2011年高考试题数学理(陕西理)(含答案解析)

2024年2月14日发(作者：武昌中考一模数学试卷及答案)

2011年高考试题数学理（陕西理）（含答案解析）

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1 ．设 A．若 B．若 C．若∣∣是向量，命题“若，则∣∣，则∣∣∣∣，则∣∣

∣∣

D．若∣∣=∣∣，则= -

，则∣∣= ∣∣”的逆命题是

【答案解析】 D

本题考查了逆命题的判断，难度低。

逆命题就是把命题的条件和结论互换，故选D

2 设抛物线的顶点在原点，准线方程为 A． B． C．，则抛物线的方程是

D．

【答案解析】 B

本题考查了抛物线方程的求法以及有关参数的几何性质，难度小。

因为的准线方程为，故选B

满足，因此，

故抛物线的方程为3 设函数,则的图像可能是

【答案解析】 B

本题考查了函数的奇偶性、周期性的性质以及对图象的识别能力。

由已知知函数为奇函数，奇函数图象关于原点对称，又知函数为周期函数，周期为2，因此答案为B

4

（x∈R）展开式中的常数项是

1

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A．-20

B．－15 C．15

D．20

【答案解析】 C

本题考查了二项式展开式的通项公式，难度一般。

解析：因为令得，因此常数项为，故选C

，

5 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是

A． B．

C． D．

【答案解析】 A

本题考查了对三视图的识图能力以及组合体的体积计算问题，难度一般。

由三视图可知此几何体为底面边长为2，高为2的正四棱柱挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥，已知正四棱柱的体积为，圆锥的体积为，故所求几何体的体积为6 ．函数f（x）= A．没有零点

，故选A

—cosx在[0，+∞）内

B．有且仅有一个零点

C．有且仅有两个零点

2

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D．有无穷多个零点

【答案解析】 B

本题考查了函数的零点以及利用数形结合处理问题的能力，难度中等。

由得，画出和的图象，则两个函数的图象有一个交点，因此函数有且仅有一个零点，故选B。

7 设集合M={y|y=x—x|,x∈R},N={x||x—|,i为虚数单位，x∈R},则M∩N为

A．（0,1） B．（0,1] C．[0,1） D．[0,1]

【答案解析】 C

本题考查了三角函数的运算及其性质、复数模的运算以及集合的有关运算，难度中等。

由即，解得，，，所以，因此交集为，由，故选C

8 右图中，为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P

为该题的最终得分。当 A．11

B．10

C．8

D．7

【答案解析】 C

p=8．5时，等于

本题考查了对程序框图的识图能力，难度中等。

由程序框图可知

，所以3

，所以，故选C

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9 设（，），（，），…，（，）是变量和的个样本点，

直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以

下结论中正确的是

A．和 B．和的相关系数为直线的斜率

的相关系数在0到1之间

C．当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同

D．直线过点 【答案解析】 D

本题考查了回归直线方程最小二乘法、相关系数、样本中心等知识点，难度中等。

因为回归直线方程恒过样本点中心，故选D

10 甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是

A． B． C． D．

【答案解析】 D

本题考查了古典概型的概率计算问题，难度中等。

甲选择最后一个景点共有6种情况，乙选择最后一个景点也有6种情况，因此共有36种情况，而能选择同一个景点共有6种情况，因此所求的概率为，故选D。

11 设若 【答案解析】 1

，则=

本题考查了分段函数的求值以及定积分的有关计算问题，难度一般。

，而，

4

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所以12 设,一元二次方程

有正数根的充要条件是=

【答案解析】 3或4

本题考查了韦达定理以及充要条件的判定问题，难度一般。

因为，由韦达定理可知，4分解为1+3或者2+2，因此的取值为3或者4.

13 观察下列等式

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

……

照此规律，第个等式为

。

【答案解析】

题考查了归纳推理以及学生的观察、归纳总结的能力，难度较大。

由前几项可以看出等号右侧分别为，因此第行为，等号左侧最后一个，因此整个第行为数字分别为1，4，7，10，满足等差数列形式，因此第行为

14 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为

（米）。

【答案解析】 2000

本题考查了等差数列求和以及学生解决实际问题的能力，难度较大。

把20个树坑编号为1至20，当树苗放在第10或者第11个树坑处时，领取所走路程最短，此时所走路程为（10+9+8+7+6+5+4+3+2+1+1+2+3+4+5+6+7+8+9）2

