全国大学生数学竞赛(非数学专业)复习讲义

2023年12月26日发(作者：文科数学试卷分布)

全国大学生数学竞赛（非数学专业）

复

习

讲

义 1

微 分 学

一、基本概念与内容提要

1. 由参数方程确定的函数的导数

x(t)设

y(t)， 则dydydtdydx\'(t)yt\'

/dxdtdxdtdt\'(t)xt\'d2yddyd\'(t)dt\'\'(t)\'(t)\'(t)\'\'(t)1或

()[]dt\'(t)dx\'(t)dx2dxdx[\'(t)]2d[y\']dty\'\'

dxdt2.多元函数微分学

全微分：dzzzuuudxdy　　　dudxdydz具有形式不变性。

xyxyz、x、yzfx,y偏导数的几何意义：fx0,y0和fx0,y0分别表示曲线在点x0，y0，z0yy0处的切线对x轴和y轴的斜率。函数的连续性和可微、可导必须会用定义判断。连续的混合高阶偏导数与求导顺序无关。

二元函数的偏导数存在是连续的既不充分又不必要条件。二元函数存在两个偏导数是可微的必要不充分条件。偏导数连续是函数可微的充分不必要条件。函数连续是可微的必要不充分条件。dzzuzv

多元复合函数的求导法：zf[u(t),v(t)]　　　　dtutvt 2

全微分的近似计算：zdzfx(x,y)xfy(x,y)y

zzuzvzf[u(x,y),v(x,y)]　　　　xuxvx

uuvv当uu(x,y)，vv(x,y)时，dudxdy　　　dvdxdy　xyxy隐函数的求导公式：FxFFdy

dyd2y隐函数F(x,y)0，　　，　　2(x)＋(x)dxFydxxFyyFydxFFzz隐函数F(x,y,z)0，　x，　　y

xFzyFzFFFuFvF(x,y,u,v)0(F,G)uv隐函数方程组：　　　JGGGuGv(u,v)G(x,y,u,v)0

uvu1(F,G)v1(F,G)u1(F,G)v1(F,G)　,,　,xJ(x,v)xJ(u,x)yJ(y,v)yJ(u,y)

二、常考例题讲解

用基本方法求导数

1. 设函数yy(x)由方程xef(y)eyln29确定，其中f具有二阶导数，且f1，d2y则2________________.

dx2. 已知函数zu(x,y)eaxby2z,且0，确定a,b，使得函数zz(x,y)满足

xy2zzzz0.

xyxy3. 设函数f(t)有二阶连续的导数，r22gg. 求x2y21x2y2,gx,yf，

rdyxln1e2t4. 已知，求.

2tdxytarctane22u2u5.设函数u(x,y)的所有二阶偏导数都连续，22且u(x,2x)x，xy 3

(x,2x)x2，求u11(x,2x).

u1(x,2x)2u解：u(x,2x)x两边对x求导，得到：u12(x,2x)1，代入

u1(x,2x)x求21x2得：u；

2(x,2x)2(x,2x)x2两边对x求导，得到：u11(x,2x)2u12(x,2x)2x；

u11x2(x,2x)2u22(x,2x)x.

u两边对x求导，得到

u212(x,2x)242u2uu21，故

u11(x,2x)x

以上两式与22联立，又二阶导数连续，所以u123xy

用全微分求解隐函数

115. 设zz(x,y)是方程F(z,z)0确定的隐函数，且具有连续的二阶偏导xyzzy20和数，以及Fu(u,v)Fv(u,v)0，求证：x2xy22z2z3zxxy(xy)y0.

xyx2y23导数与极限、积分、微分方程等结合求函数表达式

6. 设函数f(x)在[0,)上连续，在(0,)上可导，已知limf(x)0且函数x02u2u1dsdt.

uf(xy)满足2222xy1sts2t2x2y222（1）.求函数f(x)(x0)的表达式；

（2）.若f(0)0,求limx0f(x).

ln(1x2)22dy3x2tt7. 设函数y=f(x)由参数方程确定，且，t1241tdxyt其中t具有二阶导数，曲线yt与y切，求函数t.

t21eu2du3在t=1处相2e 4

8．设一元函数uf(r)当0r时有连续的二阶导数，且f(1)0,f(1)1，222uuu222又uf(xyz)满足方程2220，试求f(r)的表达式。

xyzx(f:f(r))

解：uf(r(x,y,z)),uxfrfffxfx2fx2fuxxx(2)23

rrrrrrrfy2fy2ffz2fz2f对称地，uyy23,uzz23

rrrrrrfuxxuyyuzzf20

rP21C令P=f，=,lnPln2lnCln2

PrrrC111Pf(r)22(f(1)1)f(r)C(f(1)0)

rrrr222uuu注

220，称为（三维）拉普拉斯方程，又名调和方程、位势方2xyz程，是一种偏微分方程.因为由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名.在一般条件下解拉普拉斯方程超出考试范围.本题讨论特殊条件下的拉普拉斯方程求解问题.

9. 设uf(xy),且u满足（二维）拉普拉斯方程,

22求uf(x,y)的表达式.

分析：函数uf(x,y)是xy的函数，可以考虑用极坐标进行转化，利用求22微分方程的方法得到表达式。

uurx、fr

xrxr2uy2\"x2、2ux2\"y2、2fr3fr同理可得22fr3fr

2yrrxrrf\"r2u2u1、1\"22frfr0,、积分得

xyrfrrc0、、lnfrlnrlnc0,fr,frc0lnrc1r.

1uc0lnx2y2c1c2lnx2y2c12解：令rx2y2，则uf(x,y)fr， 5

uxzz11，对函数10.已知函数z=z(x,y)满足x2y2z2，设vxyyx11zxu,v，求证：0.

uu11证明：由题意得xu,y，则是u,v的复合函数，则

1uvzx1zxzy111z1z

22222uzxuyuuuzx1uvyy111zy2z222x1uvuuzxxy.

11zz11222x2y2022uxzxyux积 分 学

一、基本概念与内容提要

1. 定积分性质

①若fx是奇函数（即fxfx），那么对于任意 的常数a，在闭区间a,a上，afxdx0.

②若fx是偶函数（即fxfx），那么对于任意的常数a，在闭区间a,a上fxdx2fxdx.

aaa0a③若fx为奇函数时，fx在a,a的全体原函数均为偶函数；当fx为偶函数时，fx只有唯一原函数为奇函数即ftdt.

x0④若fx是以T为周期的函数（即fTxfx），且在闭区间0,T上连续可积，那么aTafxdxfxdxT0T2T2fxdx

6

2.二重积分的六大对称性

如果积分区域D具有轴或点对称（令D1表示D的一半区域，即D中对应y02部分，余类推），被积函数fx, y同时具有奇偶性，那么，二重积分的计算可以得到不同程度的简化，这一技巧在研考数学中每年都必出题，务必理解记住下列6类对称性定理。

①

D关于X轴对称（D关于Y轴对称类推）

2f(x,y)dxdy, f是关于y 的偶函数，即 f(x,y)f(x,y)f(x,y)dxdyD1

20, f(x,y)f(x,y)D②D关于X, Y都对称

D4f(x,y)dxdy, f(x,y)f(x,y)f(x,y)

f(x,y)dxdyD140, f(x,y)f(x,y)或f(x,y)f(x,y)③D关于原点对称

0, f(x,y)f(x,y)f(x,y)dxdy2f(x,y)dxdy, f(x,y)f(x,y)

D12

D④当D1和D2关于某一直线对称，对同一被积函数，则

f(x,y)dxdyf(x,y)dxdy

D1D2⑤D关于Xa轴对称

7

xadxdy0

D⑥ 万能轮换对称性

● 轮换对称性描述

如果将x与y及z交换，即xy ,

yz，zx后，积分区域方程不变，则将被积函数中的变量作同样变换后所获得的积分值与原积分值相等，这个性质在二重积分，三重积分，曲线积分和曲面积分等六类多元函数积分中都成立。

●轮换对称性实例

I1ababaxbydxdyxydxdy4xydxdy4ab22xy1xy1x0, y0xdxdyxy1xy1x0, y0I2xy1x2y21dxdy2xy3x2y2y2x2dxdy0yx3xy3xy1

