2023年12月24日发(作者：恩平市中考数学试卷分析)
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沪教版初中数学中考总复习
知识点梳理
重点题型（常考知识点）巩固练习
中考总复习：实数—知识讲解 （基础）
【考纲要求】
1.了解有理数、无理数、实数的概念；借助数轴理解相反数、绝对值的概念及意义，会比较实数的大小；
2.知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数，会求近似数和有效数字；了解乘方与开方、平方根、算术平方根、立方根的概念，并理解这两种运算之间的关系，了解整数指数幂的意义和基本性质；
3.掌握实数的运算法则，并能灵活运用.
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、实数的分类
1.按定义分类：
2.按性质符号分类：
有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如（m，n是整数n≠0）”的数叫有理数．
无理数：无限不循环小数叫无理数．
实数：有理数和无理数统称为实数．
要点诠释：
常见的无理数有以下几种形式：
（1）字母型：如π是无理数，等都是无理数，而不是分数；
（2）构造型：如2.10…（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数；
（3）根式型：…都是一些开方开不尽的数；
（4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等.
考点二、实数的相关概念
1.相反数
（1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0；
（2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数；
（3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数a+b=0.
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2.绝对值
（1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
可用式子表示为：
（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数．
用式子表示：若a是实数，则|a|≥0．
要点诠释：
若则则表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数b的点之间的距离.
3.倒数
（1)实数的倒数是；0没有倒数；
（2)乘积是1的两个数互为倒数．a、b互为倒数.
4.平方根
（1)如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a（a≥0）的平方根记作．
（2)一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．a（a≥0）的算术平方根记作．
5.立方根
3如果x=a，那么x叫做a的立方根．
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根仍是0．
考点三、实数与数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可．
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．
要点诠释：
（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度.
（2）实数和数轴上的点是一一对应的.
考点四、实数大小的比较
1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.
2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数；绝对值大的反而小.
3.对于实数a、b， 若a-b>0a>b；a-b=0a=b；a-b<0a 4.对于实数a，b，c，若a>b，b>c，则a>c. 5.无理数的比较大小： 22利用平方转化为有理数：如果a>b>0， a>ba>b； 或利用倒数转化：如比较与. 要点诠释： 实数大小的比较方法：（1）直接比较法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.（2）数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大. 考点五、实数的运算 1.加法 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数． 满足运算律：加法的交换律a+b=b+a，加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c)． 2.减法 减去一个数等于加上这个数的相反数． 精品文档 用心整理 3.乘法 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 乘法运算的运算律：（1）乘法交换律ab=ba；（2）乘法结合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac． 4.除法 （1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数． （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0． 5.乘方与开方 （1)求n个相同因数的积的运算叫做乘方，a所表示的意义是n个a相乘. 正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数． （2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方． （3)零指数与负指数 要点诠释： 加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算． 考点六、有效数字和科学记数法 一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．精确度的形式有两种：（1）精确到哪一位；（2）保留几个有效数字. 把一个数用±a×10（其中1≤＜10，n为整数）的形式记数的方法叫科学记数法． 要点诠释： （1）当要表示的数的绝对值大于1时，用科学记数法写成a×10，其中1≤＜10，n为正整数，其值等于原数中整数部分的数位减去1； （2）当要表示的数的绝对值小于1时，用科学记数法写成a×10，其中1≤＜10，n为负整数，其值等于原数中第一个非零数字前面所用零的个数的相反数（包括小数点前面的零）. 【典型例题】 类型一、实数的有关概念 1．（1）a的相反数是，则a的倒数是_______． （2）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示: 则化简=______． （3）（泉州市）去年泉州市林业用地面积约为10200000亩，用科学记数法表示为约____________． 7【答案】（1）5 ； （2）-a-b； （3）1.02×10亩. 【解析】（1）注意相反数和倒数概念的区别，互为相反数的两个数只有性质符号不同，互为倒数的两个数要改变分子分母的位置；或者利用互为相反数的两个数之和等于0，互为倒数的两个数乘积等于1来计算. （2）此题考查绝对值的几何意义，绝对值和二次根式的化简.注意要去掉绝对值符号，要判别绝对值内的数的性质符号. 由图知： （3）考查科学记数法的概念. 【点评】本大题旨在通过几个简单的填空，让学生加强对实数有关概念的理解． 举一反三： 精品文档 用心整理 【变式】据市旅游局统计，今年“五·一”小长假期间，我市旅游市场走势良好，假期旅游总收入达到8.55亿元，用科学记数法可以表示为（ ） A．8.55×106 B．8.55×107 C．8.55×108 D．8.55×109 【答案】C. 类型二、实数的分类与计算 2．下列实数、sin60°、、、3.14159、-、、中无理数有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C. 【解析】无理数有sin60°、、. 【点评】对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断． 举一反三： 【高清课程名称： 实数 高清： 369214 ：经典例题1】 【变式】在中，哪些是有理数? 哪些是无理数? 【答案】都是有理数； 都是无理数. ﹣103．（2015•梅州）计算： +|2﹣3|﹣（）﹣（2015+）． 【答案与解析】 解：原式=2+3﹣2﹣3﹣1=﹣1． 【点评】该题是实数的混合运算，包括绝对值，0指数幂、负整数指数幂等．只要准确把握各自的意义，就能正确的进行运算． 举一反三： 【高清课程名称：实数 高清：369214 ：经典例题8-9】 0﹣1【变式1】计算：（2015•甘南州）计算：|﹣1|+2012﹣（﹣）﹣3tan30°． 【答案】解：原式=﹣1+1﹣（﹣3）﹣3×=+3﹣=3． 【变式2】计算： 【答案】 设n=2001，则原式= 2（把n+3n看作一个整体） = 2=n+3n+1 =n(n+3)+1 =2001×2004+1 =4010005. 精品文档 用心整理 类型三、实数大小的比较 4．比较下列每组数的大小： （1）与 （2）a与（a≠0） 【答案与解析】 （1），， 而与可以很容易进行比较得到： ， 所以； （2）当a<-1或O 当-1 当a=时，a=. 【点评】（1）有时无理数比较大小，通过平方转化以后也无法进行比较，那么我们可以利用倒数关系比较； （2）这道题实际上是互为倒数的两个数之间的比较大小，我们可以利用数轴进行比较，我们知道，0没有倒数，±1的倒数等于它本身，这样数轴就被这3个数分成了4部分，下面就可以分类讨论每种情况.我们还可以利用函数图象来解决这个问题，把的值看成是关于a的反比例函数，把a的值看成是关于a的正比例函数，在坐标系中画出它们的图象，可以很直观的比较出它们的大小. 举一反三： 【变式】比较下列每组数的大小： （1）和 （2）和 【答案】 （1）将其通分，转化成同分母分数比较大小， ，，， 所以. （2） 因为， 所以. 类型四、平方根的应用 5．已知：x ，y是实数，，若axy-3x=y，则实数a的值是_______. 【答案】. 【解析】，即 两个非负数相加和为0，则这两个非负数必定同时为0， 2∴，(y-3)=0， ∴ x=， y=3 又∵axy-3x=y， ∴ a=. 【点评】此题考查的是非负数的性质. 类型五、实数运算中的规律探索 6．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题 精品文档 用心整理 （1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律； （2）推算出OA10的长； 2222（3）求出S1+ S2+ S3+…+ S10的值. 【答案与解析】 （1）由题意可知，图形满足勾股定理， （2）因为OA1=，OA2=，OA3=…， 所以OA10= 2222（3）S1+ S2+ S3+…+ S10 = = =. 【点评】近几年各地的中考题中越来越多的出现了一类探究问题规律的题目，这些问题素材的选择、文字的表述、题型的设计不仅考察了数学的基础知识，基本技能，更重点考察了创新意识和能力，还考察了认真观察、分析、归纳、由特殊到一般，由具体到抽象的能力. 举一反三： 【变式】图中是一幅“苹果图”，第一行有1个苹果，第二行有2个，第三行有4个，•第四行有8个，……你是否发现苹果的排列规律？