高中数学习题课的有效教学模式及原则——“均值不等式的应用”课堂实

2024年4月3日发(作者：隆回特岗面试初中数学试卷)

第４期　武瑞雪，等：高中数学习题课的有效教学模式及原则　・２１・　

高中数学习题课的有效教学模式及原则　

——

“均值不等式的应用”课堂实录与点评　

（田家炳中学江苏徐州２２１２００）　●武瑞雪　董素梅　

习题课是中学数学的一种重要的课型，通常安　

排在新授课之后，其主要功能是了解学情，完善知　

识体系，查漏补缺，培养技能，训练思维，提高分析　

问题、解决问题的能力．　

下面对笔者执教的一节较为成功的县级公开　

课“均值不等式的应用”（注：课前有导学案）进行　

点评，以探究习题课的有效教学模式及原则：　

１　习题课的有效教学模式　

１．１　编制有针对性的练习题（重现数学）　

１　

（１）求函数Ｙ＝　＋　（　＞０）的值域（答案：　

［２，＋∞））；　

１　

（２）求函数Ｙ＝　＋　的值域（答案：（一∞，　

一

２］ｕ［２，＋∞））；　

１　

（３）证明：口＋—÷　≥３（口＞１）．　

Ⅱ一工　

点评　因有导学案，学生在课前已做完这３道　

题，上课时执教老师找了３个学生分别板演，并进　

行点评，在点评过程中不断地将上节所学基础知　

识——“均值不等式”提炼出来．然后，执教老师把　

相关知识利用多媒体显示到大屏幕上．　

基本不等式１　对任意０，ｂ∈Ｒ，都有口　＋　

ｂ　＞－２ａｂ（当且仅当ｎ＝ｂ时，取到等号）．　

基本不等式２　（均值不等式）　≥　

二　

（０Ｉ＞０，ｂ＞１０）（当且仅当口＝ｂ时，取到等号）．　

变形　（１）对任意口，ｂ∈Ｒ　，都有口＋ｂ≥　

２￣／／ｎ６（当且仅当ｎ＝ｂ时，取到等号）（积定和最小）；　

（２）对任意Ⅱ，ｂ∈Ｒ　，都有，／ａ－ｇ＿＜　｝鱼（当且　

二　

仅当。＝ｂ时，取到等号）（和定积最大）．　

１　

衍生（１）对任意０，ｂ　ＥＲ　，有口＋　≥２；　

“　

１　

（２）对任意０∈Ｒ，０≠０，有ｎ＋　≥２或ｎ＋　

１

一

≤一２：　

（３）对任意口，６∈Ｒ　，有詈＋ａ－ｂ－＞２．　

点评在很多习题课中，往往是先进行基础知　

识的复习，然后是例题、练习、测验．但实践证明，学　

生对这种模式的习题课“兴趣不高”，而对于通过　

解答一组题目（当然这些题目要蕴含所要复习的　

基础知识）重温旧知，学生“较有兴趣”．　

１．２编制示范性的例题及变式题（运用数学）　

例１已知ｙ＝　＋　％，　∈（一２，＋∞），求此　

函数的最小值．　

解　＝　＋　１６＝（　＋２）＋　１６

—

２，　

因为　∈（一２，＋∞），　

即　－－Ｉ２＞０，　

所以　），≥２√（　＋２）・　一２＝６，　

当且仅当　＋２＝　１６

，

即　＝２时，取到等号．故此　

函数的最小值为６．　

点评２个学生板演后，先学生互评，再教师　

点　，规池｝６竿题袼瓦，揭不遗性遗　．　

变式１　已知ｙ＝　＋　１　６

，　

∈（一∞，一２），求　

此函数的值域．　

变式２已知），＝　＋　，　Ｅ［４，＋∞），求此　

函数的最小值．　

解（１）　＝　＋￣　１６＝（　＋２）＋　１６

—

２，　

因为　Ｅ（一∞，一２），　

即　一（　－４－２）＞０，　

所以ｙ＝一ｆ－（　＋２）＋（一　）卜２≤　

・

２２・　中学教研（数学）　

一

２

、

／＿＝　：　一２＝一ｌ。，当且仅当。＝　时，取到等号　

，即　＝一６时，取到　

２６＋　≥２　６・　１

＝

当且仅当一（　＋２）＝一　

２，，／５，　（２）　

等号．因此函数的值域为（一∞，一１０］．　

（２）设４≤　１＜　２，贝４　

）一　）＝（　）一（　）：　

（　一　：）＋　＝　

（　一　２）［（　＋２）（　２＋２）一ｌ６］　

（　１＋２）（　２＋２）　‘　

因为４≤　ｌ＜　２，　

所以　１一　２＜Ｏ，（戈ｌ＋２）（　２＋２）＞０，　

（　１＋２）（　２＋２）一１６＞０，　

即／　）一／　）＜０，　

从而　）：　＋　在［４，＋∞）上为增函数，于是　

十　

厂（　）　：厂（４）：了２０

．　

点评因有导学案，课前已有部分学生能解出　

这２道题．执教老师根据课前了解到的情况，找２　

个学生进行了板演．并对第（２）小题进行了重点点　

评，让学生轻松地理解和掌握均值不等式在求函数　