3. 二重积分的换元公式．

设f(x,y)在D上连续，xx(u,v),yy(u,v)在平面uOv上的某区域D*上具有连续的一阶偏导数且雅可比(Jacobi,C.G.J.)行列式

Jxuyuxv0，

yv 8

D*对应于xOy平面上的区域D，则f(x,y)dxdyf[x(u,v),y(u,v)]Jdudv．DD*4. 三重积分的对称性：

If(x,y,z)dv

⑴若关于xoy面(z0)对称，

①若f(x,y,z)f(x,y,z),则I0，

②若f(x,y,z)f(x,y,z),则I2f(x,y,z)dv,1：z0

1⑵若关于yoz面(x0)对称，

①若f(x,y,z)f(x,y,z),则I0，

②若f(x,y,z)f(x,y,z),则I2f(x,y,z)dv,2：x0

2⑶若关于xoz面(y0)对称，

①若f(x,y,z)f(x,y,z),则I0，

②若f(x,y,z)f(x,y,z),则I2f(x,y,z)dv,3：y0

35. 三重积分换元法

1) 球坐标系代换：xsincos,ysinsin,zcos，

|J|2sin(0,0,02),即dVr2sindrdd

f(x,y,z)dxdydz=f(sincos,sinsin,cos)2sinddd

DD\'适用于积分公式或被积函数是f(x2y2z2)型.

2)柱坐标代换：xrcos,yrsin,zz，(r0,02,z)Jr(x,y,z)(r,,z),即dVrdrddz

三重积分的柱坐标换元公式为：f(x,y,z)dxdydz=f(rcos,rsin,z)rddrdz，

DD\'适用于f(x2y2)型被积函数或积分区域

9

，

6. 高斯公式

定理 设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面2所围成，P（x,y,z）,Q(x,y,z),R(x,y,z)在上具有一阶连续偏导数，则有公式：

(PQR)dxdydzPdydzQdzdxRdxdy

xyzPQR)dxdydz(cosQcosRcos)ds

xyz或(这里是由的整个边界边界曲面的外侧构成，cos,cos,cos为上点（x,y,z）处的法向量的方向余弦.

二、常考例题讲解

一元积分中用方程、变限积分求导等来解题

1. 设f(x)是连续函数，且满足f(x)3x2f(x)dx2, 则02f(x)____________.

2. 已知f(x)xxf(x)dx2f(x)dx，求f(x).

200x213. 设f(x)是连续函数，且满足tf(2xt)dtex,f(1)1,求f(x)dx.

012

分段函数与含有绝对值号的定积分计算中，若被积函数为分段函数，先以分段点将积分区间分为若干个子区间，再利用可加性分段求解；若被积函数为绝对值函数，先令绝对值为零，求出根，并由此将积分区间分成若干段，再逐段求解.（有时需要适当的做变量替换）

4. 计算积分5.

n1[x]dx([x]表示x的取整函数）.

x2x0计算积分limx0txsintdtx3.

6. 计算积分n0xsinxdx(

n表示正整数）.

10

7. 计算积分

利用奇偶性和周期性简化定积分计算，若遇对称区间，先考虑被积函数是否具有奇偶性；若积分上下限中出现，被积函数出现三角函数，可用周期性积分性质f(x)dxa11TaTa0e2xsinxdx.

f(x)dx.

8. 计算积分x(x11131)(exex)dx.

9. 求定积分In0sinxdx，其中n为自然数。

解：注意到sinx是偶函数且以为周期，因此利用性质可以简化计算

Isinxdxnsinxdxnsinxdx2nsinxdx2n2sinxdx2n

2002200n10. 计算积分

aasin2x(tanx1)dx.

用二重积分换元法来处理（fx,ydxdyDDx,yf[xu,v,yu,v]dudv）

u,vxyxy111.计算积分Icos, 其中所围区域.

dxdyDxyx0, y0D解：令uxy, vxy，Jx,y111

u,vu,v112x,y11vu111u111Icosdudvdvcosdu2sin1vdvsin

v220vv202Duv12. 计算积分I0yx3xy14yxyln1xdxdy.

1xy 11

解：设

uxy; vx,yy1u；xu,vuu1v2xyvvxy10yx0v133xy1u144

I0yx3xy14xyln11xyyxdxdy341ln1vu2203

dudv1ln2204801u1v

用递推公式来求解积分

13. 设s

利用二重积分积分区域对称与被积函数奇偶性等来解题

14. 计算积分sgn(xy1)dxdy,其中D(x,y)|0x2,0y2.

D0，求In0esxxndxn1,2,...

15.设D是由曲线yx3,x1,y1所围成的有界闭区域，计算积分2(ysin(xy))dxdy.

D

利用格林公式把曲线积分转化为二重积分,并适当要结合对称性来解决，LP(x)dxQ(x)dy(DQp)dxdy，其中L是D的取正向的边界曲线.

xy16. 已知平面区域D{(x,y)|0x,0y}，试证：（1）L为D的正向边界，sinysinxsinysinxxedyyedxxedyyedx；

LL 12

5（2）xesinydyyesinxdx2.

2L17. 设函数曲线积分x具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，2xydxxdy的值为常数.

x4y2C22xydxxdy（1）设L为正向闭曲线x2y21，证明：0

C42xy（2）求函数x；

（3）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求

利用换元法、高斯公式等解决二重积分或三重积分

18. 设曲面是锥面xC2xydxxdy。

x4y2y2z2与两球面x2y2z21，x2y2z22所围立体表面外侧，f(u)为连续可微的奇函数，计算曲面积分

333xdydz[yf(yz)]dzdx[zf(yz)]dxdy.



19. 设f为连续函数，t0区域是由抛物面zx2y2和球面x2y2z2t2所围起来的上半部分，定义三重积分F(t)f(x2y2z2)dxdydz.求F(t)的导数f(t).

极 限

一、基本概念与内容提要

1） .极限存在的条件：左极限等于右极限。

相关联的题型：（1）函数连续性和可导性的判断及应用；（2）求函数的间断点：①第一类间断点（左右极限存在）：a>可去间断点：左右极限存在且相等但函数在该点无定义或函数值不等于极限值。b>跳跃间断点：左右极限存在但不相等。②第二类间断点：除第一类间断点以外所有的间断点；（3）用定义求导数， 13

若limxx0fxfx0fxfx0存在，则函数在x0处可导且f\'x0lim。xxxx0xx000fxfx0所以，判断可导性就是判断极限lim是否存在；

xxxx02）.连续函数的极限

3）.常用极限：limnna1a0,limn1,limarccotx0,

nnx

limarccotx,,limarctanxxxxxxxxx0x02lime0,lime,limx1,limxlnx0x,limarctanx2

4） .极限的四则运算

5） 恒等变形、约去零因子、有理化等常用化简方法

6）.极限存在准则（夹逼定理、单调有界定理）

sinx1,lim1xe

7）.两个重要极限及其变形：limx1xx0x08）.洛比达法则（重点），常与洛比达法则一起交替使用，常考的共有七种不定式极限：

0①型，常用方法：约去零因子；等价无穷小替换；变量代换；洛比达法则；恒0等变形

②型，常用方法：分子分母同时除以最高次幂项；变量替换；洛比达法则

③型，常用方法：通分；倒代换；有理化

④0型，常用方法：变形；变量代换；取倒数化为0型

⑤0型，常用方法：取对数化为0型；恒等变形；变量代换

⑥型，常用方法：取对数化为0型；恒等变形消除不定式；利用重要极限0 14

lim1xe；等价替换

x01x⑦1型，常用方法：取对数化为0型；利用重要极限lim1xe

1xx09）. 无穷小得比较

设lim0

x0,limx0,x0，则x,x即为无穷小量，xxxxx（1）若lim0，则称当xx0时x是比x高阶的无穷

xxx小，记为xox，或者说当xx0时x是比x低阶的00无穷小；

x（2）若lim则称当xx0时x是与x同

CC0，xxx阶的无穷小。特别的，当C=1时，称当xx0时x与x是等价无穷小，记为xxxx0；

xCC0，则称当xx0时x是与x

（3）若limkxxx00的k阶无穷小。

等价无穷小替换求极限（注意：有界函数与无穷小的积是无穷小）：等价无穷小是

指在乘积型极限中，一个无穷小因式可以用与它等价的无穷小因式代替。

常用等价无穷小：当x0时，sinxx,tanxx,ex1x,ln1xx,

x,1cosx

arctanxa121x,1x1ax,ax1xlna,n1x1x,arcsinx2nx。注意：高阶无穷小、k阶无穷小的判断及应用。

补充：无穷大量比较：

①当n时，无穷大的阶数由低到高排列为：lnn,n0,n0,ana1,nn；

15

②当x时，无穷大的阶数由低到高排列为：lnx,x0,x0,axa1,xx。

9） .利用泰勒公式、中值定理求极限，求极限常用迈克劳林公式有：

xx2xne1...oxn1!2!n!

