2024年4月15日发(作者：海安市高三数学试卷分析)

勾股定理评估试卷（1）

一、选择题（每小题3分，共30分）

1. 直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( ).

（A）30 （B）28 （C）56 （D）不能确定

2. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm，另一直角边长为6 cm，则它的斜边长

（A）4 cm （B）8 cm （C）10 cm （D）12 cm

3. 已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）

（A）25 （B）14 （C）7 （D）7或25

4. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( )

（A）13 （B）8 （C）25 （D）64

5. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中

正确的是（ ）

7

25

20

24

25

24

20

24

25

20

7

24

20

25

(D)

15

7

15

(A)

7

(B)

15

15

(C)

6. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )

（A） 钝角三角形 （B） 锐角三角形 （C） 直角三角形 （D） 等腰三角形.

7. 如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是 ( )

（A） 25 （B） 12.5 （C） 9 （D） 8.5

8. 三角形的三边长为

(ab)c2ab

,则这个三角形是( )

A

（A） 等边三角形 （B） 钝角三角形

（C） 直角三角形 （D） 锐角三角形.

B

22

D

C

9.△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，

如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮

a

元计算，那么共需要资金（ ）.

（A）50

a

元 （B）600

a

元 （C）1200

a

元 （D）1500

a

元

10.如图，AB⊥CD于B，△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC

的长为（ ）.

（A）12 （B）7 （C）5 （D）13

A

E

D

B

C

5米

3米

（第10题） （第11题） （第14题）

二、填空题（每小题3分，24分）

11. 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需

要____________米.

12. 在直角三角形

ABC

中，斜边

AB

=2，则

ABACBC

=______.

13. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 .

222

14.

如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4.以斜边AB为直径作半圆，则这个半圆的面

积是____________.

A

E

B

D

C

（第15题） （第16题） （第17题）

15. 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一

棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米.

16. 如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D

若BC=8，AD=5，则AC等于______________.

17. 如图，四边形

ABCD

是正方形，

AE

垂直于

BE

，且

B

C

D

第

18

7cm

AE

=3，

BE

=4，阴影部分的面积是______.

18. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角

三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，

C，D的面积之和为___________cm

2

.

A

题

图

三、解答题（每小题8分，共40分）

19. 11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：

“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望.一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单

位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一

只鸟.忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时

到达目标.问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？

20.

如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4.求这个三角形各边的长.

21. 如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，

且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千

米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用

是多少？

B

A

C D

L

第21题图

22. 如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。

C

D

B

23. 如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距

离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？

A

A

A

1

B

1

B

C

四、综合探索（共26分）

24.（12分）如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台

风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km，那么

台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受

到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危

险？

25.（14分）△ABC中，BC

a

，AC

b

，AB

c

，若∠C=90°，如图（1），根据勾股定

A

D

C

B

第24题图

理，则

abc

，若△ABC不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股

定理，试猜想

ab

与

c

的关系，并证明你的结论.

222

222

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.（D）；2.（C）；3.（D）；4.（B）；5.（C）；

6.（C）；7.（B）；8.（C）；9.（B）；10.（D）；

二、填空题（每小题3分，24分）

11.7；12.8；13.24；14.

16.4；17.19；18.49；

三、解答题

19.20；

20. 设BD=x，则AB=8-x

由勾股定理，可以得到AB

2

=BD

2

+AD

2

，也就是(8-x)

2

=x

2

+4

2

.

所以x=3，所以AB=AC=5，BC=6

21.作A点关于CD的对称点A′，连结B A′，与CD交于点E，则E点即为所求.总费用150

万元.

22.116m

2

；

23. 0.8米；

四、综合探索

24.4小时，2.5小时.

25. 解：若△ABC是锐角三角形，则有a

2

+b

2

>c

2

若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a

2

+b

2

2

当△ABC是锐角三角形时，

25

； 15. 13；

8

证明：过点A作AD⊥CB，垂足为D。设CD为x，则有DB=a－x

根据勾股定理得 b

2

－x

2

＝c

2

―(a―x)

2

即 b

2

－x

2

＝c

2

―a

2

＋2ax―x

2

∴a

2

＋b

2

＝c

2

＋2ax

∵a>0，x>0

∴2ax>0

∴a

2

+b

2

>c

2

当△ABC是钝角三角形时，

证明：过点B作BDAC，交AC的延长线于点D.

设CD为x，则有DB

2

=a

2

－x

2

根据勾股定理得 (b＋x)

2

＋a

2

―x

2

＝c

2

即 b

2

＋2bx＋x

2

＋a

2

―x

2

＝c

2

∴a

2

＋b

2

＋2bx＝c

2

∵b>0，x>0

∴2bx>0

∴a

2

+b

2

2

.