猜猜看，第十行有______个苹果． 【答案】2（512）.沪教版初中数学中考总复习 知识点梳理 重点题型（常考知识点）巩固练习 中考总复习：实数—巩固练习 （基础） 【巩固练习】 一、选择题 1. 在实数－，0，，－3.1415，，，－0.1010010001…（每两个1之间依次多1个0），sin30° 这8个实数中，无理数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．我国第六次全国人口普查数据显示，居住在城镇的人口总数达到665 575 306人．将665 575 306用科学记数法表示（保留三个有效数字）约为（ ） A．66.6×10 B．6.66×10 C．0.666×107 88 D．6.66×10 73．（2015•杭州）若k＜＜k+1（k是整数），则k=（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．在三个数0.5、、中，最大的数是( ) 精品文档 用心整理 A．0.5 B． C． D．不能确定 5．用四舍五入法按要求对0.05049分别取近似值，其中错误的是（ ） A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到百分位） C．0.050（精确到0.001） D．0.05（精确到千分位） 6．我国古代的“河图”是由3×3的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．图中给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图是( ) 二、填空题 7．则= . 8． （2014•辽阳）5﹣的小数部分是 ． 9．若互为相反数，则a+b的值为________． 10．已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值是1，则的值为________． 11．已知：若符合前面式子的规律，则a+b=________． 12．将正偶数按下表排列： 第1列 第2列 第3列 第4列 第1行 2 第2行 4 6 第3行 8 10 12 第4行 14 16 18 20 …… 根据上面的规律，则2006所在行、列分别是________． 三、解答题 13． 计算：（1） （2） 14．若，比较a、b、c的大小。 15．在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计如图（1）所示的几何图形． （1）请你利用这个几何图形求的值为_______． （2）请你利用图（2）再设计一个能求的值的几何图形． 243216.（2014春•双流县月考）求（2+1）（2+1）（2+1）…（2+1）+1的个位数字． 精品文档 用心整理 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C； 【解析】对实数分类，不能只为表面形式迷惑，而应从最后结果去判断．首先明确无理数的概念，即“无限不循环小数叫做无理数”.一般来说，用根号表示的数不一定就是无理数，如是有理数，关键在于这个形式上带根号的数的最终结果是不是无限不循环小数．同样，用三角符号表示的数也不一定就是无理数，如sin30°、tan45°等．而－0.1010010001…尽管有规律，•但它是无限不循环小数，是无理数．是无理数，而不是分数．在上面所给的实数中，只有，，－0.1010010001…这三个数是无理数，其他五个数都是有理数，故选C. 2.【答案】B； 【解析】科学记数法的表示形式为×10的形式，其中1≤||＜10，n为整数．确定n的值是关键点，由于665 575 306有9位，所以可以确定n=9﹣1=8.有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字，故选B． 3.【答案】D. 【解析】∵k＜＜k+1（k是整数），9＜＜10，∴k=9．故选：D． 4.【答案】B； 5.【答案】D； 【解析】根据近似数与有效数字的概念对四个选项进行逐一分析即可： A、0.05049精确到0.1应保留一个有效数字，是0.1，故本选项正确； B、0.05049精确到百分位应保留一个有效数字，是0.05，故本选项正确； C、0.05049精确到0.001应是0、050，故本选项正确； D、0.05049精确到千分位应是0.050，故本选项错误. 故选D. 6.【答案】C； 【解析】设左下角小方格内的点数为x（如图），则依题意得2+5+x=x+1+p,解得p=6. 二、填空题 7．【答案】－1； 【解析】根据非负数的性质，要使，必须，即. 因此. 8．【答案】2﹣ ； 【解析】由1＜＜2，得﹣2＜﹣＜﹣1． 不等式的两边都加5，得5﹣2＜5﹣＜5﹣1， 即3＜5﹣＜4， 5﹣的小数部分是（5﹣）﹣3=2﹣，故答案为：2﹣． 9．【答案】0； 【解析】由绝对值非负特性，可知，又由题意可知： n 精品文档 用心整理 所以只能是：a–2=0，b+2=0，即a=2，b= –2 ，所以a+b=0. 10．【答案】0； 【解析】原式=. 11．【答案】109； 【解析】规律，所以a=99，b=10，a+b=109. 12．【答案】第45行第13列 【解析】观察数列2，4，6，8，10，...每个比前一个增大2，2006是这列数字第1003个. 每行数字的个数按照1，2，3，4，5，...，n 递增，根据等差数列求和公式，第n行（包括n行）以前的所有数字的个数. 如果2006在第n行，那么 设,解得n约为44.5，n取整数，因此n=45。 到第44行（含44行）共有数字（44+1）×=990个； 到第45行（含45行）共有数字（45+1）×=1035个； 2006是第1003个，在45行13列. 三、解答题 13.【答案与解析】 （1）原式= （2）原式== 14.【答案与解析】 ＜-1；＞-1且＜0；c＞0；所以容易得出：a＜b＜c. 15.【答案与解析】 （1） (2) 16.【答案与解析】 224832解：原式=（2﹣1）（2+1）（2+1）（2+1）…（2+1）+1 44832=（2﹣1）（2+1）（2+1）…（2+1）+1 64=2﹣1+1 64=2； 12345∵2=2，2=4，2=8，2=16，2=32，… ∴2的整数次幂的个位数字每4个数字为一个循环组依次循环， ∵64=16×4， 644∴2的个位数字与2的个位数字相同，为6， ∴原式的个位数字为6． 沪教版初中数学中考总复习 知识点梳理 精品文档 用心整理 重点题型（常考知识点）巩固练习 中考总复习：整式与因式分解—知识讲解（基础） 【考纲要求】 1.整式部分主要考查幂的性质、整式的有关计算、乘法公式的运用，多以选择题、填空题的形式出现； 2.因式分解是中考必考内容，题型多以选择题和填空题为主，也常常渗透在一元二次方程和分式的化简中进行考查. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、整式 1.单项式 数与字母的积的形式的代数式叫做单项式．单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说只含有乘法的运算，不含有加减运算．在含有除法运算时，除数(分母)只能是一个具体的数，可以看成分数因数．单独一个数或一个字母也是单项式． 要点诠释： （1）单项式的系数是指单项式中的数字因数． （2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和． 2.多项式 几个单项式的代数和叫做多项式．也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的． 要点诠释： （1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项． （2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数． （3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式． （4）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列． 3.整式 单项式和多项式统称整式． 4.同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项． 5.整式的加减 整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用． 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变. 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反. 整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 6.整式的乘除 ①幂的运算性质： ②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． ③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达： ④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达： 平方差公式： 精品文档 用心整理 完全平方公式： 在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. ⑤单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． ⑥多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 要点诠释： （1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的有理数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. （3）公式的推广： (，均为正整数) （4）公式的推广： (为正整数). 考点二、因式分解 1.因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解． 2.因式分解常用的方法 （1）提取公因式法： （2）运用公式法： 平方差公式：；完全平方公式： （3）十字相乘法： 3.因式分解的一般步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； （2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法； （3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法； （4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法. 要点诠释： （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到每个因式都不能再分解为止． （4）十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 【典型例题】 类型一、整式的有关概念及运算 1．若3xy与xy的和是单项式，则n ． 【答案】 m+523nm+523n【解析】由3xy与xy的和是单项式得3xy与xy是同类项， m+523nm 精品文档 用心整理 ∴ 解得， n=2= 【点评】本题考查同类项定义结合求解二元一次方程组，负整数指数幂的计算. 同类项的概念为：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式. 举一反三： 【变式】若单项式是同类项，则的值是( ) A、-3 B、-1 C、 D、3 【答案】由题意单项式是同类项， 所以，解得，，应选C. m-2 2．