2024年4月5日发(作者：西安期末考试数学试卷分析)
高阶导数的求法讨论与总结
高阶导数定义如下：
设函数
f:IR
上可导，如果她的导函数
f\':IR
在
xI
处可导，则称
f
在
x
处
二阶可导，
f\'
在
x
处的导数成为
f
在
x
处的二阶可导，
f\'\'
称为
f
在
I
上的二阶导数。一
般的，若
f
的
n1
阶导数
f
(n1)
:IR
在上可导，则称
f
在
x
处
n
阶可导，
f
(n1)
在
x
处
的导数称为
f
在
x
处的
n
阶导数，记作
f
(n)
(x)(f
(n1)
)\'(x)
。若
f
在
I
上处处
n
阶可导，
则称
f
在
I
上
n
阶可导，
f
(n)
称为
f
在
I
上
n
的阶导函数，简称
n
阶导数.
常见求高阶导数的方法：
（１）拆分法
当遇到一些表达式不容易直接求导时，常常将它拆分成若干项之和，然后利用熟知的公
式进行求导，然后再将最后结果进行合并.
（２）莱布尼兹公式法
此公式常用于需要求导的两个函数相乘，而且每一个函数的高阶导数都是熟知的结果或
者求导次数不是太高，则可以直接应用.
(uv)
(n)r(r)(nr)
C
n
uv
r0
n0
（３）数学归纳法
当高阶导数不能一下求出时，可以先求出前n阶导数，总结归纳处其n阶倒数的表达
式，然后用数学归纳法证明.
（4）泰勒公式法
想要求出
f(x)
在
xa
处的
n
阶导数值，可将
f(x)
在
a
点作泰勒展开；
f(x)
=
(n)
n0
f
(n)
(
)
(xa)
n
n!
由此求出
f(a)
.
例：求
yecos
x
的
n
阶导数。
解法一 数学归纳法
x
y\'e
x
(
cos
x
sin
x)
=
ecos(
x
),
arctan
22
x
当求
y\'\'
时候可在算草纸上进行演算，此时得出：
y\'\'(
2
2
)
2
e
x
cos(
x2
)
，
- 1 -
进而归纳出
y
(n)
(
)ecos(
xn
)
arctan
2
n
2
2
x
证明：由题意可得
由上面计算结果猜想
y
(1) 当
n
1
时，
y\'e
x
(
cos
x
sin
x)
a
2
2
e
x
(
(n)
(
)ecos(
xn
)
，下面用数学归纳法证明如下
2
n
2
2
x
22
cos
22
sin
x)
22
x
=
e(cos
cos
sin
sin
)
=
ecos(
x
),
arctan
22
x
(2) 假设当
nk
(k1,kn
*
)
时猜想成立
(k)
y(
)e
x
cos(
x
)
arctan
2
k
2
2
那么当
nk1
时：
y
(k1)
(y)\'(
)[e
x
cos(
xk
)]\'
(n)2
2
k
2
2
k
2
2
(
)(
e
x
cos(
xk
)
e
x
sin(
xk
))
(
)
22
k1
x
2
e(
22
cos(
xk
)
22
sin(
xk
))
(
)
22
k1
x
2
ecos(
x(n1)
)
arctan
即
nk1
时猜想成立
由(1)(2)的猜想成立
y
(n)
(
)ecos(
xn
)
arctan
2
n
2
2
x
.
解法二 莱布尼兹公式
yecos
x
x
- 2 -
(e
x
cos
x)
(n)
1n1
x
(e
x
)
(n)
cos
xC
n
(e
x
)
(n1)
(cos
x)\'...C
n
(e)\'(cos
x)
(n1)
e
x
(cos
x)
(n)
n
xn1
x
x(n)
ecos
xn
esin
x...e(cos
x)
(n)
y
(
)ecos(
xn
)
2
n
2
2
x
此时
arctan
（由方法一猜想得出然后进行化简得到此式）
方法三 拆分法
（拆分法对此题试用效果不好）可换一道题
例：
f(x)
解：
1
(n)
求
f(x)
2
x3x2
11
(n)
)
=
(
x2x1
1
(n)
1
(n)
)()
x2x1
11
n
(1)
n
n!(1)n!
(x2)
(n1)
(x1)
(n1)
11
(1)n![]
(n1)(n1)
(x2)(x1)
(
此时拆分法比较简单！
求导数常见的方法基本就这些。微积分是工科数学中很重要的一部分而导数又是求微积
分的基础所以掌握好求倒数的方法还是很重要的。
下次见到求高阶导数的题注意分析一下其结构看看哪种方法更适合，简化解题方法。
刘思林
2011210504
0191102班
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