n11x2n1x3x5sinxx...ox2n3!5!2n1!x1x2nxxcosx1...ox2n1

2!4!2n!24n12tanxxx3x5ox5315

nn1x11ln1xxx2x3...1oxn23n11xx2...xnoxn

1x10） .利用定积分的定义求极限

11） 证明数列极限存在的方法：①夹逼定理②单调有界定理③级数敛散法：若级数an1nan1收敛，则liman存在④级数收敛的必要条件：若级数nan1n收敛，则liman0。

n补充：给定数列an，则liman存在的充要条件是级数nan1nan1收敛。

所以，判断数列的敛散性可以转化为判断级数的敛散性。

a0b,nm0抓大头公式：，数列极限也可用。

a0xna1xn1...anlim0,nmxb0xmb1xm1...bn,nm12）

16

13） 中值定理求极限：关键是将欲求的极限写成中值定理的形式，在求函数式具有规律比或其分子分母之项具有中值定理那样的关联或函数式非常复杂难以化简时，尤其是像求类未定的极限如limsinx1sinx，可以x考虑使用中值定理。

14） 利用级数收敛的必要条件求极限：若fnn1收敛，则limfnlimfx0。求极限可转化为求定积分、判断级数的敛散性等。

nx二、常考题型讲解

幂函数指数化（即lim[f(x)]xx0xx0g(x)limexx0ln[f(x)]g(x)exx0limln[f(x)]g(x)）再求解；计算0型先化为limg(x)lnf(x)再求解.往往与等价无穷小、洛比达法则、重要极限等结合.

1xexe2x...enx1． 求极限lim，其中n是给定的正整数.

x0n

2． 求极限lim(nabcn),其中n是给定的正整数.

31n1n1n

3． 求极限lim(11nn)n2n,其中n是给定的正整数.

sinx1cosx). 4． 求极限lim(x0x1

15． 求极限lim(n!)n.

2x

17

1x26． 求极限lime(1).

xxx

17． 求极限limn[(1)ne].

xn

(1x)e2(1ln(1x)). 8． 求极限limx0x2x9． 求极限lim

(cosx)1.

x0x1x 先对所求函数用平方差公式做化简，再与价无穷小、洛比达法则、重要极限等结合求解

10. 设xn

11. 设ancoscos2cosn，求极限liman.

n22212. 已知3517122xn•••...•n1241622n11a1a...1a22n,其中a1，求limxn.

n，求极限limxn.

n解：分子221221241...22n1122n1，

分母21222...2n122n1，

limxnlimn22122n1nn1lim2n2.

n221

已知极限求解极限或函数，用等价无穷小或泰勒展示可以求解

13. 已知lim1f(x)sin2x16,求极限limf(x).

x0xx0 18

14. 已知lim

ln(1x0f(x))1cosx4,求极限limf(x).

x0x32x1用泰勒公式做比较方便类型

tan(tanx)sin(sinx).

x0tanxsinxx3x33解：由麦克劳林公式得：tanxxox,sinxxox3

33!15. 求极限limtantanxtanxxsinsinxsinxxtanx33x31x333oxxxox

333323xox33sinx3!3x1x333oxxxox

3!3!3!3313xox3321xx3ox3xx3ox3tan(tanx)sin(sinx)33

limlimx0x0tanxsinxx3x333xoxxox33!limx0x3ox313xox322

极限与积分、导数等知识结合的类型，做适当的变量替换后或用导数定义化简，再用夹逼准则、泰勒公式、洛比达法则等求解.

16. 设函数f(x)连续，g(x)f(xt)dt，且lim01x0f(x)A，A为常数，求g(x)并x讨论g(x)在x0处的连续性.

f(sin2xcosx). 17. 设函数f(x)在点x1可导，且f(1)0,f(1)2，求limx0x2xtanx18. 求极限lim

3xxx1xsintdt.

tcost极限证明类型，常用\"\"定义、单调有界定理及施笃兹定理证明(施笃兹定 19

理 设数列xn与yn，其中yn单调增加且趋于.如果lim，则limnxnxn1存在或为ynyn1nxnxxn1limn.)

ynnynyn119. 设an为数列，a,为有限数，求证：

（1）如果limana,则limna1a2ana;

nnn（2）如果存在正整数p，使得lim(anpan),则lim（3）若lim(anan1)d,则limnan;

nnpand;

nn

20.证明数列

2,22,,222，

n个根号收敛，并求极限.

其他极限类型

21.求极限limsin(1n2).

n利用sin(1n2)(1)n1sin(n1n2)来解.

解：

limsin(1n2)lim(1)n1sin(n1n2)nnlim(1)nsinnn1n2

0.空间解析几何

一、基本知识复习

1．向量在轴上的投影

Prjua|a|cos

 其中为向量与u轴的夹角

数量积与投影

20

对于两个向量a和b它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的

余弦的乘积称为向量a和b的数量积记作ab即

a·b|a| |b| cos 

由于|b| cos |b|cos(a^

b)当a0时|b| cos(a^

b)是向量b在向量a的方向上的投影于是a·b|a| Prj

ab 同理当b0时a·b |b| Prj

ba

2.向量的方向角余弦称为方向余弦

设r(x

y

z) 则

x|r|cos

y|r|cos

z|r|cos



cos、cos、cos 称为向量r的方向余弦

y

cosx

cos

cosz

|r||r||r|从而

(cos, cos, cos)1rer

|r|上式表明 以向量r的方向余弦为坐标的向量就是与r同方向的单位向量e

r  因此

cos2cos2cos21

3．向量积及其运算规律

向量积设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出

c的方向垂直于a与b所决定的平面c的指向按右手规则从a转向b来确定

那么向量c叫做向量a与b的向量积记作ab即

c

ab

c的模|c||a||b|sin



其中 为a与b间的夹角.

向量积的坐标形式

设a ax

i



ay

j



az

kb bx

i



by

j



bz

k

ijkab axayazaybzi bxbybzazbx

jaxbykaybxkaxbz jazbyi

( ay bz  az by)

i

 ( az

bx  ax bz)

j

 ( ax by  ay

bx)

k

向量积的性质

(1)

aa 0

(2) 对于两个非零向量a、b如果ab0则a//b反之如果a//b则ab 0

如果认为零向量与任何向量都平行则a//bab0

向量积的运算律

(1) 交换律abba

(2) 分配律(ab)cacbc

(3) (a)ba(b)(ab) (为数)

4.空间中的平面及方程

平面的点法式方程：

法线向量 如果一非零向量垂直于一平面 这向量就叫做该平面的法线向量 容易知道

平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直

唯一确定平面的条件当平面上一点M0(x0

y0

z0)和它的一个法线向量n(A

B

C)为 21

已知时 平面的位置就完全确定了

设M(x

y

z)是平面上的任一点，n

(A

B

C)为平面上的法向量，则平面的方程为A(xx0)B(yy0)C(zz0)0，此方程叫做平面的点法式方程

平面的一般方程：AxByCzD0

y平面的截距式方程：xz1，其中a、b、c依次叫做平面在x、y、z轴上的截距

abc5.空间直线及其方程

由直线上一点与直线l的方向所决定的直线方程

方向向量如果一个非零向量平行于一条已知直线 这个向量就叫做这条直线的方向向量 容易知道 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量

