三次数学危机——第二次数学危机

2023年12月19日发(作者：数学试卷讲评直播)

三次数学危机——第二次数学危机

从历史阶段上看，数学的三次危机分别发生在公元前5世纪、17世纪和19世纪末，都是发生在西方文化大发展的时期，因此，数学危机的产生，都有其一定的文化背景。

第一次危机是古希腊时代，由于不可公度的线段——无理数的发现与一些直觉的经验相抵触而引发的；

第二次危机是在牛顿和莱布尼茨建立了微积分理论后，由于对无穷小量的理解未及深透而引发的；

第三次危机是当罗素发现了集合论中的悖论，危及整个数学的基础而引起的。

第二次数学危机

在17世纪，牛顿和莱布尼茨建立了微积分，在自然科学中有着广泛的应用，解释了许多自然现象，从而被高度重视。在没有ε—δ语言的一二百年内，这门科学却缺乏严格的理论基础，存在着逻辑矛盾。例如：对于y=x²而言, 根据牛顿的计算法，有

y+△y=(x+△x)² （1）

x²+△y=x²+2x△x+(△x)² （2）

△y=2x△x+(△x)² （3）

△y/△x=2x+△x （4）

△y/△x=2x （5）

在上述的推理过程中，从（3）到（4）需要△x≠0，从（4）到（5）有需要△x =0。（现在我们有了极限的定义，这个问题便解决了）

（牛顿与莱布尼兹）

正因为在无穷小量中存在着这类矛盾，当时的红衣大主教贝克莱对无穷小量持抨击的态度。1734年贝克莱在其所著的一本书名为《分析学家》的小册子里，说△x为“逝去量的鬼魂”。意思是说，在微积分中有时把△x作为零,有时又不为零，自相矛盾。贝克莱的指责，在当时的数学界中引起混乱，这就是第二次数学危机的爆发。

在无穷小量的危机中，无穷小量顶住了各种形式的责难,以自己不可取代的应用优势发挥着巨大的作用。

经过了一个多世纪之后最终在以零为极限的序列中找到了位置。

（图片和数列极限无关）

从19世纪下半叶开始，极限理论逐渐取代了无穷小量的方法，并且在分析基础理论中具有统治地位，这样自然而然地解决了第二次危机。

本期内容源自好玩的数学——《数学美拾趣》

图 文：小 修

编 辑：歪 歪