下列各式中正确的是( ) 236236538 A. B.a·a=a C.(-3a)=-9a D.a+a=a 【答案】A； 235【解析】选项B为同底数幂乘法，底数不变，指数相加，a·a=a，所以B错； 选项C为积的乘方，应把每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，(-3a2)3=-27a6，所以C错；选项D为两个单项式的和，此两项不是同类项，不能合并，所以D错； 选项A为负指数幂运算，一个数的负指数幂等于它的正指数幂的倒数，A正确.答案选A. 【点评】考查整数指数幂运算. 举一反三： 【变式1】下列运算正确的是 ( ) A． B． C． D． -3 【答案】A.2= ； B. ；C. 正确 ；D.. 故选C. 【高清课程名称： 整式与因式分解 高清：399488 ：例1-例2】 【变式2】下列运算中，计算结果正确的个数是( )． 43126325510(1)a·a＝a； (2)a÷a＝a； (3)a＋a＝a； 329224(4)(a)＝a； (5)(－ab)＝ab； (6) A．无 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A. 3．利用乘法公式计算： (1)(a+b+c) (2)(2a-3b+2)(2-2a+3b) 【答案与解析】 (1)(a+b+c)可以利用完全平方公式，将a+b看成一项，则 (a+b+c)=[(a+b)+2(a+b)c+c] =a+2ab+b+2ac+2bc+c =a+b+c+2ab+2ac+2bc. (2)(2a-3b+2)(2-2a+3b)两个多项式中，每一项都只有符号的区别，所以，我们考虑用平方差公 式，将符号相同的看作公式中的a，将符号相反的项，看成公式中的b， 2222222222222222222 精品文档 用心整理 原式=[2+(2a-3b)][2-(2a-3b)] =4-(2a-3b)=4-4a+12ab-9b. 【点评】利用乘法公式去计算时，要特别注意公式的形式及符号特点，灵活地进行各种变形. 举一反三： 【变式】如果a+ma+9是一个完全平方式，那么m=______. 【答案】利用完全平方公式：(a±3)=a±6a+9. m=±6. 22222242242222类型二、因式分解 4．（2015春•兴化市校级期末）因式分解 （1）9x2﹣81 （2）（x2+y2）2﹣4x2y2 （3）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a） （4）6mn2﹣9m2n﹣n3． 【思路点拨】 （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； （2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法； （3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法； （4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法. 【答案与解析】 解：（1）原式=9（x2﹣9）=9（x+3）（x﹣3）； （2）原式=（x2+y2+2xy）（x2+y2﹣2xy）=（x+y）2（x﹣y）2； （3）原式=3（a﹣b）（x+2y）； （4）原式=﹣n（9m2+n2﹣6mn）=﹣n（3m﹣n）2． 【点评】把一个多项式进行因式分解，首先要看多项式是否有公因式，有公因式就要先提取公因式，再看是否还可以继续进行分解，是否可以利用公式法进行分解，直到不能进行分解为止. 举一反三： 【高清课程名称： 整式与因式分解 高清：399488 ：例3（1）-（2）】 【变式】（2015春•陕西校级期末）分解因式： （1）（2x+y）2﹣（x+2y）2 （2）﹣8a2b+2a3+8ab2． 【答案】 解：（1）原式=[（2x+y）+（x+2y）][（2x+y）﹣（x+2y）]=3（x+y）（x﹣y）； （2）原式=2a（a2﹣4ab+4b2）=2a（a﹣2b）2． 5．若能分解为两个一次因式的积，则m的值为（ ） A. 1 B. -1 C. D. 2 【思路点拨】 对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法. 【答案】C. 【解析】 精品文档 用心整理 解： -6可分解成或，因此，存在两种情况： 由（1）可得：， 由（2）可得：. 故选择C. 【总结升华】十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 举一反三： 【变式】因式分解： _______________. 【答案】 类型三、因式分解与其他知识的综合运用 6．已知a、b、c 是△ABC的三边的长,且满足: a+2b+c-2b(a+c)=0,试判断此三角形的形状. 【思路点拨】 2222 式子a+2b+c-2b(a+c)=0体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，把2b写成22b+b，故等式可变成2个完全平方式，从而得到结论． 【答案与解析】 222解: a+2b+c-2b(a+c)=0 2222 a+b+ b+c-2ba-2bc=0 2 2 (a-b)+(b-c)=0 即: a-b=0 , b-c=0，所以a=b=c. 所以△ABC是等边三角形. 【总结升华】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系． 222沪教版初中数学中考总复习 知识点梳理 重点题型（常考知识点）巩固练习 中考总复习：整式与因式分解—巩固练习（基础） 【巩固练习】 一、选择题 1.下列计算中错误的是( ) A. B. 精品文档 用心整理 C. D. 2. 已知与一个多项式之积是，则这个多项式是( ) A. B. C. D.3．把代数式分解因式，下列结果中正确的是（ ） A． B． C． D． 24．（2015•佛山）若（x+2）（x﹣1）=x+mx+n，则m+n=（ ） A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2 5. 如果，则为 ( ) A．5 B．－6 C．－5 D．6 6．把进行分组，其结果正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 7．已知，则的值为 ． 8．(1)已知＝3，＝2， __________．(2)已知＝6，＝8， ___________． 9．分解因式： _________________． 10．（2015秋•乌海校级期中）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证 （填写序号）． ①（a+b）2=a2+2ab+b2 ②（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 ③a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） ④（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2． 11．多项式可分解为，则,的值分别为_________. 12.分解因式：＝__ ______. 三、解答题 13．将下列各式分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）. 14.（2015春•故城县期末）（1）实验与观察：（用“＞”、“=”或“＜”填空） 当x=﹣5时，代数式x﹣2x+2 1； 2当x=1时，代数式x﹣2x+2 1；… （2）归纳与证明：换几个数再试试，你发现了什么？请写出来并证明它是正确的； （3）拓展与应用：求代数式a+b﹣6a﹣8b+30的最小值． 15. 已知，求下列代数式的值：(1)； (2). 16.若三角形的三边长是，且满足，试判断三角形的形状. 小明是这样做的： 解：∵，∴. 即 222 精品文档 用心整理 ∵，∴. ∴该三角形是等边三角形. 仿照小明的解法解答问题： 已知：为三角形的三条边，且，试判断三角形的形状. 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】D； 【解析】. 2.【答案】C； 【解析】这个多项式为. 3.【答案】D； 【解析】运用提取公因式法和公式法因式分解. 4.【答案】C； 22 【解析】∵原式=x+x﹣2=x+mx+n， ∴m=1，n=﹣2． ∴m+n=1﹣2=﹣1．故选：C． 5.【答案】B； 【解析】由题意. 6.【答案】D； 【解析】原式＝. 二、填空题 7．【答案】5； 【解析】由得．∴ ． 8．【答案】(1)；(2)； 【解析】（1）；（2）. 9．【答案】； 【解析】原式 令， . 10．【答案】 ③； 22 【解析】∵图甲中阴影部分的面积=a﹣b，图乙中阴影部分的面积=（a+b）（a﹣b）， 而两个图形中阴影部分的面积相等， 22∴a﹣b=（a+b）（a﹣b）． 故可以验证③．故答案为：③． 11．【答案】； 【解析】，所以，. 12.【答案】； 【解析】. 三、解答题 13.【答案与解析】 精品文档 用心整理 （1）； （2）. （3）； （4）因为 所以：原式 14.【答案与解析】 2解：（1）把x=﹣5代入x﹣2x+2中得：25+10﹣2=33＞1； 2把x=1代入x﹣2x+2中得：1﹣2+1=1， 故答案为：＞，=； 222（2）∵x﹣2x+2=x﹣2x+1+1=（x﹣1）+1， 2X为任何实数时，（x﹣1）≥0， 2∴（x﹣1）+1≥1； 2222（3）a+b﹣6a﹣8b+30=（a﹣3）+（b﹣4）+5． 22∵（a﹣3）≥0，（b﹣4）≥0， 22∴（a﹣3）+（b﹣4）+5≥5， 22∴代数式a+b﹣6a﹣8b+30的最小值是5． 15.【答案与解析】 （1） ∴. （2）已知两边同除以，得 ∴ ∴. 16.【答案与解析】 ∵ ∴ ∴ ∴，该三角形是等边三角形. 沪教版初中数学中考总复习 知识点梳理 精品文档 用心整理 重点题型（常考知识点）巩固练习 中考总复习：分式与二次根式—知识讲解（基础） 【考纲要求】 1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程； 2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算． 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、分式的有关概念及性质 1．分式 设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义. 2.分式的基本性质 （M为不等于零的整式）. 3．最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点诠释： 分式的概念需注意的问题： (1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用； （2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0； （3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断． （4）分式有无意义的条件：在分式中， ①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0． ②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0． ③当B≠0且A = 0时，分式的值为零． 考点二、分式的运算 1．