确定直线的条件当直线L上一点M 0(x0

y0

x0)和它的一方向向量s(m

n

p)为已知时 直线L的位置就完全确定了

直线方程的确定已知直线L通过点M0(x0

y0

x0) 且直线的方向向量为s(m

n

p) 则直线点向式（或对称式）方程xx0yy0zz0mnp

由直线的对称式方程容易导出直线的参数方程

xx0yy0zz0 设tmnpxx0mt 得方程组yy0nt 此方程组就是直线的参数方程

zz0pt空间直线的一般方程：

设直线L是平面1与平面2的交线 平面的方程分别为A1xB1yC1zD10和A2xB2yC2zD20 那么点M在直线L上当且仅当它同时在这两个平面上 当且仅当它的坐标同时满足这两个平面方程 即满足方程组

AxByC1zD10

11

A2xB2yC2zD20 因此 直线L可以用上述方程组来表示 上述方程组叫做空间直线的一般方程

两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论

①设有两直线L1xx1yy1zz1m1n1p1m1n1p1

m2n2p2

L2xx2yy2zz2m2n2p2 则

L 1L 2m1m2n1n2p1p20

L1

L2 ②设直线L的方向向量为(m

n

p) 平面的法线向量为(A

B

C) 则

LABC

mnp

L/ /  AmBnCp0

6. 平面束

设直线L的一般方程为

AxB1yC1zD10

1

A2xB2yC2zD20其中系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例 考虑三元一次方程

A1xB1yC1zD1(A2xB2 yC2zD2)0

即 (A1A2)x(B1B2)y(C1C1)zD1D20

其中为任意常数 因为系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例 所以对于任何一个值

22

上述方程的系数不全为零 从而它表示一个平面 对于不同的值 所对应的平面也不同

而且这些平面都通过直线L  也就是说 这个方程表示通过直线L的一族平面 另一方面

任何通过直线L的平面也一定包含在上述通过L的平面族中

通过定直线L的所有平面的全体称为平面束

方程A1xB1yC1zD1(A2xB2yC2zD2)0就是通过直线L 的平面束方程

7. 切平面方程与法线方程

设点

在曲面F(x,

y,

z)=0上，而F(x,

y,

z)在点

处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x,

y,

z)=0在点

处的切平面方程为

Fx(X0)(xx0)Fy(X0)(yy0)Fz(X0)(zz0)0

法线方程为xx0yy0zz0

Fx(X0)Fy(X0)Fz(X0)设点

导数，则该曲面在点

在曲面z

=

f

(x,

y)上，且z

=

f

(x,

y) 在点

M0 (x0,

y0) 处存在连续偏处的切平面方程为

.

过X0的法线方程为.

注：方法2实际上是方法1中取

8. 法平面方程与切线方程

的情形.

xx(t) 设空间的曲线C由参数方程的形式给出：yy(t)，t(,)．

zz(t)

切线方程为:xx(t0)yy(t0)zz(t0)

x(t0)y(t0)z(t0)\'\'\'法平面方程为x(t0)(xx0)y(t0)(yy0)z(t0)(zz0)0

如果空间的曲线C表示为空间两曲面的交，即

23

F(x,y,z)0，

c:G(x,y,z)0 假设在A(x0,y0,z0)有J在定理条件.

切线方程为(F,G)(y,z)在A(x0,y0,z0)某邻域内满足隐函数组存

0，Axx0(F,G)(y,z)Ayy0(F,G)(z,x)Azz0(F,G)(x,y)A

法平面方程为

(F,G)(F,G)(F,G)(xx0)(yy0)(zz0)0

(y,z)A(z,x)A(x,y)A二．习题讲解

直线与平面

1.（2021）过点(2,1,0)，垂直于直线4x5y6z70的直线方程.

xyz且平行于平面1232. 经过点M0(1,1,1)并且与两直线L1:都相交的直线L.

3. 求两直线L1:xy2z3x2yz1和L2:121112x1y2z3x2y1z与L2:的公垂线.

211101xy0x2y1z34. 求直线l1:与直线l2:的距离.

421z0xyz，记两直线的方向向量分别为

解：直线l1的对称式方程l1:110l11,1,0,l24,2,1，两直线上的定点分别为P10,0,0,P22,1,3，

aPP由向量的性质可知，两直线的距离

122,1,3,l1l21,1,6， 24

dal1l2l1l22118113619

22xy3z205. (2021)求通过直线L:的两个相互垂直的平面1和2，使其5x5y4z30中一个平面过点（4，-3，1）.

旋转面的方程

6. 求经过点A(1,0,0)与点B(0,1,1)的直线绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程.

y17. 求曲线2绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程.

2xz3

曲线在平面上的投影方程

8. 求椭球面x2y2z2xy1在坐标平面yoz上的投影方程.

9. (2021)求直线L:x1yz1在平面:x2y2z10上的投影直线方程111L0,并求L0绕y轴旋转一周所成曲面的方程.

切线与切平面

x2y22平行于平面2x2yz0的切平面方程.

10. 求曲面z211. 求经过直线L:切平面方程.

x6y32z1且与椭球面S:x22y23z221相切的112223x2y2z1012. 求曲线L:2上点M(1,1,2)处的切线方程.

22xyz4y2z20x2y2z2613. 求曲线L:上点M(1,2,1)处的切线及法平面方程.

xyz0

25

空间解析几何

一、基本知识复习

1．向量在轴上的投影

Prjua|a|cos

 其中为向量与u轴的夹角

数量积与投影

对于两个向量a和b它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的

余弦的乘积称为向量a和b的数量积记作ab即

a·b|a| |b| cos 

由于|b| cos |b|cos(a^

b)当a0时|b| cos(a^

b)是向量b在向量a的方向上的投影于是a·b|a| Prj

ab 同理当b0时a·b |b| Prj

ba

2.向量的方向角余弦称为方向余弦

设r(x

y

z) 则

x|r|cos

y|r|cos

z|r|cos



cos、cos、cos 称为向量r的方向余弦

y

cosx

cos

cosz

|r||r||r|从而

(cos, cos, cos)1rer

|r|上式表明 以向量r的方向余弦为坐标的向量就是与r同方向的单位向量e

r  因此

cos2cos2cos21

3．向量积及其运算规律

向量积设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出

c的方向垂直于a与b所决定的平面c的指向按右手规则从a转向b来确定

那么向量c叫做向量a与b的向量积记作ab即

c

ab

c的模|c||a||b|sin



其中 为a与b间的夹角.

向量积的坐标形式

设a ax

i



ay

j



az

kb bx

i



by

j



bz

k

ijkab axayazaybzi bxbybzazbx

jaxbykaybxkaxbz jazbyi

( ay bz  az by)

i

 ( az

bx  ax bz)

j

 ( ax by  ay

bx)

k

向量积的性质

(1)

aa 0

(2) 对于两个非零向量a、b如果ab0则a//b反之ab 0

如果认为零向量与任何向量都平行则a//bab0

向量积的运算律

(1) 交换律abba

(2) 分配律(ab)cacbc

(3) (a)ba(b)(ab) (为数)

如果a//b则 26

4.空间中的平面及方程

平面的点法式方程：

法线向量 如果一非零向量垂直于一平面 这向量就叫做该平面的法线向量 容易知道

平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直

唯一确定平面的条件当平面上一点M0(x0

y0

z0)和它的一个法线向量n(A

B

C)为已知时 平面的位置就完全确定了

设M(x

y

z)是平面上的任一点，n

(A

B

C)为平面上的法向量，则平面的方程为A(xx0)B(yy0)C(zz0)0，此方程叫做平面的点法式方程

平面的一般方程：AxByCzD0

y平面的截距式方程：xz1，其中a、b、c依次叫做平面在x、y、z轴上的截距

abc5.空间直线及其方程

由直线上一点与直线l的方向所决定的直线方程

方向向量如果一个非零向量平行于一条已知直线 这个向量就叫做这条直线的方向向量 容易知道 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量

