第二次数学危机

2023年12月19日发(作者：南师附中一模数学试卷)

第二次数学危机

PB08207005 蒋晓澄

第二次数学危机发生在十七世纪。十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。

而这个理论基础问题存在于微积分的主要创始人们在推导过程中引用的一个无穷小的量。

牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此微积分早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。 牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾．焦点是：无穷小量是零还是非零？如果是零，怎么能用它做除数？如果不是零，又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？ 莱布尼茨也在这些问题上没有办法自圆其说。

此后微积分得以迅猛发展，虽然有人在指责微积分的不严密性，但人们看见的更多的是微积分在解决问题时的出色表现。

但这个情况并没有持续多久，贝克莱出现了。贝克莱是一名哲学家，也是一名神职人员。他害怕数学激发的机械论和决定论哲学信仰对宗教造成日益增大的威胁。1734 年，他发表了《分析学者，或致一个不信教的数学家，其中审查现代分析对象、原则与推断是否比起宗教的神秘与信条，构思更为清楚，或推理更为明显》一书。“先除掉你自己眼睛里的障碍，你才能看得清去擦掉你兄弟眼中的灰尘”。贝克莱抱怨数学家们的推理晦涩难懂、玄奥莫测，他们对自己的每一步既没有给出逻辑，也没有说明理由。贝克莱批评了牛顿很多的观点，他特别指出牛顿在他的论文《求曲边形的面积》中进行的一些代数运算，也就是之前提到的关于无穷小量的矛盾。贝克莱说，这是对矛盾律的蔑视，神学中不允许这样的推理。他说，一阶流数（一阶导数）似乎超出了人们的理解能力，因为它们超出了有限的范围。“如果一阶流数尚且不可理解，那么二阶、三阶或更高阶呢？那能够构想出开端的开端，抑或末尾的末尾的人⋯⋯或许其睿智的大脑足以构想这一切，但依我看，绝大部分的人会发现，想在任何意义上理解它们都是不可能的……我想，那些能消化得了二阶流

数或三阶流数的人，是不会吞食了神学观点就要呕吐的。”

同样的，贝克莱也批评莱布尼茨的方法。在他早期的著作《人类知识原理》（1710 年出版，1734 年修订版）中，他这样攻击莱布尼茨的概念：“有一些著名人物，不满足于知晓一条有限直线可以分成无穷多个部分，还进一步认为每一个这样的无穷小量又可分成无穷多个部分，即二阶无穷小量((dx)2)等，他们总说有无穷小的无穷小的无穷小，没完没了，而另一些人则掌握了低于一阶的无穷小到空无一物。”

他继续在《分析学者》里攻击莱布尼茨：“莱布尼茨及其追随者，在进行微分运算时，竟从不脸红地首先承认，然后又舍弃无穷小量。稍具思考能力的人，在理解时仔细些，在推理时公平些，就不会接受这样的估计。”

贝克莱认为，从几何上来看，微分之比应该确定割线的斜率，而不是切线的斜率，忽略了高阶无穷小才消除了误差，因此，“依靠双重错误你得到了虽然不科学却是正确的结果”，这是因为错误互相抵消的缘故。他还挑中二阶微分，即莱布尼茨的d(dx)作文章，因为d(dx)是dx 的微分，而dx 本身是一个很难识别的量。

关于牛顿和莱布尼茨的方法，贝克莱反问道：“难道我们这个时期的数学家也像科学家一样了吗？只花大气力去应用自己的理论却不设法理解它们。”“在每一门其他科学中，人们用他们的原理证明他们的结论，而不是用结论来证明他们的原理”。

贝克莱用一连串的质问结束了《分析学者》一书，谨摘录若干如下：“那些对宗教如此敏感的数学家们会严谨认真地对待自己的科学吗？他们会不屈从于权威、不盲目轻信和相信那些不可思议的观点吗？他们就没有属于自己的秘密，甚至抵触和矛盾吗？”

许多数学家也回击了贝克莱的批评，但是没人可以成功的使微积分变得严密化，直到柯西的出现。

19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念（虽然我还是没能弄懂他使怎么解决无穷小量的矛盾的，但我确实很崇拜他），另外Weistrass创立了 极限理论，加上实数理论，集合论的建立，从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。

柯西很牛，而且他很有主见，不畏强权。1830年的时候，法国爆发政变，推翻了波旁王朝，新任法国皇帝规定在法国担任公职的人必须

向新法王宣誓效忠。而柯西拥护的使波旁王朝，所以他拒绝了宣誓效忠，并自行离开了法国。柯西一生有很多的成就，包括常微分方程，复变函数，分析基础等等。当然也包括他解决第二次数学危机时的杰出贡献。所以大家为了纪念他也用他的名字命名了很多数学公式准则。

说了一堆的废话，交的又很晚，文章上又有很多别人说的东西，但是我还是比较喜欢研究些史实和人物传奇的，希望老师可以见谅。

（PB08207005 蒋晓澄）