基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算 ±= 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ； 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算. （2）乘法运算 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. （4）乘方运算 （分式乘方） 精品文档 用心整理 分式的乘方，把分子分母分别乘方． 2．零指数 . 3．负整数指数 4．分式的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的． 5．约分 把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分． 6．通分 根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分． 要点诠释： 约分需明确的问题： (1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等； (2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积． 通分注意事项： (1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积． (2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉． (3)确定最简公分母的方法： 最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； 最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积. 考点三、分式方程及其应用 1．分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法 解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程． 3．分式方程的增根问题 验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解． 4．分式方程的应用 列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性． 精品文档 用心整理 要点诠释： 解分式方程注意事项： （1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆； （2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解． 列分式方程解应用题的基本步骤： (1)审——仔细审题，找出等量关系； (2)设——合理设未知数； (3)列——根据等量关系列出方程； (4)解——解出方程； (5)验——检验增根； (6)答——答题． 考点四、二次根式的主要性质 1.； 2.； 3.； 4. 积的算术平方根的性质：； 5. 商的算术平方根的性质：. 6.若，则. 要点诠释： 与的异同点： （1）不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数．但与都是非负数，即，．因而它的运算的结果是有差别的， ，而 （2）相同点：当被开方数都是非负数，即时， =；时，无意义， 而. 考点五、二次根式的运算 1．二次根式的乘除运算 (1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2)注意知道每一步运算的算理； 2．二次根式的加减运算 先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质； 3．二次根式的混合运算 (1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的； (2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 要点诠释： 怎样快速准确地进行二次根式的混合运算. 精品文档 用心整理 1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的； 2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用； 3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果. (1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简. 例如，没有必要先对进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算，，通过约分达到化简目的； (2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用. 如：，利用了平方差公式. 所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化. 【典型例题】 类型一、分式的意义 1．使代数式有意义的的取值范围是（ ） A. B. C.且 D.一切实数 【答案】C； 【解析】解不等式组得且，故选C． 【点评】代数式有意义，就是要使代数式中的分式的分母不为零；代数式中的二次根式的被开方数是非负数，即需要中的x0；分母中的2x-10. 举一反三： 【高清课程名称：分式与二次根式 高清：399347 ：例1】 【变式】当x取何值时，分式有意义?值为零? 【答案】 当时，分式有意义，即时，分式有意义. 当且时，分式值为零， 解得，且，即时，分式值为零. 类型二、分式的性质 2．已知,求下列各式的值. (1); (2). 【答案与解析】 (1)因为,所以. 即.所以. (2), 所以. 【点评】观察(1)和已知条件可知,将已知等式两边分别平方再整理,即可求出(1)的值;对于(2),直接求值很困难,根据其特点和已知条件,能够求出其倒数的值,这样便可求出(2)的值. 举一反三： 精品文档 用心整理 【变式】已知求的值. 【答案】 由得 所以即. 所以. 类型三、分式的运算 3．（2015•眉山）计算：． 【答案与解析】 解： =•=． 异分母分式相加减，先根据分式的基本性质进行通分，转化为同分母分式，再进行相加减.在【点评】通分时，先确定最简公分母，然后将各分式的分子、分母都乘以分母与最简公分母所差的因式.运算的结果应根据分式的基本性质化为最简形式. 举一反三： 【高清课程名称：分式与二次根式 高清：399347 ：例2】 【变式】（2015•宁德）化简： •． 【答案】解：原式=： • =． 类型四、分式方程及应用 4．如果方程有增根, 那么增根是 . 【答案与解析】 因为增根是使分式的分母为零的根,由分母或可得.所以增根是. 答案: 【点评】使分母为0的根是增根. 5．为创建“国家卫生城市”，进一步优化市中心城区的环境，德州市政府拟对部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，须在60天内完成工程．现在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程．经调查知道：乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天，甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工程费用2500元，乙队每天的工程费用2000元． （1）甲、乙两个工程队单独完成各需多少天？ （2）请你设计一种符合要求的施工方案，并求出所需的工程费用． 【答案与解析】 （1）设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需（x+25）天． 根据题意得：． 方程两边同乘以x（x+25），得30（x+25）+30x=x（x+25）， 2即x﹣35x﹣750=0． 解之，得x1=50，x2=﹣15． 经检验，x1=50，x2=﹣15都是原方程的解． 但x2=﹣15不符合题意，应舍去． ∴当x=50时，x+25=75． 答：甲工程队单独完成该工程需50天，则乙工程队单独完成该工程需75天． （2）此问题只要设计出符合条件的一种方案即可． 精品文档 用心整理 方案一：由甲工程队单独完成．（ 所需费用为：2500×50=125000（元）． 方案二：由甲乙两队合作完成． 所需费用为：（2500+2000）×30=135000（元）． 【点评】本题考查分式方程在工程问题中的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．工程问题的基本关系式：工作总量=工作效率×工作时间． （1）如果设甲工程队单独完成该工程需x天，那么由“乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天”，得出乙工程队单独完成该工程需（x+25）天．再根据“甲、乙两队合作完成工程需要30天”，可知等量关系为：甲工程队30天完成该工程的工作量+乙工程队30天完成该工程的工作量=1． （2）首先根据（1）中的结果，排除在60天内不能单独完成该工程的乙工程队，从而可知符合要求的施工方案有两种：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由甲乙两队合作完成．针对每一种情况，分别计算出所需的工程费用． 举一反三： 【变式】莱芜盛产生姜，去年某生产合作社共收获生姜200吨，计划采用批发和零售两种方式销售．经市场调查，批发每天售出6吨． （1）受天气、场地等各种因素的影响，需要提前完成销售任务．在平均每天批发量不变的情况下，实际平均每天的零售量比原计划增加了2吨，结果提前5天完成销售任务．那么原计划零售平均每天售出多少吨？ （2）在（1）的条件下，若批发每吨获得利润为2000元，零售每吨获得利润为2200元，计算实际获得的总利润． 【答案】 （1）设原计划零售平均每天售出x吨． 根据题意，得， 解得x1=2，x2=﹣16． 经检验，x=2是原方程的根，x=﹣16不符合题意，舍去． 答：原计划零售平均每天售出2吨． （2）． 实际获得的总利润是：2000×6×20+2200×4×20=416000（元）． 类型五、二次根式的定义及性质 6．当x取何值时，的值最小？最小值是多少？ 【答案与解析】 ∵ ∴， ∴当9x+1=0，即时，有最小值，最小值为3. 【点评】解决此类问题一定要熟练掌握二次根式的非负性，即≥0（a≥0）. 由二次根式的非负性可知的最小值为0，因为3是常数， 所以的最小值为3. 类型六、二次根式的运算 【高清课程名称：分式与二次根式 高清：399347 精品文档 用心整理 ：例3】 7．计算：； 【答案与解析】 原式 【点评】本题主要考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算． 沪教版初中数学中考总复习 知识点梳理 重点题型（常考知识点）巩固练习 中考总复习：分式与二次根式—巩固练习（基础） 【巩固练习】 一、选择题 1. 下列各式与相等的是( ) A． B. C. D. 2．（2015•泰安）化简：（a+）（1﹣）的结果等于（ ） A．a﹣2 B．a+2 C． D． 3．若分式的值是0，则x为（ ） A．0 B.1 C.-1 D.±1 4．下列计算正确的是 （ ） 5．在实施“中小学生蛋奶工程”中，某配送公司按上级要求，每周向学校配送鸡蛋10000 个，鸡蛋用甲、乙两种不同规格的包装箱进行包装，若单独使用甲型包装箱比单独使用 乙型包装箱可少用10个，每个甲型包装箱比每个乙型包装箱可多装50个鸡蛋，设每个 甲型包装箱可装x个鸡蛋，根据题意下列方程正确的是（ ） A．－＝10 C．－＝10 B．－＝10 D．－＝10 6．