确定直线的条件当直线L上一点M 0(x0

y0

x0)和它的一方向向量s(m

n

p)为已知时 直线L的位置就完全确定了

直线方程的确定已知直线L通过点M0(x0

y0

x0) 且直线的方向向量为s(m

n

p) 则直线点向式（或对称式）方程xx0yy0zz0mnp

由直线的对称式方程容易导出直线的参数方程

xx0yy0zz0 设tmnpxx0mt 得方程组yy0nt 此方程组就是直线的参数方程

zz0pt空间直线的一般方程：

设直线L是平面1与平面2的交线 平面的方程分别为A1xB1yC1zD10和A2xB2yC2zD20 那么点M在直线L上当且仅当它同时在这两个平面上 当且仅当它的坐标同时满足这两个平面方程 即满足方程组

AxByC1zD10

11

A2xB2yC2zD20 因此 直线L可以用上述方程组来表示 上述方程组叫做空间直线的一般方程

两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论

①设有两直线L1xx1yy1zz1m1n1p1m1n1p1

m2n2p2

L2xx2yy2zz2m2n2p2 则

L 1L 2m1m2n1n2p1p20

L1

L2 ②设直线L的方向向量为(m

n

p) 平面的法线向量为(A

B

C) 则

L 6. 平面束

ABC

mnp

L/ /  AmBnCp0

27

设直线L的一般方程为

AxB1yC1zD10

1

AxByCzD02222其中系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例 考虑三元一次方程

A1xB1yC1zD1(A2xB2 yC2zD2)0

即 (A1A2)x(B1B2)y(C1C1)zD1D20

其中为任意常数 因为系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例 所以对于任何一个值

上述方程的系数不全为零 从而它表示一个平面 对于不同的值 所对应的平面也不同

而且这些平面都通过直线L  也就是说 这个方程表示通过直线L的一族平面 另一方面

任何通过直线L的平面也一定包含在上述通过L的平面族中

通过定直线L的所有平面的全体称为平面束

方程A1xB1yC1zD1(A2xB2yC2zD2)0就是通过直线L 的平面束方程

7. 切平面方程与法线方程

设点

在曲面F(x,

y,

z)=0上，而F(x,

y,

z)在点

处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x,

y,

z)=0在点

处的切平面方程为

Fx(X0)(xx0)Fy(X0)(yy0)Fz(X0)(zz0)0

法线方程为xx0yy0zz0

Fx(X0)Fy(X0)Fz(X0)设点

导数，则该曲面在点

在曲面z

=

f

(x,

y)上，且z

=

f

(x,

y) 在点

M0 (x0,

y0) 处存在连续偏处的切平面方程为

.

过X0的法线方程为.

注：方法2实际上是方法1中取

8. 法平面方程与切线方程

的情形.

xx(t) 设空间的曲线C由参数方程的形式给出：yy(t)，t(,)．

zz(t) 28

切线方程为:xx(t0)yy(t0)zz(t0)

x(t0)y(t0)z(t0)\'\'\'法平面方程为x(t0)(xx0)y(t0)(yy0)z(t0)(zz0)0

如果空间的曲线C表示为空间两曲面的交，即

F(x,y,z)0，

c:G(x,y,z)0 假设在A(x0,y0,z0)有J在定理条件.

切线方程为(F,G)(y,z)在A(x0,y0,z0)某邻域内满足隐函数组存

0，Axx0(F,G)(y,z)Ayy0(F,G)(z,x)Azz0(F,G)(x,y)A

法平面方程为

(F,G)(F,G)(F,G)(xx0)(yy0)(zz0)0

(y,z)A(z,x)A(x,y)A二．例题讲解

直线与平面

1.（2021）过点(2,1,0)，垂直于直线4x5y6z70的直线方程.

xyz且平行于平面123

2. 经过点M0(1,1,1)并且与两直线L1:都相交的直线L.

3. 求两直线L1:xy2z3x2yz1和L2:121112x1y2z3x2y1z的公垂线.

与L2:211101xy0x2y1z34. 求直线l1:与直线l2:的距离.

421z0 29

2xy3z205. (2021)求通过直线L:的两个相互垂直的平面1和2，使其5x5y4z30中一个平面过点（4，-3，1）.

旋转面的方程

6. 求经过点A(1,0,0)与点B(0,1,1)的直线绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程.

y17. 求曲线2绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程.

2xz3

曲线在平面上的投影方程

8. 求椭球面x2y2z2xy1在坐标平面yoz上的投影方程.

9. (2021)求直线L:x1yz1在平面:x2y2z10上的投影直线方程111L0,并求L0绕y轴旋转一周所成曲面的方程.

切线、切平面、法平面

x2y22平行于平面2x2yz0的切平面方程.

10. 求曲面z2

11. 求经过直线L:切平面方程.

223x2y2z1012. 求曲线L:2上点M(1,1,2)处的切线方程.

22xyz4y2z20x6y32z1且与椭球面S:x22y23z221相切的112 30

x2y2z2613. 求曲线L:上点M(1,2,1)处的切线及法平面方程.

xyz0

泰勒公式的应用

一、知识复习

1、带有皮亚诺余项的泰勒公式

定理1 若函数f在点x0存在直至n阶导数，则有f(x)Tn(x)0((xx0)n)，即

f(x0)f(x)f(x0)(xx0)1!f(n)(x0)(xx0)n0((xx0)n)

n!即函数f在点x0处的泰勒公式；Rn(x)f(x)Tn(x)称为泰勒公式的余项.

称Rn(x)(xa)n为Taylor公式的佩亚诺（Peano）型余项, 相应的麦克劳林（Maclaurin）公式的Peano型余项为Rn(x)(xn). 并称带有这种形式余项的Taylor公式为具Peano型余项的Taylor公式( 或Maclaurin公式 ).

泰勒公式x0＝0的特殊情形――麦克劳林（Maclauyin）公式：

f(0)f(x)f(0)x1!f(n)(0)nx0(xn)

n!2、带有Lagrange型余项的Taylor公式

定理2（泰勒中值定理） 若函数f在[a,b]上存在直到n阶的连续导函数，在(a,b)内存在n＋1阶导函数，则对任意给定的x,x0[a,b]，至少存在一点(a,b)使得：

f(x0)f(x)f(x0)(xx0)1!f(n)(x0)f(n1)()n(xx0)(xx0)n1

n!(n1)!注：（1）、当n＝0时，泰勒公式即为拉格朗日公式，所以泰勒定理可以看作 31

拉格朗日定理向高阶导数方向的推广；

（2）、当x00时，则变为带拉格朗日型余项的麦克劳林公式

f(0)f(x)f(0)x1!f(n)(0)nf(n1)(x)n1xx

(0,1)

n!(n1)!称这种形式的余项Rn(x)为Lagrange型余项. 并称带有这种形式余项的Taylor公式为具Lagrange型余项的Taylor公式.

Lagrange型余项还可写为

Rn(x)f(n1)(a(xa))(xa)n1,

(0 , 1 ).

(n1)!a0时, 称上述Taylor公式为Maclaurin公式, 此时余项常写为

Rn(x)1f(n1)(x)xn1,

01.

(n1)!3、常见的Maclaurin公式

(1)带Penno余项的Maclaurin公式

x2e1x2!xxn0(xn)

n!x3x5sinxx3!5!x2x4cosx12!4!(1)m1x2m10(x2m)

(2m1)!x2m(1)0(x2m1)

(2m)!mx2x3ln(1x)x23(1x)1x(1)x2n1xn0(xn)

n(1)2!(1)(n1)0(xn)

n!11xx21xxn0(xn)

2）带Lagrange型余项的Maclaurin公式

x2e1x2!xxnexxn1

xR，(0,1)

n!(n1)!32

x3x5sinxx3!5!x2x4cosx12!4!(1)m1x2m1cosx2m1(1)mx

xR，(0,1)

(2m1)!(2m1)!x2mcosx2m2

xR，(0,1)

(1)(1)m1x(2m)!(2m2)!mx2x3ln(1x)x23(1x)1x(1)x2n1xnxn1n

x1，(0,1)

(1)n(n1)(1x)n1(1)2!(1)(n1)nxn!(1)n!(n)(1x)n1xn1

x1，(0,1)

11xx21x

xn1

x1，(0,1)

x(1x)n2n二、泰勒公式的应用讲解

极限与泰勒公式

f(x)x]e3，1. 设函数f(x)在点x0的某个领域内有连续的二阶导数，且lim[1xx0x求f(0).

