2024年3月9日发(作者：数学试卷易错的原因)
3．2.1 函数的单调性
一、知识点归纳
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：
(1)如果⊆x1，x2⊆D，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增．
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数．
(2)如果⊆x1，x2⊆D，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减．
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数．
(3)如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
二、题型分析
题型一 用定义法证明(判断)函数的单调性
1【例1】已知函数f(x)＝2.
x－1(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明．
【规律方法总结】利用定义证明函数单调性的步骤
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【变式1】试用函数单调性的定义证明：f(x)＝2x在(1，＋∞)上是减函数．
x－1
题型二 求函数的单调区间
x2＋4x＋3，－3≤x＜0，【例2】已知f(x)＝－3x＋3，0≤x＜1，－x2＋6x－5，1≤x≤6.(1)画出这个函数的图象；
(2)求函数的单调区间．
【规律方法总结】图象法求函数单调区间的步骤
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【变式2】． 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．
2x＋1，x≥1，1(1)f(x)＝－；(2)f(x)＝
x5－x，x<1；
(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.
题型三 函数单调性的应用
【例3】 (1)已知函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3.
⊆若函数f(x)在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________；
⊆若函数f(x)的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为________．
(2)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[1,2]上不单调，则实数a的取值范围为________．
【规律方法总结】
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x【变式3】已知f(x)＝(x≠a)．
x－a(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．
三、课堂达标检测
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1．如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是( )
A．函数在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数在区间[1,4]上单调递增
C．函数在区间[－3,1]⊆[4,5]上单调递减
D．函数在区间[－5,5]上没有单调性
2．如果函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b的取值范围为(
A．b＝3 B．b≥3
C．b≤3 D．b≠3
3.下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( )
A．y＝2x＋1 B．y＝x2＋1
C．y＝3－x D．y＝x2＋2x＋1
4.函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是( )
A．[－4,4] B．[－4，－3]⊆[1,4]
C．[－3,1] D．[－3,4]
5．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是( )
A．y＝－1x B．y＝x
)
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C．y＝x2 D．y＝1－x
6．函数y＝(x＋4)2的递减区间是( )
A．(－∞，－4) B．(－4，＋∞)
C．(4，＋∞) D．(－∞，4)
7．证明：函数y＝xx＋1在(－1，＋∞)上是增函数．
8.利用单调性的定义，证明函数y＝x＋2x＋1在(－1，＋∞)上是减函数．
四、课后提升作业
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一、选择题
x＋1，x≥0，1．函数f(x)＝x－1，x＜0
在R上( )
A．是减函数
C．先减后增
B．是增函数
D．先增后减
2．函数f(x)＝|x|，g(x)＝x(2－x)的递增区间依次是( )
A．(－∞，0]，(－∞，1]
C．[0，＋∞)，(－∞，1]
B．(－∞，0]，(1，＋∞)
D．[0，＋∞)，[1，＋∞)
3．函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上( )
A．单调递增
C．先减后增
B．单调递减
D．先增后减
4．设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调递增区间，且x1⊆(a，b)，x2⊆(c，d)，x1 A．f(x1) C．f(x1)＝f(x2) B．f(x1)>f(x2) D．不能确定 5．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)，B(3,1)是其图象上的两点，则－1 A．(－3,0) C．(－∞，－1]⊆[3，＋∞) B．(0,3) D．(－∞，0]⊆[1，＋∞) a6．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( ) xA．(－1,0)⊆(0,1) C．(0,1) B．(－1,0)∩(0,1) D．(0,1] 7.下列函数中，在(0,2)上是增函数的是( ) 10 / 10 A．y＝1x B．y＝2x－1 C．y＝1－2x D．y＝(2x－1)2 8．函数f(x)＝|x|，g(x)＝x(2－x)的递增区间依次是( ) A．(－∞，0]，(－∞，1] B．(－∞，0]，(1，＋∞) C．[0，＋∞)，(－∞，1] D．[0，＋∞)，[1，＋∞) 9.下列函数中，满足“对任意xfx1－fx21，x2⊆(0，＋∞)，都有x1－x2>0”的是( ) A．f(x)＝2x B．f(x)＝－3x＋1 C．f(x)＝x2＋4x＋3 D．f(x)＝x＋1x 10．若函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上( ) A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增 11．定义在R上的函数f(x)，对任意xfx2－fx11，x2⊆R(x1≠x2)，有x2－x1<0，则( ) A．f(3) C．f(2) 12．f(x)为(－∞，＋∞)上的减函数，a⊆R，则( ) A．f(a)＜f(2a) B．f(a2)＜f(a) C．f(a2＋1)＜f(a) D．f(a2＋a)＜f(a) 二、填空题 13.如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间12，1上是增函数，则实数a的取值范围为________． 10 / 10 114．若函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是________． x＋115．已知f(x)在定义域内是减函数，且f(x)>0，在其定义域内下列函数为单调增函数的是________． ⊆y＝a＋f(x)(a为常数)； ⊆y＝a－f(x)(a为常数)； 1⊆y＝；⊆y＝[f(x)]2. fx16．函数y＝|x|(1－x)的单调递增区间为________． 117．已知函数f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x) 18．若函数f(x)＝8x2－2kx－7在[1,5]上为单调函数，则实数k的取值范围是________． 19．若函数f(x)＝x2＋a|x－2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________． 20．已知定义在R上的函数y＝f(x)满足以下三个条件： ⊆对于任意的x⊆R，都有f(x＋1)＝－f(x)； ⊆函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称； fx1－fx2⊆对于任意的x1，x2⊆[0,1]，且＞0. x2－x13则f(－1)，f2，f(2)的大小顺序是________．(用“＜”连接) 三、解答题 ax＋11a≠在(－2，＋∞)上的单调性． 21．用定义判断函数f(x)＝x＋22 10 / 10 22.已知一次函数f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)(x＋m)，且f(f(x))＝16x＋5.(1)求f(x)的解析式； (2)若g(x)在(1，＋∞)上单调递增，求实数m的取值范围． 23．已知函数f(x)＝x－aax＋2在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围． 10 / 10 24．已知函数f(x)对任意的a，b⊆R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x>0时，f(x)>1.(1)求证：f(x)是R上的增函数； (2)若fxy＝f(x)－f(y)，f(2)＝1，解不等式f(x)－f1x－3≤2. 10 / 10
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单调,函数,区间,实数,递增
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