lim...；

nn1n2nn

2txln1ed2y（3）已知，求。

2tdxytarctane4 / 14

二．（本题10分）求方程2xy4dxxy1dy0的通解。

三．（本题15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且f0,f\'0,f\"0均不为0，证明：存在唯一一组实数k1,k2,k3，使得limh0k1fhk2f2hk3f3hf0h20。

四．（本题17分）设x2y2z21:2221，其中abc0abc，2:z2x2y2，为1与2的交线，求椭球面1在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。

x23y21五．（本题16分）已知S是空间曲线绕y轴旋转形成的椭球面的上半部z0分（z0）取上侧，是S在Px,y,z点处的切平面，x,y,z是原点到切平面的距离，,,表示S的正法向的方向余弦。计算：

z（1）dS；（2）zx3yzdS

x,y,zSS5 / 14

,内的可微函数，且f、xmfx，其中0m1，任取实数a0，定义anlnfan1,n1,2,...,证明：六．（本题12分）设f(x)是在an1nan1绝对收敛。

七（．本题15分）是否存在区间满足f0f21，

0,2上的连续可微函数f(x)，f

、x1,0fxdx1？请说明理由。

22012年 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、（本大题共5小题，每小题6分共30分）解答下列个体（要求写出要求写出重要步骤）

1(1) 求极限lim(n!)n

n22xy3z20(2) 求通过直线l:的两个互相垂直的平面1和2，使其中5x5y4z30一个平面过点(4,3,1)。

(3) 已知函数zu(x,y)eaxby2u0。，且确定常数a和b，使函数zz(x,y)xy2zzzz0 满足方程xyxy6 / 14

(4) 设函数uu(x)连续可微，u(2)1，且(x2y)udx(xu3)udy在右半平面与路径无关，求u(x,y)。

x1sint(5) 求极限lim3xdt

xxtcost

二、（本题10分）计算

三、求方程x2sin0e2xsinxdx

12x501的近似解，精确到0.001.

x

四、（本题12分）设函数yf(x)二阶可导，且f(x)0，f(0)0，f(0)0，x3f(u)求lim，其中u是曲线yf(x)上点P(x,f(x))处的切线在x轴x0f(x)sin3u上的截距。

五、（本题12分）求最小实数C，使得满足10f(x)dx1的连续函数f(x)都 有

10f(x)dxC

六、（本题12分）设f(x)为连续函数，t0。区域是由抛物面zx2y2

和球面x2y2z2t2(z0)所围起来的部分。定义三重积分

F(t)f(x2y2z2)dv

 求F(t)的导数F(t)

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七、（本题14分）设an与bn为正项级数，证明：

n1n1an10，则级数an收敛；

 （1）若limnabbn1n1nn1an10，且级数bn发散，则级数an发散。

 （2）若limnabn1n1n1n1bn

2013年 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、

解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤）

1.求极限lim1sin14nn2.

n2.证明广义积分0sinxdx不是绝对收敛的

x3.设函数yyx由x33x2y2y32确定，求yx的极值。

4.过曲线y面积为

3xx0上的点A作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的平面图形的3，求点A的坐标。

4二、（满分12）计算定积分I

xsinxarctanexdx

21cosx三、（满分12分）设fx在x0处存在二阶导数f0，且limx08 / 14

fx0。x

1证明 ：级数f收敛。

nn1

四、（满分12分）设fx,fx0axb，证明sinfxdxab2

m

五、（满分14分）设是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二型的曲面积分Ix3xdydz2y3ydzdx3z3zdxdy。试确定曲面，使积分I的值最小，并求该最小值。

六、（满分14分）设IarCydxxdyx2y2a，其中a为常数，曲线C为椭Iar

圆x2xyy2r2，取正向。求极限rlim

112n的敛散性，若收敛，求其和。七（满分14分）判断级数

n1n1n21

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2014年 全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、 填空题(共有5小题，每题6分，共30分)

x1. 已知y1e和y1xe是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是___

x_________________________________

2. 设有曲面S:zx2y和平面L:2x2yz0。则与L平行的S的切平面方程是_______________________________

3. 设函数yy(x)由方程xn22yx1dyt_______________

sin2dt所确定。求dx4x04. 设xnk。则limxn______________________

nk1(k1)!5. 已知lim1x

x0f(x)f(x)3e。则lim____________________

2x0xx1x二、 （本题12分）设n为正整数，计算I

1e2nd1coslndx。

dxx三、 （本题14分）设函数f(x)在[0,1]上有二阶导数，且有正常数A,B使得|f\"(x)|B。证明：对任意x[0,1]，有|f\'(x)|2A

B。

2四、 （本题14分）（1）设一球缺高为h，所在球半径为R。证明该球缺体积为3222（2）设球体(x1)(y1)(z1)12被(3Rh)h2。球冠面积为2Rh；平面P:xyz6所截得小球缺为，记球冠为，方向指向球外。求第二型曲面积分

Ixdydzydzdxzdxdy



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五、 （本题15分）设f在[a,b]上非负连续，严格单增，且存在xn[a,b]，使得1bn[f(xn)][f(x)]dx。求limxn

anban

六、 （本题15分）设An

nnnlimnA。求n

22222nn1n2nn42015年 第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题（每小题6分，共5小题，满分30分）

2sinsin（1）极限limn2n2nnn1n2sin2.

nn（2）设函数zzx,y由方程Fxzz,y0所决定，其中Fu,v具有连续偏导yx数，且xFuyFv0。则x22zzy.

xy（3）曲面zxy1在点M1,1,3的切平面与曲面所围区域的体积是.

3,x5,0（4）函数fx在5,5的傅立叶级数在x0收敛的值是.

0.x0,5（3）设区间0,上的函数ux定义域为的ux0extdt，则ux的初等函数表2达式是.

二、（12分）设M是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程。

三、（12分）设fx在a,b内二次可导，且存在常数,，使得对于xa,b，有11 / 14

fxfxfx，则fx在a,b内无穷次可导。

n32n四、（14分）求幂级数x1的收敛域，及其和函数。

n0n1!

五、（16分）设函数fx在0,1上连续，且（1）x00,1使fx04

（2）x10,1使fx14

222六、（16分）设fx,y在xy1上有连续的二阶偏导数，且fxx2fxyfyyM。22fxdx0,0110xfxdx1。试证：

若

f0,00,fx0,0fy0,00,证明：

x2y21fx,ydxdyM4。

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2016年 第八届全国大学生数学竞赛

一、填空题（每小题5分，满分30分）

1fan. 1、若fx在点xa可导，且fa0，则limnfa

2、若f10，f1存在，求极限Ilimx0nfsin2xcosxtan3xex21sinxzz，求fx在x0的表达x.

3、设fx有连续导数，且f12，记zfexy2，若式.

x4、设fxesin2x，求0an2，f40.

x25、求曲面 zy2平行于平面2x2yz0的切平面方程.

2

二、（14分）设fx在0,1上可导，f00，且当x0,1，0fx1，

试证当a0,1，a0fxdx2a0f3xdx.

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三、（14分）某物体所在的空间区域为:xy2zxy2z，密度函数为222x2y2z2，求质量Mx2y2z2dxdydz.



四、（14分）设函数fx在闭区间0,1上具有连续导数，f00，f11，

11n证明：limnfxdxfnnk10

1k.

2n五、（14分）设函数fx在闭区间0,1上连续，且I存在不同的两点x1,x2，使得

fxdx0，证明：在0,1内01112.

fx1fx2I六、设fx在,可导，且fxfx2fx3.

用Fourier级数理论证明fx为常数.



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