=15 A．（不等式选做题）若关于的不等式值范围是

5

存在实数解，则实数的取

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。

【答案解析】

本题考查了绝对值不等式的求解以及转化能力，难度中等。

根据绝对值的几何意义可知或者

，且 。

，要使不等式存在实数解，只需16 B．（几何证明选做题）如图，，则 【答案解析】

本题考查了三角形的相似性以及推理能力，难度一般。

因为为直角三角形，所以，又因为∽

所以

中，以原点为极点，轴的正半轴为极17 C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线则。

【答案解析】 3

的最小值为

（为参数）和曲线上，本题考查了极坐标和参数方程问题以及有关的计算问题，难度中等。

曲线表示圆心（3，4）、半径=1的圆；曲线

表示圆心（0，0），半径=1的圆，|AB|的最小值为18 （本小题满分12分）

如图，在使中，。

6

是上的高，沿把折起，

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（Ⅰ）证明：平面ＡＤＢ⊥平面ＢＤＣ；

（Ⅱ）设Ｅ为ＢＣ的中点，求与夹角的余弦值。

【答案解析】

解（Ⅰ）∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高，

∴当ΔＡＢＤ折起后，AD⊥ＤＣ，AD⊥ＤＢ，

又DBＤＣ＝Ｄ，

∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ，

∵AD 平面平面ABD平面BDC．

平面BDC。

（Ⅱ）由∠ＢＤＣ＝直，不防设=1，以D为坐标原点，以及（Ⅰ）知DA，ＤＢ，DC两两垂所在直线轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D（0,0,0），B（1,0,0），C（0,3,0），A（0,0，0），

），E（，，==（1，0,0,），

与

，

夹角的余弦值为

7

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＜，＞=．

上的动点，点D是P在x轴上的摄影，M为PD上一点，19 如图，设P是圆且

（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；

（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的长度

【答案解析】 解：（Ⅰ）设M的坐标为（x,y）P的坐标为（xp,yp）

由已知得

∵P在圆上，∴，即C的方程为

（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为设直线与C的交点为的直线方程为

，

将直线方程代入C的方程，得

即

8

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∴∴线段AB的长度为

注：求AB长度时，利用韦达定理或弦长公式求得正确结果，同样得分。

20 叙述并证明余弦定理。

【答案解析】 解 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍。或：在ABC中，a,b,c为A,B,C的对边，有

证法一

如图

即 同理可证

证法二 已知所在直线为x轴，建立直角坐标系，则

ABC中A,B,C所对边分别为a,b,c,以A为原点，AB,

同理可证

9

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21 （本小题满分12分）如图，从点P1（0,0）作x轴的垂线交于曲线y=ex于点Q1（0,1），曲线在Q1点处的切线与x轴交与点P2。再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，QI；P2，Q2…Pn，Qn，记标为（，0）（k=1,2，…，n）。

与的关系（2≤k≤n）；

点的坐（Ⅰ）试求（Ⅱ）求 【答案解析】 解（Ⅰ）设得点处切线方程为

由（Ⅱ）所以，得于是，

得，

。

，由22

（本小题满分13分）

如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：

时间（分钟）

10~20

20~30

30~40

40~50

50~60

L1的频率

0．1

10

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0．2

0．3

0．2

0．2

L2的频率

0

0．1

0．4

0．4

0．1

现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站。

（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？

（Ⅱ）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求X的分布列和数学期望。

【答案解析】 解（Ⅰ）Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”，Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i=1,2．用频率估计相应的概率可得

P（A1）=0．1+0．2+0．3=0．6，P（A2）=0．1+0．4=0．5，

P（A1）

＞P（A2）,

甲应选择Li

P（B1）=0．1+0．2+0．3+0．2=0．8，P（B2）=0．1+0．4+0．4=0．9，

P（B2）

＞P（B1）,

乙应选择L2．

（Ⅱ）A,B分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（Ⅰ）知,又由题意知，A,B独立，

11

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X

0

1

2

P

0．04

0．42

0．54

的分布列为

23 （本小题满分14分）

设函数（Ⅰ）求定义在上，，导函数

的单调区间和最小值；

（Ⅱ）讨论与的大小关系；

（Ⅲ）是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

【答案解析】 解 （Ⅰ）由题设易知，，

，令当当因此，时，时，是得，

的单调减区间，

的单调增区间，

．

，故（0,1）是，故是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为（Ⅱ），

12

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设，则，

当当因此，时，，即时，，

，

在内单调递减，

当时，，即，

当时，，即不存在．

．

（Ⅲ）满足条件的证明如下：

证法一 假设存在，使对任意成立，

即对任意但对上述，有

，取时，有

，（*）

，这与（*）左边不等式矛盾，

因此，不存在，使对任意成立。

证法二 假设存在由（Ⅰ）知，，使

的最小值为。

对任意的成立。

又∴ 时，，而的值域为，使

时，，

的值域为，

从而可取一个，

即

，故

13

，与假设矛盾。

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∴ 不存在

，使对任意成立。

14