探索勾股定理测试卷

姓名

_________

（满分：100分 时间：45分钟） 成绩_______________

选择题（每题6分）

1、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为______________

A 56 B 48 C 40 D 321

2

2、如果Rt△的两直角边长分别为n－1，2n（n>1），那么它的斜边长是____________

22

A 2n B n+1 C n－1 D n+1

E

A

3、已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折

叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为________

2222

A 6cm B 8cm C 10cm D 12cm

B

F

北

4、已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航

行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离

A

开港口2小时后，则两船相距_________

东

A 25海里 B 30海里 C 35海里 D 40海里

南

填空题（每题6分）

5、在Rt△ABC中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则

b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则S

Rt△ABC

=________

C

6、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角

D

三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，

B

2

C，D的面积之和为___________cm。

A

2

7cm

7、已知x、y为正数，且│x

2

-4│+（y

2

-3）=0，如果以x、y

的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜

边为边长的正方形的面积为___________。

D

8、在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20

B

米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以

直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高

A

____________米。

C

D

C

三、解答题（每题13分）

2

9、小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池，已知其面积为48m，其对角线长为10m，为建栅栏，

要计算这个矩形鱼池的周长，你能帮助小明算一算吗？

10、已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且

A D

∠A=90°，求四边形ABCD的面积。

B

C

11、太阳刚刚从地平线升起，巴河姆就在草原上大步朝东方走去，他走了足足有10俄里才

左拐弯，接着又走了许久许久，再向左拐弯，这样又走了2俄里，这时，他发现天色不早了，

而自己离出发点还足足有17俄里，于是改变方向，拼命朝出发点跑去，在日落前赶回了出

发点。这是俄罗斯大作家托尔斯泰在作品《一个人需要很多土地吗》中写的故事的一部分。

你能算出巴河姆这一天共走了多少路？走过的路所围成的土地面积有多大吗？

12、如图1，是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边

长为c；如图2是以c为直角变的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明

勾股定理的图形。

画出拼成的这个图形的示意图，写出它的名称；

用这个图形证明勾股定理；

设图1中的直角三角形由若干个，你能运用图1中所给的直角三角形拼出另外一种能证明勾

股定理的图形吗？请画出拼成后的示意图。（无需证明）

b c b c c c

a a

图2

图1

探索勾股定理（二）

1．填空题

（1）某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木

板，则木板的长应取米．

（2）有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼，其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行，

另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口一个半小时后相距海里．

（3）如图1：隔湖有两点A、B，为了测得A、B两点间的距离，从与AB方向成直角的BC

方向上任取一点C，若测得CA=50m，CB=40m，那么A、B两点间的距离是_________．

2．已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12cm和10cm，求这个三角形的面积．

3．在△ABC中，∠C=90°，AC=2.1cm，BC=2.8cm

（1）求这个三角形的斜边AB的长和斜边上的高CD的长．

（2）求斜边被分成的两部分AD和BD的长．

4．如图2，要修建一个育苗棚，棚高h=1.8m，棚宽a=2.4m，棚的长为12m，现要在棚顶上

覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？

5．如图3，已知长方形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点

D恰好落在BC边上的点F，求CE的长．

勾股定理练习题：练习一：（基础）

等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则顶角的平分线为＿＿＿.

一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿＿.

3.已知

a

，

b

，

c

为△

ABC

三边，且满足(

a

2

－

b

2

)(

a

2

+

b

2

－

c

2

)＝0，则它的形状为（ ）

A.直角三角形 B.等腰三角形

C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形

4.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的

最短路程（

取3）是（）.

A

B

（A）20cm （B）10cm （C）14cm （D）无法确定

在Rt△ABC中，斜边AB=2，则AB

2

＋BC

2

＋AC

2

=_____．

6．Rt△一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt△的周长为（ ）

A、121 B、120 C、132 D、不能确定

7．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是 （ ）

C

A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对

8．如果Rt△的两直角边长分别为n

2

－1，2n（n >1），那么它的斜边长是（ ）

22

A、2n B、n+1 C、n－1 D、n+1

9.在△ABC中,

C90,

若

ab7,

△ABC的面积等于6，则边长c=

10.如图△ABC中，

ACB90,AC12,BC5,ANAC,BMBC

则MN=

11.一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为 10

12.若△ABC是直角三角形，两直角边都是6，在三角形斜边上有一点P，到两直

角边的距离相等，则这个距离等于 六根二

13.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km

北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走

的最短路程是多少？

小河

17km

北

牧童

A

东

B

小屋

B

A

14、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿∠CAB

的角平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？

C

D

3cm

B

E

A

15.校园里有一块三角形空地，现准备在这块空地上种植草皮以美化环境，已经

测量出它的三边长分别是13、14、15米，若这种草皮每平方米售价120元，则

购买这种草皮至少需要支出多少？

16、如图，在△ABC中，∠B=

90

，AB=BC=6，把△ABC进行折叠，使点A与点D

重合，BD:DC=1:2，折痕为EF，点E在AB上，点F在AC上，求EC的长。

A

F

E

提高题：

C

B

D

1、※直角三角形的面积为

S

，斜边上的中线长为

d

，则这个三角形周长为（ ）

（A）

d

2

S2d

（B）

d

2

Sd

（C）

2d

2

S2d

（D）

2d

2

Sd

2．在

ABC

中,

ABAC1

,

BC

边上有2006个不同的点

P

1

,P

2

,LP

2006

,

2

记

m

i

AP,2,L2006

,则

m

1

m

2

Lm

2006

=_____.

i

BP

i

PC

i

i1

解:如图,作

ADBC

于

D

,因为

ABAC1

,则

BDCD

.