1x3f(u)2. 设函数yf(x)二阶可导，且f(x)0,f(0)0,f(0)0，求lim,其x0f(x)sin3(u)中u是曲线yf(x)上点(x,f(x))处的切线在x轴上的截距.

积分与泰勒公式

3. 设函数f(x)在[0,a]上有连续函数的导数且f(0)0.证明：至少存在一点[0,a]，使f()2a2a0f(x)dx.

4. 设f(x)在[a,b]上可导，且f(x)M.证明：

介值定理与泰勒公式

baf(x)dxf(a)(ba)M(ba)2.

25. 设函数f(x)在闭区间[1,1]上具有连续的三阶导数，且f(1)0,f(1)1,f(0)0,求证：在开区间(1,1)内至少存在一点x0，使得f(x0)3.

33

不等式与泰勒公式

6. 设函数f(x)在闭区间[0,1]上具有连续的二阶导数，且f(0)0,f(1)1,f(0)f(1)0,证明：存在一点(0,a)，使得f()4.

7. 设函数f(x)在闭区间[0,1]上具有连续的二阶导数，且f(0)f(1)0,maxf(x)2,0x1证明：存在一点(0,1)，使得f()16.

其他应用泰勒公式

8.已知函数f(x)在闭区间[0,1]上具有连续的三阶导数，且f(0)1,f(1)0,f(0)0,

证明：对任意x(0,1)，存在一点(0,1)，使得

x2(x1)f(x)1xf().

3!2常微分方程

一、知识复习

已知方程的解求解微分方程时常常用到微分方程解的结构.

1、二阶线性微分方程解的结构

二阶线性微分方程的一般形式是

d2ydyP(x)Q(x)yf(x)， (6.1)

dxdx2其中P(x)、Q(x)及f(x)是自变量x的已知函数，函数f(x)称为方程(6.1)的自由项. 当f(x)0时, 方程(6.1)成为

d2ydyP(x)Q(x)y0， (6.2)

2dxdx这个方程称为二阶齐次线性微分方程，相应地，方程(6.1)称为二阶非齐次线性微分方程.

定理1 如果函数y1(x)与y2(x)是方程(6.2)的两个解, 则

yC1y1(x)C2y2(x) (6.3)

也是方程(6.2)的解，其中C1,C2是任意常数.

定理2 如果y1(x)与y2(x)是方程(6.2)的两个线性无关的特解，则

yC1y1(x)C2y2(x)

就是方程(6.2)的通解，其中C1,C2是任意常数.

34

定理3 设y是方程(6.1)的一个特解，而Y是其对应的齐次方程(6.2)的通解，则

yYy (6.4)

就是二阶非齐次线性微分方程(6.1)的通解.

定理4 设y1与y2分别是方程

yP(x)yQ(x)yf1(x)

与

yP(x)yQ(x)yf2(x)

的特解，则y1y2是方程

yP(x)yQ(x)yf1(x)f2(x) (6.5)

的特解.

2、二阶变系数线性微分方程的一些解法

对于变系数线性方程，要求其解一般是很困难的. 这里我们介绍处理这类方程的两种方法. 一种是利用变量替换使方程降阶——降阶法；另一种是在求出对应齐次方程的通解后，通过常数变易的方法来求得非齐次线性方程的通解——常数变易法.

对于二阶齐次线性方程, 如果已知其一个非零特解, 作变量替换yy1zdx,, 就可将其降为一阶齐次线性方程, 从而求得通解. 并有下列刘维尔公式

1P(x)dxyy1C1C22edx.

y13、 常数变易法

在求一阶非齐次线性方程的通解时, 我们曾对其对应的齐次方程的通解, 利用常数变易法求得非齐次方程的通解. 这种方法也可用于二阶非齐次线性方程的求解.

设有二阶非齐次线性方程

d2ydy

P(x)Q(x)yf(x), (6.10)

2dxdx其中P(x),Q(x),f(x)在某区间上连续, 如果其对应的齐次方程

d2ydyP(x)Q(x)y0

dxdx2的通解yC1y1C2y2已经求得, 那么也可通过如下的常数变易法求得非齐次方程的通解.

设非齐次方程(6.10)具有形如

y*u1y1u2y2 (6.11)

的特解, 其中u1u1(x),u2u2(x)是两个待定函数, 将上式代入原方程从而确定出这两个待定函数.

35

d2ydyP(x)Q(x)yf(x)的两个线性无关的解，则

性质：如果y1和y2是dxdx2

y1y2是对应齐次方程的解.

二、微分方程习题讲解

已知方程的解求解微分方程

1. 设y11,y2e,y32e,y4e方程.

2. 设y1e,y2ee,y3exex都是某个二阶非齐次微分方程的特解，求该微分方程.

x2xxxx2xx3. (2021)已知y1xee,y2xee,y3xeee是某二阶常系数线性非xxx1都是某个二阶齐次微分方程的特解，求该微分xx1x2齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.

2已知y(x)x为齐次线性方程xy2xy2y0的一个解,求非齐次线性方程4.

1

可化成基本类型求解的微分方程（伯努力方程解法、反函数变换等）

5. (2021)求微分方程xyxyy满足初始条件y(1)1的特解.

6. 求微分方程ye7. 求微分方程y8. 求微分方程yy2x2y2xy2y2x3的通解.2的通解.

x1xey的通解.

x2xy的通解.

x2yP(x)dxP(x)dxQ(x)edxC.) 微分方程与积分、级数等结合(常转化为ye9. 设函数y(x)具有连续的一阶导数，且满足xy(t)dt(x1)ty(t)dt,(x0)，试求00xx函数y(x).

1f(x)1，试求f(x).

02en1x11. 已知un(x)满足un(x)un(x)xe(n为正整数），且un(1)，求函数项级数n10. 设1f(xt)dt 36

un1n(x)之和.

37

高考语文试卷

一、语言文字运用（15分）

1．在下面一段话的空缺处依次填入词语，最恰当的一组是（3分）

提到桃花源，许多人会联想到瓦尔登湖。真实的瓦尔登湖，早已成为 ▲

的观光胜地，梭罗的小木屋前也经常聚集着 ▲ 的游客，不复有隐居之地的气息。然而虚构的桃花源一直就在我们的心中，哪怕 ▲ 在人潮汹涌的现代城市，也可以获得心灵的宁静。

A．名闻遐迩 闻风而至 杂居 B．名噪一时 闻风而至 栖居

C．名噪一时 纷至沓来 杂居 D．名闻遐迩 纷至沓来 栖居

2．在下面一段文字横线处填入语句，衔接最恰当的一项是（3分）

在南方，芭蕉栽植容易，几乎四季常青。 ▲ 至于月映蕉影、雪压残叶，那更是诗人画家所向往的了。

①它覆盖面积大，吸收热量大，叶子湿度大。

②古人在走廊或书房边种上芭蕉，称为蕉廊、蕉房，饶有诗意。

③因此蕉阴之下，是最舒适的小坐闲谈之处。

④在旁边配上几竿竹，点上一块石，真像一幅元人的小景。

⑤在夏日是清凉世界，在秋天是分绿上窗。

⑥小雨乍到，点滴醒人；斜阳初过，青翠照眼。

A．①③②④⑥⑤ B．①④②③⑥⑤

C．②①④③⑤⑥ D．②③④①⑤⑥

3．下列诗句与“悯农馆”里展示的劳动场景，对应全部正确的一项是（3分）

①笑歌声里轻雷动，一夜连枷响到明

38

②种密移疏绿毯平，行间清浅縠纹生

③分畴翠浪走云阵，刺水绿针抽稻芽

④阴阴阡陌桑麻暗，轧轧房栊机杼鸣

A．①织布②插秧③车水④打稻 B．①织布②车水③插秧④打稻

C．①打稻②插秧③车水④织布 D．①打稻②车水③插秧④织布

4．阅读下图，对VR（即“虚拟现实”）技术的解说不正确的是一项是（3分）

．．．

A．VR技术能提供三个维度的体验：知觉体验、行为体验和精神体验。

B．现有的VR技术在精神体验上发展较快，而在知觉体验上发展较慢。

C．VR技术的未来方向是知觉体验、行为体验和精神体验的均衡发展。

D．期许的VR体验将极大提高行为体验的自由度和精神体验的满意度。

二、文言文阅读（20分）

阅读下面的文言文，完成5—8题。

临川汤先生传

邹迪光

先生名显祖，字义仍，别号若士。豫章之临川人。生而颖异不群。体玉立，眉目朗秀。见者啧啧曰：“汤氏宁馨儿。”五岁能属对。试之即应，又试之又应，立课数对无难色。十三岁，就督学公试，补邑弟子员。每试必雄其曹偶。庚午举． 39