函数中自变量x的取值范围是（ ） A. x≤2 B. x=3 C. x＜2且x≠3 D. x≤2且x≠3 二、填空题 7．（2014春•张家港市校级期末）下列分式中，不属于最简分式的，请在括号内写出化简后的结果，否则请在括号内打“√”． ① ② ③ ④ ⑤ ． 精品文档 用心整理 8．化简的结果是__________. 9.某同学步行前往学校时的行进速度是6千米/时，从学校返回时行进速度为4千米/时，那么该同学往返学校的平均速度是____________千米/时. 10．在中，是最简二次根式的有 个. 11. 若最简二次根式是同类二次根式，则x的值为 . 12．（1）把化简的结果是 . （2）估计的运算结果应在 之间.（填整数） 三、解答题 13．（2015•南京）计算：（﹣）÷． 14.（1）已知：，求的值. （2）已知：，求的值. 15．在“情系海啸”捐款活动中，某同学对甲、乙两班捐款情况进行统计，得到如下三条信息. 信息1：甲班共捐款300 元， 乙班共挡捐款232 元. 信息2: 乙班平均每人捐款钱数是甲班平均每人捐款钱数的. 信息3 : 甲班比乙班多2人. 请根据以上三条信息,求出甲班平均每人捐款多少元. 16.已知. 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C； 【解析】化简= . 2.【答案】B； 【解析】•=•=a+2．故选B． 3.【答案】B； 【解析】分式的值为0，则解得. 4.【答案】A； 【解析】根据具体选项，应先进行化简，再计算. A选项中， B选若可化为，C选项逆用平方差公式可求得，而D选项应将分子、分母都乘，得.故选A. 5.【答案】B； 【解析】设每个甲型包装箱可装x个鸡蛋， －＝10． 故选B． 6.【答案】A； 【解析】2-x≥0，∴x≤2，3不在x≤2的范围内. 二、填空题 精品文档 用心整理 7．【答案】×，√，×，×，√； 【解析】①=； ②是最简分式； ③==； ④=﹣1； ⑤是最简分式； 只有②⑤是最简分式．故答案为：×，√，×，×，√． 8．【答案】 ；【解析】找到最简公分母为（m+3）(m-3)，再通分.] 9．【答案】4.8； 【解析】平均速度=总路程÷总时间，设从学校到家的路程为s,则. 10．【答案】3； 【解析】是最简二次根式. 11．【答案】-1； 【解析】根据题意得x+3=3x+5，解得x=-1. 12．【答案】（1）； （2）3和4； 【解析】（1） （2） 三、解答题 13.【答案与解析】 解：（﹣）÷ =[﹣]× =[﹣]× =× =． 14.【答案与解析】 2 （1）∵ ∴=+1 原式======1 （2）∵ ∴. 15.【答案与解析】 设甲班平均每人捐款x元,则乙班平均每人捐款x元. 根据题意, 得,解这个方程得. 经检验,是原方程解. 答：甲班平均每人捐款5元. 16.【答案与解析】 由二次根式的定义及分式性质，得 精品文档 用心整理 沪教版初中数学中考总复习 知识点梳理 重点题型（常考知识点）巩固练习 中考总复习：数与式综合复习—知识讲解（基础） 【考纲要求】 (1) 借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的倒数、相反数与绝对值．理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算； （2）了解平方根、算术平方根、立方根的概念，了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应；会用根号表示数的平方根、立方根．了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算； （3）了解整式、分式的概念，会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘法运算．会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算． 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、实数的有关概念、性质 1．实数及其分类 实数可以按照下面的方法分类： 实数还可以按照下面的方法分类： 要点诠释： 整数和分数统称有理数．无限不循环小数叫做无理数． 有理数和无理数统称实数． 2．数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．实数和数轴上的点是一一对应的关系． 要点诠释： 实数和数轴上的点的这种一一对应的关系是数学中把数和形结合起来的重要基础． 3．相反数 实数a和-a叫做互为相反数．零的相反数是零． 一般地，数轴上表示互为相反数的两个点，分别在原点的两旁，并且离原点的距离相等． 要点诠释： 两个互为相反数的数的运算特征是它们的和等于零，即如果a和b互为相反数，那么a+b＝0；反过来，如果a+b＝0，那么a和b互为相反数． 4．绝对值 精品文档 用心整理 一个实数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离． 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零，即 如果a＞0，那么|a|＝a； 如果a＜0，那么|a|＝-a； 如果a＝0，那么|a|＝0． 要点诠释： 从绝对值的定义可以知道，一个实数的绝对值是一个非负数． 5．实数大小的比较 在数轴上表示两个数的点，右边的点所表示的数较大． 6．有理数的运算 (1)运算法则(略)． (2)运算律： 加法交换律 a+b＝b+a； 加法结合律 (a+b)+c＝a+(b+c)； 乘法交换律 ab＝ba； 乘法结合律 (ab)c＝a(bc)； 分 配 律 a(b+c)＝ab+ac． (3)运算顺序：在加、减、乘、除、乘方、开方这六种运算中，加、减是第一级运算，乘、除是第二级运算，乘方、开方是第三级运算．在没有括号的算式中，首先进行第三级运算，然后进行第二级运算，最后进行第一级运算，也就是先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、减． 算式里如果有括号，先进行括号内的运算． 如果只有同一级运算，从左到右依次运算． 7．平方根 2 如果x＝a，那么x就叫做a的平方根(也叫做二次方根)． 要点诠释： 正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根． 8．算术平方根 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．零的算术平方根是零． 要点诠释： 从算术平方根的概念可以知道，算术平方根是非负数． 9．近似数及有效数字 近似地表示某一个量准确值的数，叫做这个量准确值的近似数．一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．这时，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫这个数的有效数字． 10．科学记数法 把一个数记成±a×的形式(其中n是整数，a是大于或等于1而小于10的数)，称为用科学记数法表示这个数． 考点二、二次根式、分式的相关概念及性质 1．二次根式的概念 形如 (a≥0) 的式子叫做二次根式． 2．最简二次根式和同类二次根式的概念 最简二次根式是指满足下列条件的二次根式： (1)被开方数不含分母； 精品文档 用心整理 (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 要点诠释： 把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式. 常用的二次根式的有理化因式： （1）互为有理化因式； （2）互为有理化因式；一般地互为有理化因式； （3）互为有理化因式；一般地互为有理化因式. 3．二次根式的主要性质 （1）； （2）； （3）； （4）积的算术平方根的性质：； （5）商的算术平方根的性质：. 4． 二次根式的运算 (1)二次根式的加减 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并． (2)二次根式的乘除 二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变． 要点诠释： 二次根式的混合运算： 1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的； 2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用； 3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果. 5．代数式的有关概念 (1)代数式：用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式． 用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做代数式的值． 代数式的分类： (2)有理式：只含有加、减、乘、除、乘方运算(包含数字开方运算)的代数式，叫做有理式． (3)整式：没有除法运算或者虽有除法运算但除式里不含字母的有理式叫做整式． 整式包括单项式和多项式． (4)分式：除式中含有字母的有理式，叫做分式．分式的分母取值如果为零，分式没有意义． 6．整式的运算 (1)整式的加减：整式的加减运算，实际上就是合并同类项．在运算时，如果遇到括号，根据去括号法则，先去括号，再合并同类项． (2)整式的乘法： ①正整数幂的运算性质： ； ； ； (a≠0，m＞n)． 精品文档 用心整理 其中m、n都是正整数． ②整式的乘法：单项式乘单项式，用它们的系数的积作为积的系数，对于相同字母，用它们的指数的和作为积里这个字母的指数，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式． 单项式乘多项式，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 多项式乘多项式，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． ③乘法公式： ； ． ④零和负整数指数：在 (a≠0，m，n都是正整数)中，当m＝n时，规定； 当m＜n时，如m-n＝-p(p是正整数)，规定． 7．因式分解 （1）因式分解的概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解． 在因式分解时，应注意： ①在指定数(有理数、实数)的范围内进行因式分解，一定要分解到不能再分解为止，题目中没有指定数的范围，一般是指在有理数范围内分解． ②因式分解以后，如果有相同的因式，应写成幂的形式，并且要把各个因式化简． （2）因式分解的方法 ①提公因式法：ma+mb+mc＝m(a+b+c)． ②运用公式法：；； ③十字相乘法：． （3）因式分解的步骤 ①多项式的各项有公因式时，应先提取公因式； ②考虑所给多项式是否能用公式法分解． 要点诠释： 因式分解时应注意:①在指定数（有理数、实数）的范围内进行因式分解，一定要分解到不能再分解为止，若题目中没有指定数的范围，一般是指在有理数范围内因式分解；②因式分解后，如果有相同因式，应写成幂的形式，并且要把各个因式化简，同时每个因式的首项不含负号；③多项式的因式分解是多项式乘法的逆变形. 8．分式 （1）分式的概念 形如的式子叫做分式，其中A和B均为整式，B中含有字母，注意B的值不能为零． （2）分式的基本性质 分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变． ，．(其中M是不等于零的整式) （3）分式的运算 ①加减法：，． ②乘法：． ③除法：． ④乘方：（n为正整数）． 