困扰世人三大数学几何问题,最后是怎么破

2024年3月22日发(作者：小升初数学试卷江苏沭阳)

困扰世人三大数学几何问题，最后是怎么破

众所周知，尺规作图要求只能用没有刻度直尺、圆规。用没有刻

度的直尺与圆规可以做出许多种图形，但有些图形很难画不出来。数

学几何作图发展史上有三大问题看似简单，但真正做出来却非常困难，

这三大问题被称为最有名几何作图三大问题。三大几何问题分别是是:

1、化圆为方：求作一正方形使其面积等于一已知圆

化圆为方是古希腊尺规作图问题之一，即：求一正方形，其面积

等于一给定圆的面积。由π为超越数可知，该问题仅用直尺和圆规是

无法完成的。

圆与正方形都是常见的几何图形，但如何作一个正方形和已知圆

等面积呢？若已知圆的半径为1则其面积为π(1)2=π，所以化圆为方

的问题等於去求一正方形其面积为π，也就是用尺规做出长度为π1/2

的线段（或者是π的线段）。

2、三等分任意角；

三等分角是古希腊几何尺规作图当中的名题，和化圆为方、倍立

方问题被并列为古代数学的三大难题之一，而如今数学上已证实了这

个问题无解。该问题的完整叙述为：在只用圆规及一把没有刻度的直

尺将一个给定角三等分。在尺规作图（尺规作图是指用没有刻度的直

尺和圆规作图）的前提下，此题无解。

对于某些角如90度、180度三等分并不难，但是否所有角都可以

三等分呢？例如60度，若能三等分则可以做出20度的角，那么正18

边形及正九边形也都可以做出来了（注：圆内接一正十八边形每一边

所对的圆周角为360度/18=20度）。其实三等分角的问题是由求作

正多边形这一类问题所引起来的。

若将条件放宽，例如允许使用有刻度的直尺，或者可以配合其他

曲线使用，可以将一给定角分为三等分。

3、倍立方：求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。

传说中，这问题的来源，可追溯到公元前429年，一场瘟疫袭击

了希腊提洛岛(Delos)，造成四分之一的人口死亡。岛民们推派一些代

表去神庙请示阿波罗的旨意，神指示说：要想遏止瘟疫，得将阿波罗

神殿中那正立方的祭坛加大一倍。人们便把每边增长一倍，结果体积

当然就变成了8倍，瘟疫依旧蔓延；接着人们又试着把体积改成原来

的2倍，但形状却变为一个长方体……有人主张将每边长加倍，但我们

都知道那是错误的，因为体积已经变成原来的8倍。

这些问题困扰数学家一千多年都不得其解，而实际上这三大问题

都不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的。尺规作图三大难题提出后，

有许多基于平面几何的论证和尝试，但在十九世纪以前，一直没有完

整的解答。没有人能够给出化圆为方问题的解法，但开始怀疑其可能

性的人之中，也没有人能够证明这样的解法一定不存在。直到十九世

纪后，伽罗瓦和阿贝尔开创了以群论来讨论有理系数多项式方程之解

的方法，人们才认识到这三个问题的本质 。

1637年笛卡儿创建解析几何以後，许多几何问题都可以转化为代

数问题来研究。1837年旺策尔给出三等分任一角及倍立方不可能用尺

规作图的证明。1882年林得曼也证明了π的超越性（即π不为任何整

数系数多次式的根），化圆为方的不可能性也得以确立。