由勾股定理,得

AB

2

AD

2

BD

2

,AP

2

AD

2

PD

2

.所以

AB

2

AP

2

BD

2

PD

2

BDPD



BDPD

BPPC

所以

AP

2

BPPCAB

2

1

2

.

因此

m

1

m

2

Lm

2006

1

2

20062006

.

3※．如图所示，在

RtABC

中,

BAC90,ACAB,DAE45

,且

BD3

,

CE4

,求

DE

的长.

解:如右图：因为

ABC

为等腰直角三角形,所以

ABDC45

.

所以把

AEC

绕点

A

旋转到

AFB

,则

AFBAEC

.

所以

BFEC4,AFAE,ABFC45

.连结

DF

.

所以

DBF

为直角三角形.

由勾股定理,得

DF

2

=BF

2

+BD

2

=4

2

+3

2

=5

2

.所以

DF=5

.

因为

?DAE45?,

所以

?DAF?DAB?EAC45?

.

所以

DADE@DADFSAS

.

所以

DE=DF=5

.

4、如图，在△ABC中，AB=AC=6，P为BC上任意一点，请用学过的知识试求PC·PA+PA

2

的值。

A

B C

5、※如图在Rt△ABC中,

C90,AC4,BC3

，

在Rt△ABC的外部拼接一个

P

合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示：

要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接

的直角三角形的三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用0.5mn的黑色

签字笔画出正确的图形）

解：要在Rt△ABC 的外部接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等

腰三角形，关键是腰与底边的确定。要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长，

这需要用到勾股定理知识。下图中的四种拼接方法供参考。

10

答案：

选择题

1、B 2、 D 3、A 4、D

填空题

5、① 13 ② 20 ③ 11 ④ 24 ； 6、49 ； 7、 5 ； 8、 25

解答题

9、28m

10、解：连接BD

A90BDAB

2

AD

2

5

又 5，12，13是一组勾股数，BCD是直角三角形

S

11

四边形ABCD

2

34

2

51236

11、根据题意画出图形，已知AE=10,DC=EB=2,AD=17

Rt

AED

EDAD

2

AE

2

15

周长为：101521744（俄里）

面积为：

1

2

（210）1590（平方俄里）

12、（1）直角梯形

b

c

c

a

a b

（2） 根据面积相等可得：

1

（ab)(ab)

1

ab2

1

c

2

222

化简得：

a

2

b

2

c

2

（3）

a

b

1．（1）2.5 （2）30 （3）30米

2．如图：等边△ABC中BC=12cm，AB=AC=10cm

D C

A E B

作AD⊥BC，垂足为D，则D为BC中点，BD=CD=6 cm

22222

在Rt△ABD中，AD=AB－BD=10－6=64

∴AD=8cm

11

2

BC·AD=×12×8=48（cm）

22

3．解：（1）∵△ABC中，∠C=90°，AC=2.1cm，BC=2.8cm

∴S

△ABD

=

∴AB=AC+BC=2．1+2.8=12.25

∴AB=3.5cm

22222

11

AC·BC=AB·CD

22

∴AC·BC=AB·CD

ACBC2.12.8

∴CD===1.68（cm）

AB3.5

（2）在Rt△ACD中，由勾股定理得：

222

AD+CD=AC

22222

∴AD=AC－CD=2.1－1.68

=（2.1+1.68）（2.1－1.68）

=3.78×0.42=2×1.89×2×0.21

2

=2×9×0.21×0.21

∴AD=2×3×0.21=1.26（cm）

∴BD=AB－AD=3.5－1.26=2.24（cm）

4．解：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为3m，所以矩形塑料薄膜

2

的面积是：3×12=36（m）

5．解：根据题意得：Rt△ADE≌Rt△AEF

∴∠AFE=90°，AF=10cm，EF=DE

设CE=x cm，则DE=EF=CD－CE=8－x

在Rt△ABF中由勾股定理得：

222222

AB+BF=AF，即8+BF=10，

∴BF=6 cm

∵S

△ABC

=

∴CF=BC－BF=10－6=4（cm）

在Rt△ECF中由勾股定理可得：

222222

EF=CE+CF，即（8－x）=x+4

22

∴64－16x+x=x+16

∴x=3（cm），即CE=3cm


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