要点诠释： 解分式方程的注意事项： （1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆； 精品文档 用心整理 （2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解． 列分式方程解应用题的基本步骤： (1)审——仔细审题，找出等量关系； (2)设——合理设未知数； (3)列——根据等量关系列出方程； (4)解——解出方程； (5)验——检验增根； (6)答——答题． 【典型例题】 类型一、实数的有关概念及运算 1．实数，，，，中，无理数的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【思路点拨】常见的无理数有以下几种形式： （1）字母型：如π是无理数，等都是无理数，而不是分数； （2）构造型：如2.10…（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数； （3）根式型：…都是一些开方开不尽的数； （4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等. 【答案】A； 【解析】本题主要考查无理数的概念.无理数是指无限不循环小数，，都是无限不循环小数， 故共有2个无理数. 【总结升华】无理数通常有以下几类：①开方开不尽的数；②含的数；③看似循环但实际不循环的小数；④三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等.抓住这几类无理数特征，则可以轻松解决有关无理数的相关试题. 举一反三： 【高清课程名称：数与式综合复习 高清： 402392 ：例1—2】 【变式】如图，数轴上A、B两点表示的数分别为－1和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为( )． A． 【答案】A. 2．计算： (1)； (2) ． 【思路点拨】注意在第（1）题中，与的不同运算顺序和的运算顺序. 【答案与解析】 (1) B．－ C． D． 精品文档 用心整理 ． (2)． 【总结升华】在进行有理数运算时，要注意运算的顺序，要有灵活运用运算律、运算法则和相反数、倒数、0、1的运算特性的意识，寻求简捷的运算途径． 举一反三： 【变式】； 【答案】． 3． 若，计算. 【思路点拨】几个非负数相加和为0，则这几个非负数必定同时为0，进而求出x、y的值. 【答案与解析】 依题意得解得 ∴ 【总结升华】这三个非负数中任意几个相加得0，则每一个都得0. 举一反三： 【变式】已知，则 ． 【答案】本题考查绝对值与算数平方根的非负性，两个非负数的和为0，所以这两数都为0. 因为，所以a=-1,b=8.﹣9. 类型二、分式的有关运算 4．对于分式，当x取何值时， (1)分式有意义? (2)分式的值等于零? 【思路点拨】当分母等于零时，分式没有意义，此外，分式都有意义；当分子等于零，并且分母不等于零时，分式的值等于零. 【答案与解析】 (1)由分母x+1＝0，得x＝-1． ∴ 当x≠-1时，分式有意义． (2)由分子，得或． 而当x＝-1时，分母x+1＝0； 当x＝1时，分母． ∴ 当x＝l时，分式的值等于零． 【总结升华】讨论分式有无意义时，一定要对原分式进行讨论，而不能讨论化简后的分式． 类型三、二次根式的运算 5．（2014春•平泉县校级期中）已知a=，求﹣的值． 【思路点拨】 先利用因式分解原式进行化简，再进行约分和利用二次根式的性质计算，由于a==4﹣2， 则a﹣4＜0，所以原式可化简为a﹣3+，然后把a的值代入计算即可． 【答案与解析】 精品文档 用心整理 解：原式=﹣ =a﹣3﹣， ∵a==4﹣2， ∴a﹣4＜0， ∴原式=a﹣3+ =a﹣3+， =4﹣2﹣3+ =2﹣． 【总结升华】本题考查了二次根式的化简求值：一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．也考查了分式的混合运算． 举一反三： 【变式】计算：； 【答案】 ． 6．当x为何值时，下列式子有意义？ （1）； （2）． 【思路点拨】第（1）题中，根号外的负号与根号是否有意义无关；第（2）题中，因为与分式有关，因此要综合考虑x的取值范围． 【答案与解析】 （1），即． ∴ 当时，有意义． （2），且x+5≠0， ∴ 当，且x≠-5时，有意义． 【总结升华】要使偶次根式有意义，被开方数为非负数；分式有意义分母不为0. 举一反三： 【高清课程名称：数与式综合复习 高清：402392 ：例1—2】 【变式】下列说法中，正确的是( ) A．3的平方根是 B．5的算术平方根是 C．－7的平方根是 D．a的算术平方根是 【答案】B. 类型四、数与式的综合运用 7．（2014秋•崂山区校级期末）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地面： （1）观察图形，填写下表： … 图形 （1） （2） （3） … 黑色瓷砖的块数 4 7 … 黑白两种瓷砖的总块数 15 25 精品文档 用心整理 （2）依上推测，第n个图形中黑色瓷砖的块数为 ；黑白两种瓷砖的总块数为 （都用含n的代数式表示） （3）白色瓷砖的块数可能比黑色瓷砖的块数多2015块吗？若能，求出是第几个图形；若不能，请说明理由． 【思路点拨】找规律题至少要推算出三个式子的值，再去寻求规律，考察了认真观察、分析、归纳、由特殊到一般，由具体到抽象的能力. 【答案与解析】解：（1）填表如下： … 图形 （1） （2） （3） … 黑色瓷砖的块数 4 7 10 黑白两种瓷砖的总块数 15 25 35 … （2）第n个图形中黑色瓷砖的块数为3n+1；黑白两种瓷砖的总块数为10n+5； （3）能，理由如下： 10n+5﹣（3n+1）﹣（3n+1）=2015， 解得：n=503 答：第503个图形． 【总结升华】本题考查数形结合、整理信息，将图形转化为数据，猜想规律、探求结论．抓住其中的黑色瓷砖数目的变化规律，结合图形，观察其变化规律． 举一反三： 【变式】如图所示的是一块长、宽、高分别为7cm，5cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面爬到和顶点A相对的顶点B处吃食物，那么它要爬行的最短路径的长是多少？ 【答案】路径①的长为 (cm). 路径②的长为 (cm). 路径③的长为 (cm). 所以它要爬行的最短路径长为cm. 沪教版初中数学中考总复习 知识点梳理 重点题型（常考知识点）巩固练习 精品文档 用心整理 中考总复习：数与式综合复习—巩固练习（基础） 【巩固练习】 一、选择题 1．下列运算中，计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2．＝（ ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 3．已知，化简的结果是（ ） A．6 B．2m－8 C．2m D．－2m 4．当x＜1时,化简的结果为 ( ) A. x－1 B. －x－1 C. 1－x D. x＋1 5．计算的正确结果是 （ ） A． B． C． D． 6.（2015春•重庆校级期中）用同样大小的黑色的小三角形按如图所示的规律摆放，则第100个图形有（ ）个黑色的小三角形． A．300 B．303 C．306 D．309 二、填空题 7．若单项式与是同类项，则x= ． 8．（2015春•萧山区校级期中）化简的结果是 ．已知x+|x﹣1|=1，则化简的结果是 ． 9．已知两个分式：A＝，B＝，其中x≠±2．下面有三个结论： ①A＝B； ②A、B互为倒数； ③A、B互为相反数． 正确的是 .（填序号） 10．已知a为实数，则代数式的值为 ． 11．在实数范围内因式分解= _____ _____． 12．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为(a＋2b)、宽为(a＋b)的大长方形，则需要C类卡片 张． 三、解答题 13．（2015春•扬中市校级月考）计算 （1）； （2）． 14．观察下列各式及其验证过程: 验证: =. 验证： = = =； 验证: =．验证： == =． (1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想4的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律,写出用n(n为任意自然数,且n≥2)表示的等式,并给出证明． 精品文档 用心整理 15．（2014秋•泾川县校级月考）分解因式： 22（1）﹣4xyz﹣12xyz+4xyz； 2（2）ax﹣4ax+4a； 2（3）x﹣5x+6； 2（4）（b﹣a）﹣2a+2b； 22222（5）（a+b）﹣4ab． 16. A、B两地路程为150千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，2小时后相遇，相遇后，各以原来的速度继续行驶，甲车到达B后，立即沿原路返回，返回时的速度是原来速度的2倍，结果甲、乙两车同时到达A地，求甲车原来的速度和乙车的速度． 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B； 【解析】同底数幂的乘法法则是底数，不变指数相加，而除法可能转化为乘法进行，幂的乘方是底数不变，指数相乘．A项结果应等于，C项结果应等于，而D项无法运算． 2.【答案】C； 【解析】原式=． 3.【答案】选D； 【解析】原式按多项式乘法运算后为，再将代入，可得－2m． 4.【答案】C； 【解析】开方的结果必须为非负数． 5.【答案】B； 【解析】将括号内的式子分别通分． 6.【答案】B； 【解析】（1）第一个图需三角形6个，第二个图需三角形9，第三个图需三角形12， 第四个图需三角形15，第五个图需三角形18， … 第n个图需三角形3（n+1）枚． ∴第100个图形有3（100+1）=303个黑色的小三角形．故选：B． 二、填空题 7．【答案】1； 【解析】 ∵ 与是同类项， ∴ ， 解得x＝1． 8．【答案】6；﹣2x+3. 【解析】=6； ∵x+|x﹣1|=1， ∴|x﹣1|=﹣（x﹣1）， ∴x﹣1≤0， 精品文档 用心整理 ∴x≤1， ∴原式=|x﹣1|+|2﹣x| =﹣（x﹣1）+2﹣x =﹣x+1+2﹣x =﹣2x+3．故答案为：6；﹣2x+3． 9．【答案】③； 【解析】因为：Ｂ= = = =-Ａ 故选③. 10．【答案】 【解析】∵，∴≤0，而≥0，∴a＝0， ∴原式＝ 11．【答案】； 【解析】观察多项式，发现其有平方差公式特点，所以可以使用平方差公式进行因式分解. 需要注意要将因式分解在实数范围内进行到底，且不可半途而废. 12．【答案】３张； 【解析】本题考查的相关知识有整式的乘法，乘法公式，数形结合思想.解答思路：可由面积相等入22手，图形拼合前后面积不变，所以(a＋2b) (a＋b)=a+3ab+2b. 三、解答题 13.【答案与解析】 解：（1）原式= ÷ = • =； （2）原式=•（﹣）•3• = =． 14.【答案与解析】 (1)4=． 验证:4==== (2)由题设及(1)的验证结果,•可猜想对任意自然数n(n≥2)都有: n=． 证明：∵n = ==， ∴n=． 15.【答案与解析】 22解：（1）﹣4xyz﹣12xyz+4xyz =﹣4xyz（x+3y﹣1）； 2（2）ax﹣4ax+4a 2=a（x﹣4x+4） 2=a（x﹣2）； 2（3）x﹣5x+6 精品文档 用心整理 =（x﹣2）（x﹣3）； 2（4）（b﹣a）﹣2a+2b 2=（b﹣a）﹣2（a﹣b） =（a﹣b）（a﹣b﹣2）； 22222（5）（a+b）﹣4ab 2222=（a+b﹣2ab）（a+b+2ab） 22=（a﹣b）（a+b）． 16.【答案与解析】 设甲车原来的速度为千米/时，乙车的速度为千米/时，据题意得： 解得 经检验为方程组的解，并且符合题意． 答：甲车原来的速度为45千米/时，乙车的速度为30千米/时. 