于乡，年犹弱冠耳。见者益复啧啧曰：“此儿汗血，可致千里，非仅仅蹀躞康庄也者。”

丁丑会试，江陵公①属其私人啖以巍甲而不应。曰：“吾不敢从处女子失身也。”公虽一老孝廉乎，而名益鹊起，海内之人益以得望见汤先生为幸。至癸未举进士，而江陵物故矣。诸所为附薰炙者，骎且澌没矣。公乃自叹曰：“假令予以依附起，不以依附败乎？”而时相蒲州、苏州两公，其子皆中进士，皆公同门友也。意欲要之入幕，酬以馆选，而公率不应，亦如其所以拒江陵时者。

．以乐留都山川，乞得南太常博士。至则闭门距跃，绝不怀半刺津上。掷书万．卷，作蠹鱼其中。每至丙夜，声琅琅不辍。家人笑之：“老博士何以书为？”曰：“吾读吾书，不问博士与不博士也。”寻以博士转南祠部郎。部虽无所事事，而公奉职毖慎，谓两政府进私人而塞言者路，抗疏论之，谪粤之徐闻尉。居久之，转遂昌令。又以矿税事多所蹠戾②，计偕之日，便向吏部堂告归。虽主爵留之，典选留之，御史大夫留之，而公浩然长往，神武之冠竟不可挽矣。

居家，中丞惠文，郡国守令以下，干旄往往充斥巷左，而多不延接。即有时事，非公愤不及齿颊。人劝之请托，曰：“吾不能以面皮口舌博钱刀，为所不知后人计。”指床上书示之：“有此不贫矣。”公于书无所不读，而尤攻《文选》一书，到掩卷而诵，不讹只字。于诗若文无所不比拟，而尤精西京六朝青莲少陵氏。公又以其绪余为传奇，若《紫箫》、《还魂》诸剧，实驾元人而上。每谱一曲，令小史当歌，而自为之和，声振寥廓。识者谓神仙中人云。

公与予约游具区灵岩虎丘诸山川，而不能办三月粮，逡巡中辍。然不自言贫，人亦不尽知公贫。公非自信其心者耶？予虽为之执鞭，所忻慕焉。

（选自《汤显祖诗文集》附录，有删节）

40

[注]①江陵公：指时相张居正，其为江陵人。②蹠戾：乖舛，谬误。

5．对下列加点词的解释，不正确的一项是（3分）

．．．A．每试必雄其曹偶

．B．酬以馆选

．C．以乐留都山川

．D．为所不知后人计

．雄：称雄

酬：应酬

乐：喜爱

计：考虑

6．下列对原文有关内容的概括和分析，不正确的一项是（3分）

．．．A．汤显祖持身端洁，拒绝了时相张居正的利诱，海内士人都以结识他为荣幸。

B．因为上书批评当权者徇私情、塞言路，汤显祖被贬官至广东，做了徐闻尉。

C．汤显祖辞官回家后，当地官员争相与他交往，而汤显祖不为私事开口求人。

D．汤显祖与邹迪光相约三月份到江南一带游玩，但没准备好粮食，因而作罢。

7．把文中画线的句子翻译成现代汉语。（10分）

（1）见者益复啧啧曰：“此儿汗血，可致千里，非仅仅蹀躞康庄也者。”

（2）然不自言贫，人亦不尽知公贫。公非自信其心者耶？予虽为之执鞭，所忻慕焉。

8．请简要概括汤显祖读书为文的特点。（4分）

三、古诗词鉴赏（11分）

阅读下面这首唐诗，完成9—10题。

学诸进士作精卫衔石填海

韩 愈

鸟有偿冤者，终年抱寸诚。

41

口衔山石细，心望海波平。

渺渺功难见，区区命已轻。

人皆讥造次，我独赏专精。

岂计休无日，惟应尽此生。

何惭刺客传，不著报雠名。

9．本读前六句是怎样运用对比手法勾勒精卫形象的？请简要分析。(6分)

10．诗歌后六句表达了作者什么样的人生态度？（5分）

四、名句名篇默写（8分）

11．补写出下列名句名篇中的空缺部分。

（1）名余曰正则兮，__________________。（屈原《离骚》）

（2）__________________，善假于物也。（荀子《劝学》）

（3）艰难苦恨繁霜鬓，__________________。（杜甫《登高》）

（4）树林阴翳，__________________，游人去而禽鸟乐也。（欧阳修《醉翁亭记》）

（5）__________________，抱明月而长终。（苏轼《赤壁赋》）

（6）浩荡离愁白日斜，__________________。（龚自珍《己亥杂诗》）

（7）道之以德，__________________，有耻且格。（《论语·为政》）

（8）盖文章，经国之大业，__________________。（曹丕《典论·论文》）

五、现代文阅读（一）（15分）

阅读下面的作品，完成12~14题。

表 妹

林斤澜

42

矮凳桥街背后是溪滩，那滩上铺满了大的碎石，开阔到叫人觉着是不毛之地。幸好有一条溪，时宽时窄，自由自在穿过石头滩，带来水草野树，带来生命的欢喜。

滩上走过来两个女人，一前一后，前边的挎着个竹篮子，简直有摇篮般大，里面是衣服，很有点分量，一路拱着腰身，支撑着篮底。后边的女人空着两手，几次伸手前来帮忙，前边的不让。前边的女人看来四十往里，后边的四十以外。前边的女人不走现成的小路，从石头滩上斜插过去，走到一个石头圈起来的水潭边，把竹篮里的东西一下子控在水里，全身轻松了，透出来一口长气，望着后边的。后边的走不惯石头滩，盯着脚下，挑着下脚的地方。前边的说：

“这里比屋里清静，出来走走，说说话……再呢，我要把这些东西洗出来，也就不客气了。”

说着就蹲下来，抓过一团按在早铺平好了的石板上，拿起棒槌捶打起来，真是擦把汗的工夫也节约了。

看起来后边的是客人，转着身于看这个新鲜的地方，有一句没一句地应着：

“水倒是清的，碧清的……树也阴凉……石头要是走惯了，也好走……”

“不好走，一到下雨天你走走看，只怕担断了脚筋。哪有你们城里的马路好走。”

“下雨天也洗衣服?”

“一下天呢，二十天呢。就是三十天不洗也不行。嗐，现在一天是一天的事情，真是日日清，月月结。”

客人随即称赞：

“你真能干，三表妹，没想到你有这么大本事，天天洗这么多。”

43

主人微微笑着，手里捶捶打打，嘴里喜喜欢欢的：

事情多着呢。只有晚上吃顿热的，别的两顿都是马马虎虎。本来还要带子，现在托给人家。

不过洗完衣服，还要踏缝纫机。”

客人其实是个做活的能手，又做饭又带孩子又洗衣服这样的日子都过过。现在做客人看着人家做活，两只手就不知道放在哪里好。把左手搭在树杈上，右手背在背后，都要用点力才在那里闲得住。不觉感慨起来：

“也难为你，也亏得是你，想想你在家里的时候，比我还自在呢。”

主人放下棒槌，两手一刻不停地揉搓起来：

“做做也就习惯了。不过，真的，做惯了空起两只手来，反倒没有地方好放。乡下地方，又没有什么好玩的，不比城里。”

客人心里有些矛盾，就学点见过世面的派头，给人家看，也压压自己的烦恼：

“说的是，”右手更加用力贴在后腰上，“空着两只手不也没地方放嘛。城里好玩是好玩，谁还成天地玩呢。城里住长久了，一下乡，空气真就好，这个新鲜空气，千金难买。”

