高等数学4教材答案详解

2024年3月17日发(作者：初中数学试卷分几部分)

高等数学4教材答案详解

一、导数与微分

1. 导数的定义

导数是函数在某一点处的瞬时变化率，通常用f\'(x)表示。导数的定

义可以表达为：

f\'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h

2. 导数的基本运算法则

2.1 常数规则：如果f(x) = C（C为常数），则f\'(x) = 0。

2.2 乘积规则：若f(x) = u(x) v(x)，则f\'(x) = u\'(x) v(x) + u(x) v\'(x)。

2.3 商数规则：若f(x) = u(x) / v(x)，则f\'(x) = [u\'(x) v(x) - u(x) v\'(x)] /

[v(x)]²。

3. 微分与近似计算

微分是导数的一个重要应用，它可以用于函数的线性近似计算。微

分的公式为：

dy = f\'(x) dx

其中dy表示函数f(x)在点(x, f(x))处的微小变化量，dx表示自变量x

的微小变化量。

二、函数的极限

1. 极限的定义

函数f(x)在点x=a处的极限为L，可以表示为：

lim(x→a) f(x) = L

2. 极限的性质

2.1 唯一性：如果极限存在，则极限唯一。

2.2 有界性：如果极限存在，则函数在某个邻域内有界。

2.3 保号性：如果lim(x→a) f(x) > 0，则存在a的某个邻域内，使得

f(x) > 0。

3. 极限的计算方法

3.1 四则运算法则：对于函数的四则运算，可以利用极限的性质进

行计算。

3.2 复合函数的极限：如果f(x)的极限为L，g(x)在L处连续，那么

f(g(x))的极限为f(L)。

三、一元函数的连续性

1. 连续函数的定义

如果函数f(x)在点x=a处的极限存在，并且f(a)等于该极限值，那

么称函数在点x=a处连续。

2. 连续函数的性质

2.1 连续函数的四则运算：连续函数的加、减、乘、除仍然是连续

函数。