沪教版初中数学中考总复习 知识点梳理 重点题型（常考知识点）巩固练习 中考总复习：一次方程及方程组--知识讲解 【考纲要求】 1.了解等式、方程、一元一次方程的概念，会解一元一次方程； 2.了解二元一次方程组的定义，会用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组； 3.能根据具体问题中的数量关系列出方程（组），体会方程思想和转化思想. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、一元一次方程 1.等式性质 （1）等式的两边都加上(或减去)同一个数（或式子），结果仍是等式. （2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为零），结果仍是等式. 2.方程的概念 （1）含有未知数的等式叫做方程. （2）使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解(一元方程的解也叫做根). （3）求方程的解的过程，叫做解方程. 精品文档 用心整理 3.一元一次方程 （1）只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程. （2）一元一次方程的一般形式:. （3）解一元一次方程的一般步骤： ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化成1；⑥检验(检验步骤可以不写出来). 要点诠释： 解一元一次方程的一般步骤 ．．步名 称 骤 方 法 在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数） 去括号法则（可先分配再去括号） 依 据 注 意 事 项 1 去分母 等式性质2 1、不含分母的项也要乘以最小公倍数；2、分子是多项式的一定要先用括号括起来. 注意正确的去掉括号前带负数的括号 移项一定要改变符号 2 去括号 乘法分配律 3 把未知项移到方程的一边移项 （左边），常数项移到另一边（右边） 合并 分别将未知项的系数相加、同类常数项相加 项 系数在方程两边同时除以未知数化为的系数（或方程两边同时乘以“1” 未知数系数的倒数） 等式性质1 1、整式的加减； 2、有理数的加法法则 等式性质2 4 单独的一个未知数的系数为“±1” 5 不要颠倒了被除数和除数（未知数的系数作除数——分母） *6 方法：把x=a分别代入原方程的两边，分别计算出结果. 检根 ① 若 左边＝右边，则x=a是方程的解； x=a ② 若 左边≠右边，则x=a不是方程的解. 注：当题目要求时，此步骤必须表达出来. 说明： （1）上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说，解每一个方程都必须经过六个步骤； （2）解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法； （3）对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照一般方法解. 考点二、二元一次方程组 1. 二元一次方程组的定义 两个含有两个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组. 要点诠释： 判断一个方程组是不是二元一次方程组应从方程组的整体上看，若一个方程组内含有两个未知数，并且未知数的次数都是1次，这样的方程组都叫做二元一次方程组． 2.二元一次方程组的一般形式 精品文档 用心整理 要点诠释： a1、a2不同时为0，b1、b2不同时为0，a1、b1不同时为0，a2、b2不同时为0. 3. 二元一次方程组的解法 (1) 代入消元法； (2) 加减消元法. 要点诠释： （1）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透． （2）一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系： 当二元一次方程中的一个未知数的取值确定范围时，可利用一元一次不等式组确定另一个未知数的取值范围，由于任何二元一次方程都可以转化为一次函数的形式，所以解二元一次方程可以转化为：当y＝0时，求x的值.从图象上看，这相当于已知纵坐标，确定横坐标的值. 考点三、一次方程（组）的应用 列方程(组)解应用题的一般步骤： 1.审:分析题意，找出已知、未知之间的数量关系和相等关系； 2.设:选择恰当的未知数(直接或间接设元)，注意单位的统一和语言完整； 3.列:根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程(组)； 4.解:解所列的方程(组)； 5.验: (有三次检验 ①是否是所列方程(组)的解；②是否使代数式有意义；③是否满足实际意义)； 6.答:注意单位和语言完整. 要点诠释： 列方程应注意：（1）方程两边表示同类量；（2）方程两边单位一定要统一；（3）方程两边的数值相等. 【典型例题】 类型一、一元一次方程及其应用 1．如果方程是关于x的一元一次方程，则n的值为( ). A.2 B.4 C.3 D.1 【思路点拨】未知数x的指数是1即可. 【答案】B； 【解析】由题意可知2n-7=1，∴n=4. 【总结升华】根据一元一次方程的定义求解. 举一反三： 【变式1】已知关于x的方程4x-3m=2的解是x=5，则m的值为 . 【答案】由题意可知4×5-3m＝2，∴m=6. 【高清课程名称：一次方程及方程组 高清：404191 ：例4】 【变式2】若a，b为定值，关于x的一元一次方程无论k为何值时，它的解总是1，求a，b的值． 【答案】a=0,b=11. 精品文档 用心整理 2．（2015•顺德区校级三模）一收割机收割一块麦田，上午收割了麦田的25%，下午收割了剩下麦田的20%，结果还剩下6公顷麦田未收割．这块麦田一共有多少公顷？ 【思路点拨】设这块麦田一共有x公顷，根据上午收割了麦田的25%，则剩余x（1﹣25%）公顷，再利用下午收割了剩下麦田的20%，则剩余x（1﹣25%）（1﹣20%）公顷，进而求出即可． 【答案与解析】解：设这块麦田一共有x公顷， 根据题意得出：x（1﹣25%）（1﹣20%）=6， 解得：x=10， 答：这块麦田一共有10公顷． 【总结升华】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确表示出两次剩余小麦的亩数是解题关键． 举一反三： 【变式】“五一”期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元．设该电器的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】成本价提高30%后标价为，打8折后的售价为． 根据题意，列方程得，故选A． 类型二、二元一次方程组及其应用 3．（2015春•宁波期中）解下列方程组． （1） （2）． 【思路点拨】代入消元法或加减消元法均可. 【答案与解析】 解：（1）， 将②代入①得：2（﹣2y+3）+3y=7， 去括号得：﹣4y+6+3y=7， 解得：y=﹣1， 将y=﹣1代入②得：x=2+3=5， 则方程组的解； （2）， ①×4+②×3得：17m=34， 解得：m=2， 将m=2代入①得：4+3n=13， 解得：n=3， 则方程组的解为． 【总结升华】解方程组要善于观察方程组的特点，灵活选用适当的方法，提高解题速度. 举一反三： 【变式1解方程组 精品文档 用心整理 【答案】方程②化为，再用加减法解，答案： 【高清课程名称：一次方程及方程组 高清： 404191 ：例3 】 【变式2】解方程组 【答案】a=9,b=12,c=15. 4．小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：），解答下列问题： （1）写出用含x、y的代数式表示的地面总面积； （2）已知客厅面积比卫生间面积多21，且地面总面积是卫生间面积的15倍，铺1地砖的平均费用为80元，求铺地砖的总费用为多少元？ 【思路点拨】根据题意找出等量关系式，列出方程或方程组解题. 【答案与解析】 （1）地面总面积为：（6x＋2y＋18）； （2）由题意，得 解之，得 2 ∴地面总面积为：6x＋2y＋18＝6×4＋2×＋18＝45（）． 222∵铺1地砖的平均费用为80元， ∴铺地砖的总费用为：45×80＝3600（元）． 【总结升华】注意不要丢掉题中的单位. 举一反三： 【变式】利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是（ ） A．73cm B．74cm C．75cm D．76cm 2【答案】设桌子高度为acm，木块竖放为bcm，木块横放为ccm.则.故选C. 类型三、一次方程（组）的综合运用 5．某县为鼓励失地农民自主创业，在2012年对60位自主创业的失地农民进行奖励，共计划奖励10万元.奖励标准是：失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000元奖励；自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的，再给予2000元奖励.问：该县失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民分别有多少人？ 【思路点拨】根据失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000元奖励：自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的，再给予2000元奖励列方程求解． 【答案与解析】 精品文档 用心整理 方法一： 设失地农民中自主创业连续经营一年以上的有x人， 则根据题意列出方程 1000x+(60–x)(1000+2000)=100000， 解得：x=40， ∴60-x =60-40=20 答：失地农民中自主创业连续经营一年以上的有40人，自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有20人. 方法二： 设失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有分别有x，y人， 根据题意列出方程组： 解得： 答：失地农民中自主创业连续经营一年以上的有40，自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有20人. 【总结升华】本题考查理解题意的能力，关键是找到人数和钱数作为等量关系. 举一反三： 【变式】某公园的门票价格如下表所示： 购票人数 票价 1～50人 10元／人 51～100人 8元／人 100人以上 5元／人 某校七年级甲、乙两班共多人去该公园举行联欢活动，其中甲班多人，乙班不足人．如果以班为单位分别买票，两个班一共应付元；如果两个班联合起来作为一团体购票，一共只要付元．问：甲、乙两班分别有多少人？ 【答案】设甲班有x人，乙班有y人，由题意得： 解得：． 答：甲班有55人，乙班有48人. 6．在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下： 甲同学说：“二环路车流量为每小时10000辆”； 乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆”； 丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍”； 请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？ 【思路点拨】根据甲、乙、丙三位同学提供的信息找出等量关系列出方程组求解. 【答案与解析】 设高峰时段三环路的车流量为每小时辆，四环路的车流量为每小时辆，根据题意得： 解得 答：高峰时段三环路的车流量为每小时11000辆，四环路的车流量为每小时13000辆. 