单夸空气，好比一个姑娘没有什么好夸的，单夸她的头发。主人插嘴问道：

“你那里工资好好吧？”

提起工资，客人是有优越感的，却偏偏埋怨道：

“饿不死吃不饱就是了，连奖金带零碎也有七八十块。”

“那是做多做少照样拿呀！”

“还吃着大锅饭。”

“不做不做也拿六七十吧？”

44

“铁饭碗！”

客人差不多叫出来，她得意。主人不住手地揉搓，也微微笑着。客人倒打起“抱不平”来：

“你好脾气，要是我，气也气死了，做多做少什么也不拿。”

“大表姐，我们也搞承包了。我们家庭妇女洗衣店，给旅店洗床单，给工厂洗工作服都洗不过来。”

“那一个月能拿多少呢？”客人问得急点。

主人不忙正面回答，笑道：

“还要苦干个把月，洗衣机买是买来了，还没有安装。等安装好了，有时间多踏点缝纫机，还可以翻一番呢！”

“翻一番是多少？”客人急得不知道转弯。主人停止揉搓，去抓棒槌，这功夫，伸了伸两个手指头。

客人的脑筋飞快转动：这两个手指头当然不会是二十，那么是二百……听着都吓得心跳，那顶哪一级干部了？厂长？……回过头来说道：

“还是你们不封顶好，多劳多得嘛。”

“不过也不保底呀，不要打算懒懒散散混日子。”

客人两步扑过来，蹲下来抓过一堆衣服，主人不让，客人已经揉搓起来了，一边说：

“懒懒散散，两只手一懒，骨头都要散……乡下地方比城里好，空气第一新鲜，水也碧清……三表妹，等你大侄女中学一毕业，叫她顶替我上班，我就退下来……我到乡下来享几年福，你看怎么样？”

（选自《十月》1984年第6期，有删改）

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12． 下列对小说相关内容和艺术特色的赏析，不正确的一项是？

A．小说开头的景物描写，以自由流动的溪水所带来的“水草野树”以级“生命的欢喜”，暗示着农村的新气象。

B．小说中“一路拱着腰身”等动作描写，以及“真是日日清，月月结”等语言描写，为下文表妹承包洗衣服这件事做了铺垫。

C．表姐两次提到乡下空气“新鲜”，第一次是出于客套，第二次提到时，表姐对农村的好已有了更多体会。

D．表妹说的“不要打算懒懒散散混日子”，既表达了自己对生活的态度，也流露出对自己得不到休息的些许不满。

13． 请简要分析表姐这一人物形象。（6分）

14． 小说刻画了两个人物，作者以“表妹”为题，表达了哪些思想感情？（6分）

六、现代文阅读（二）（12分）

阅读下面的作品，完成15~17题。

书家和善书者

沈尹默

“古之善书者，往往不知笔法。”前人是这样说过。就写字的初期来说，这句话，是可以理解的，正同音韵一样，四声清浊，是不能为晋宋以前的文人所熟悉的，他们作文，只求口吻调利而已。笔法不是某一个人凭空创造出来的，而是由写字的人们逐渐地在写字的点画过程中，发现了它，因而很好地去认真利用它，彼此传授，成为一定必守的规律。由此可知，书家和非书家的区别，在初期是不会有的。

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写字发展到相当兴盛之后（尤其到唐代），爱好写字的人们，一天比一天多了起来，就产生出一批好奇立异、相信自己、不大愿意守法的人，各人使用各人的手法，各人创立各人所愿意的规则。凡是人为的规则，它本身与实际必然不能十分相切合，因而它是空洞的、缺少生命力的，因而也就不会具有普遍的、永久的活动性，因而也就不可能使人人都满意地沿用着它而发生效力。在这里，自然而然地便有书家和非书家的分别了。

有天分、有休养的人们，往往依他自己的手法，也可能写出一笔可看的字，但是详细监察一下它的点画，有时与笔法偶然暗合，有时则不然，尤其是不能各种皆工。既是这样，我们自然无法以书家看待他们，至多只能称之为善书者。讲到书家，那就得精通八法，无论是端楷，或者是行草，他的点画使转，处处皆须合法，不能四号苟且从事，你只要看一看二王、欧、虞、褚、颜诸家遗留下来的成绩，就可以明白的。如果拿书和画来相比着看，书家的书，就好比精通六法的画师的画；善书者的书，就好比文人的写意画，也有它的风致可爱处，但不能学，只能参观，以博其趣。其实这也是写字发展过程中，不可避免的现象。

六朝及唐人写经，风格虽不甚高，但是点画不失法度，它自成为一种经生体，比之后代善书者的字体，要严谨得多。宋代的苏东坡，大家都承认他是个书家，但他因天分过高，放任不羁，执笔单钩，已为当时所非议。他自己曾经说过：“我书意造本无法。”黄山谷也尝说他“往往有意到笔不到处”。就这一点来看，他又是一个道地的不拘拘于法度的善书的典型人物，因而成为后来学书人不须要讲究笔法的借口。我们要知道，没有过人的天分，就想从东坡的意造入手，那是毫无成就可期的。我尝看见东坡画的枯树竹石横幅，十分外行，但极有天趣，米元章在后边题了一首诗，颇有相互发挥之妙。这为文人大开了一个方便之门，也因此 47

把守法度的好习惯破坏无遗。自元以来，书画都江河日下，到了明清两代，可看的书画就越来越少了。一个人一味地从心所欲做事，本来是一事无成的。但是若能做到从心所欲不逾矩（自然不是意造的矩）的程度，那却是最高的进境。写字的人，也需要做到这样。

（有删改）

15．根据原文内容，下列说法不正确的一项是（3分）

A．善书而不知笔法，这一现象出现在写字初期，当时笔法还未被充分发现和利用。

B．唐代爱好写字的人渐多，有一批人好奇立异，自创规则，经生体就是这么产生的。

C．二王、欧、虞、褚、颜诸家都是严格遵守笔法的典型，他们都属于书家的行列。

D．元明清三代，书画创作每况愈下，优秀作品越来越少，与守法度的习惯被破坏有关。

16．下列关于原文内容的理解和分析，不正确的一项是（3分）

A．在写字过程中，那些与实际不能完全切合的人为的规则，不具有普遍的永久的活动性，因而不能称之为笔法。

B．书与画相似，书家之书正如画师之画，谨严而不失法度，而善书者之书正如文人的写意，别有风致。

C．苏东坡天分高，修养深，意造的书画自有天然之趣，但率先破法，放任不羁，成为后世不守法度的借口。

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D．一味从心所欲做事是不可取的，但写字的人如能做到“从心所欲不逾矩”，却能达到最高的境界。

17．书家和善书者的区别体现在哪些方面？请简要概括。（6分）

七、现代文阅读（三）（12分）

阅读下面的作品，完成18~20题。

天津的开合桥

茅以升

开合桥就是可开可合的桥，合时桥上走车，开时桥下行船，一开一合，水陆两便，是一种很经济的桥梁结构。但在我国，这种桥造得很少，直到现在，几乎全国的开合桥都集中在天津，这不能不算是天津的一种“特产”。南运河上有金华桥，于牙河上有西河桥，海河上有全钢桥、全汤桥、解放桥。这些都是开合桥。为什么天津有这样多的开合桥呢？

对陆上交通说，过河有桥，当然是再好没有了。但是河上要行船，有了桥，不但航道受限制，而且船有一定高度，如果桥的高度不变，水涨船高，就可能过不了桥。要保证船能过桥，就要在桥下预留一个最小限度的空间高度，虽在大水时期，仍然能让最高的船通行无阻。这个最小限度的空间高度，名为“净空”，要等于河上航行的船的可能最大高度。根据河流在洪水时期的水位，加上净空，就定出桥面高出两岸的高度。如果河水涨落差距特别大，如同天津的河流一样，那么，这桥面的高度就很惊人了。桥面一高，就要在桥面和地面之间造一座有坡度的“引桥”，引桥不仅增加了桥梁的造价，而且对两旁的房屋建筑非常不利。这在城市规划上成了不易解决的问题。这便是水陆文通之同的一个矛盾。为了陆上交通，就要有正桥过河，而正桥就妨碍了水上交通；为了水上交通，就要有两 49