精品文档 用心整理 【总结升华】通过甲、乙、丙三位同学调查结果找到车流量的等量关系式是解题的关键. 沪教版初中数学中考总复习 知识点梳理 重点题型（常考知识点）巩固练习 中考总复习：一次方程及方程组--巩固练习 【巩固练习】 一、选择题 1. 小明在解关于x、y的二元一次方程组时得到了正确结果后来发现“”“ ”处被墨水污损了，请你帮他找出、 处的值分别是( ) A． = 1， = 1 B． = 2， = 1 C． = 1， = 2 D． = 2， = 2 2．方程组的解是（ ）. A. B. C. D. 3．已知方程组的解为，则2a-3b的值为（ ）. A.4 B.-4 C.6 D.-6 4．（2014春•昆山市期末）方程x+2y=5的正整数解有（ ） A．一组 B．二组 C．三组 D．四组 5．小明买书需用48元，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，设所用的1元纸币为x张，根题意，下列所列方程正确的是( ) A．x＋5(12－x)＝48 B．x＋5(x－12)＝48 C．x＋12(x－5)＝48 D．5x＋(12－x)＝48 6．九（3）班的50名同学进行物理、化学两种实验测试，经最后统计知：物理实验做对的有40人，化学实验做对的有31人，两种实验都做错的有4人，则这两种实验都做对的有（ ） A.17人 B.21人 C.25人 D.37人 二、填空题 7．已知x、y满足方程组则x－y的值为________． 8．已知│x－1│+（2y+1）=0，且2x－ky=4，则k=_____． 9．（2014春•故城县期末）如图所示，在桌面上放着A、B两个正方形，共遮住了27cm的面积，若这两2个正方形重叠部分的面积为3cm，且正方形B除重叠部分外的面积是正方形A除重叠部分外的面积的2倍，则正方形A的面积是 ． 10．已知关于x、y的二元一次方程(a－1)x＋(a＋2)y＋5－2a＝0，当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，这个公共解是________． 11．已知关于x的方程a(2x－1)＝3x－2无解，则a的值为 ． 12．已知下面两个方程3(x＋2)＝5x …①；4x－3(a－x)＝6x－7(a－x) …②；有相同的解，则a的值22 精品文档 用心整理 为 ． 三、解答题 13．某校的一间阶梯教室，第1排的座位数为a，从第2排开始，每一排都比前一排增加b个座位。 ⑴请你在下表的空格里填写一个适当的代数式： 第1排的座位数 第2排的座位数 第3排的座位数 第4排的座位数 …… a a＋b a＋2b …… ⑵已知第4排有18个座位，第15排座位数是第5排座位数的2倍，求第21排有多少个座位？ 14. （2014春•文登市校级期中）（1）； （2）． 15．某体育彩票经销商计划用45000•元从省体彩中心购进彩票20扎，每扎1000张，已知体彩中心有A，B，C三种不同价格的彩费，进价分别是A•种彩票每张1.5元，B种彩票每张2元，C种彩票每张2.5元． （1）若经销商同时购进两种不同型号的彩票20扎，用去45000元，请你设计进票方案； （2）若销售A型彩票一张获手续费0.2元，B型彩票一张获手续费0.3元，C型彩票一张获手续费0.5元．在购进两种彩票的方案中，为使销售完时获得手续费最多，你选择哪种进票方案？ （3）若经销商准备用45000元同时购进A，B，C三种彩票20扎，请你设计进票方案． 16. 某玩具厂工人的工作时间规定：每月25天，每天8h，待遇：按件订酬，多劳多得，每月另加福利工资100元，按月结算。该厂生产A、B两种产品，工人每生产一件A产品，可得到报酬0.75元，每生产一件B种产品，可得报酬1.40元，下表记录了工人小李的工作情况： 生产A种产品件数（件） 生产B种产品件数（件） 1 3 1 2 总时间（min） 35 85 根据上表提供的信息，请回答下列问题： （1）小李每生产一件A种产品、每生产一件B种产品，分别需要多少分钟？ （2）如果生产各种产品的数目没有限制，那么小李每月的工资数目在什么范围之内？ 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B； 【解析】把 代入 得 解得 2.【答案】B； 【解析】①＋②，得3x=3，∴x=1.把x=1代入①，得1+3y＝4， ∴y=1. 3.【答案】C； 【解析】由题意可知，解得，∴2a-3b=6. 4.【答案】B； 【解析】由已知，得x=5﹣2y， 要使x，y都是正整数， 则y=1，2时， 相应x=3，1． 所以有2组，分别，．故选B． 精品文档 用心整理 5.【答案】A； 【解析】1元纸币x张，则5元纸币(12－x)张，共值48元，则1·x＋5(12－x)＝48. 6.【答案】C； 【解析】设这两种实验都做对的有x人，（40﹣x）+（31﹣x）+x+4=50，x=25． 故都做对的有25人．故选C． 二、填空题 7．【答案】1； 【解析】 ①－②，得x－y＝1. 8．【答案】k=4； 【解析】由已知得x－1=0，2y+1=0， ∴x=1，y=－，把代入方程2x－ky=4中，2+k=4，∴k=4． 9．【答案】11cm2； 【解析】设正方形A的面积为xcm2，正方形B的面积为ycm2，由题意，得 ， 解得：． 故答案为：11cm． 10．【答案】 【解析】 解法一：取a＝1，得3y＋3＝0，y＝－1， 取a＝－2，得－3x＋9＝0，x＝3， ∴ 解法二：整理，得(x＋y－2)a＝x－2y－5， ∵方程有一个公共解， ∴解得 11．【答案】a＝； 【解析】将原方程变形为2ax－a＝3x－2， 即 (2a－3)x＝a－2.由已知该方程无解，所以 解得a＝，所以a＝即为所求． 12．【答案】； 【解析】由方程①可得3x－5x＝－6，所以x＝3.由已知，x＝3也是方程②的解，根据方程解的定义，把x＝3代入方程②，有4×3－3(a－3)＝6×3－7(a－3)，7(a－3)－3(a－3)＝18－12, 4(a－3)＝6,4a－12＝6,4a＝18，a＝＝. 三、解答题 13.【答案与解析】 （1） （2）依题意得 解得 ∴12＋20×2＝52 答：第21排有52个座位. 14.【答案与解析】 解：（1）， ①×24，②×12得： ， 2 精品文档 用心整理 ④﹣③得： m=162， 代入①得：n=204， ∴方程组的解为：； （2） 由②得：y=2x﹣9， ∴=2（2x﹣9）， 解得：x=5， 代入y=2x﹣9得：y=1， ∴方程组的解为：． 15.【答案与解析】 设经销商从体彩中心购进A种彩票x张，•B种彩票y张，C种彩票z张， 则可分以下三种情况考虑： （1）只购进A种彩票和B种彩票，依题意可列方程组 解得x<0，所以无解．只购进A种彩票和C种彩票， 依题意可列方程组， 只购进B种彩票和C种彩票，依题可列方程组， 综上所述，若经销商同时购进不同型号的彩票，共有两种方案可行， 即A种彩票5扎，C种彩票15扎或B种彩票与C种彩票各10扎． （2）若购进A种彩票5扎，C种彩票15扎，销售完后获手续费为0.2×5000＋0.5×15000＝8500（元）；若购进B种彩票与C种彩票各10扎，销售完后获手续费为0.3×10000＋0.5×10000＝8000（元）， ∴为使销售完时获得手续费最多，选择的进票方案为A种彩票5扎，C种彩票15扎． （3）若经销商准备用45000元同时购进A，B，C三种彩票共20扎． 设购进A种彩票x扎，B种彩票y扎，C种彩票z扎， 则 ∴1≤x<5， 又∵x为正整数，共有4种进票方案，即A种1扎，B种8扎，C种11扎，或A种2扎，B种6扎，C种12扎，或A种3扎，B种4扎，C种13扎，或A种4扎，B种2扎，C种14扎． 16.【答案与解析】 （1）设小李每生产一件A种产品、每生产一件B种产品分别需要x分钟和y分钟， 据题意，得解之，得 （2）方法一：设小李每月生产A种产品x件，B种产品y件（x、y均为非负整数）， 月工资数目为w元，根据题意， 得 即 w最大＝－0.3·0＋940，当x＝800时，w最小＝－0.3·800＋940＝700， 因为生产各种产品的数目没有限制，所以700≤w≤940，即小李每月的工资数目不低于700元而 精品文档 用心整理 不高于940元. 方法二：由（1）知小李生产A种产品每分钟可获利0.05元，生产B种产品每分钟可获利0.07元，若小李全部生产A种产品，每月的工资数目为700元，若小李全部生产B种产品，每月的工资数目为940元，小李每月的工资数目不低于700元而不高于940元. 沪教版初中数学中考总复习 知识点梳理 重点题型（常考知识点）巩固练习 中考总复习：一元一次不等式（组）—知识讲解 【考纲要求】 1.会解一元一次不等式（组），理解一元一次不等式（组）的解集的含义，进一步体会数形结合的思想； 2.会用不等式（组）进行解题，能利用不等式（组）解决生产、生活中的实际问题. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、不等式的相关概念 1．不等式 用不等号连接起来的式子叫做不等式． 常见的不等号有五种： “≠”、 “＞” 、 “＜” 、 “≥”、 “≤”． 2．不等式的解与解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集． 精品文档 用心整理 不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点：解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左. 3．解不等式 求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做解不等式. 要点诠释： 不等式的解与一元一次方程的解是有区别的：不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值． 考点二、不等式的性质 性质1： 不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即如a＞b，那么a±c＞b±c． 性质2： 不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或＞）． 性质3： 不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或＜）． 要点诠释： （1）不等式的其他性质：①若a＞b，则b＜a；②若a＞b，b＞c，则a＞c；③若a≥b，且b≥a，•则a=b；④若a≤0，则a=0；⑤若ab＞0或，则a、b同号；⑥若ab＜0或，则a、b异号. （2）任意两个实数a、b的大小关系：①a-b＞Oa＞b；②a-b=Oa=b；③a-b＜Oa＜b． 不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a＜b可转换为b＞a，c≥d可转换为d≤c. 考点三、一元一次不等式（组） 1．一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式．其标准形式：ax+b＞0(a≠0)或ax+b≥0(a≠0) ，ax+b＜0(a≠0)或ax+b≤0(a≠0)． 2．一元一次不等式的解法 一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，•但要特别注意不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号要改变方向． 解一元一次不等式的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)化系数为1． 要点诠释： 解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方． 3．一元一次不等式组及其解集 2
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