最值时应满足的３个条件“一正、二定、三相等”．　

例２已知口，６∈Ｒ　，且０＋２ｂ＝１，求　＋÷　１　１　

的最小值．　

下面是６个学生给出的６种解法，请学生“沙　

里淘金”，找出正确解法；如果错误，请剖析错因：　

学生１：因为口，ｂ∈Ｒ　，所以　

１＝０＋２ｂ￣＞２　，　

当且仅当８＝２ｂ时，取到等号，于是　

≤　，　

２　４２　

从而　＋　１

＞

／

２　＝　＞Ｉ４　，　

当且仅当。：ｂ时，取到等号．因此　＋÷的最小值　

为４　．　

学生２：因为０，ｂ　ＥＲ　，所以　

口＋　≥２，　（１）　

当且仅当２６：　时，取到等号．　

式（１）＋式（２）得　

２ｂ）＋（　＋　）≥２＋２　４＇５，　

又　０＋２ｂ＝１．　

得　一１＋

１

了

≥１＋２　，　

于是　＋　的最小值为１＋２　

学生３：因为口，６∈Ｒ　，０＋２ｂ＝１，所以　

＋　

１　

＋２ｂ）（１ａ＋＋）－－　

２　・２

√　＝４　，　

当且仅当。：２ｂ，且ｎ：６时，￣ａＮ＠ｇ－．因此　＋　

寺的最小值为４・　

学生４：因为０，ｂ∈Ｒ　，所以　

丢＋＋　≥２　≥２√　，　，　

当且仅当０＝ｂ时，取到等号．此时，０＋２ｂ＝０＋　

２ａ＝１，于是　

＝

÷，　

即　一１＋

１

了

：

６，　

因此　＋＿／的最小值为６．　

口　Ｄ　

学生５：（整体代人法）因为ａ，ｂ∈Ｒ　，ｎ＋２ｂ＝　

１，所以　

１

＋　

＝

（。＋２ｂ）（１ａ＋　１）＝　

３＋（警＋丢）＝３＋（警＋詈）≥　

３＋２　，　

当且仅当　：导，０　Ｄ　即。：　一１，６：　时，取到　

等号，因此　＋｛的最小值为３＋２　

第４期　武瑞雪，等：高中数学习题课的有效教学模式及原则　・２３・　

字生６：（消兀法）凼为０，ｂ∈Ｒ’，口＋２ｂ＝１，得　

。＝　一２６（ｏ＜６＜丢），　

所以　１＋　１＝　＋÷＝　丢＝　

二　一　

一

２（１—６）　一３ｂ＋２一　

一

２（１一ｂ）　＋３（１一ｂ）一１　

１　

≥　

土

３——２　４２　

：３＋ａ　４ｇ．　

当且仅当２（１＿６）＝　６＝　一１　

时，取到等号．　

参考答案学生５和学生６的解法是正确的，　

而前４个学生的解法是错误的，错因剖析如下：　

学生１、学生２、学生３的解法都错在２次使用　

均值不等式时，其中等号不能同时成立．事实上，在　

学生１和学生３的解法中，当２个等号同时成立　

时，应有口＝２ｂ且口＝ｂ，得Ⅱ＝ｂ＝０，这与已知矛　

盾；在学生２的解法中，当２个等号同时成立时，应　

有口＝１且ｂ＝　，这与已知“口＋２ｂ＝１”矛盾；学生　

４的解法错在用均值不等式求最值时，忽略了３个　

条件“一正、二定、三相等”中的第２个条件——求　

和的最小值时，积应为定值，而在式子　＋÷≥　

一　

１　

２√　中，　不是定值・　

点评例２将学生可能发生的“花样繁多”的　

错误解法暴露给学生，让学生共享“错误资源”，在　

剖析错误解法的过程中，经历由“误”到“悟”的思　

维过程，达到了感悟真知，培养思维严谨性、批判性　

的目的．　

１．３　编制难度恰当、数量合适的练习题（巩固数　

学）　

找４个学生板演，其余学生分２组练习，其中　

一

组做题（１）与题（３），另一组做题（２）与题（４）：　

（１）求函数Ｙ＝　二　：　（　＞２）的最小值；　

（２）求函数ｙ＝　（　＜ａ）￣Ｎ）ｋＮ；　

（３）求函数），＝　（　≠２）的值域；　

（４）求函数ｙ－　（　≥４）的最小值．　

解　（１）因为　＞２，即　一２＞０，所以　

一

２　＋１　（　一２　＋２　一３　

Ｖ＝一＝　————　———————一＝　

Ｘ一２　一２　

１　二　２：±　！　＝　）±　一　

一

２　

（ｘ－２）＋　＋２１＞　

２

√（　一２）・　＋２＝４，　

当且仅当　一２＝　，即　＝３时，取到等号，此时　

一　

Ｙ　ｉ　＝４．　

（２）因为　＜２，即２一　＞０，所以　

：ｇ２

—

２　＋１　（　一２）　＋２　一３　

＝一＝一＝　

一

２　一２　

（　二　２：±　（　二　２±　一　

一

２　

（　一２）＋—　—　＋２：　

Ｘ—　

一

【（２　＋　］＋２≤　

一

２

√（２一　）・　＋２＝ｏ，　

当且仅当２一　：　ｌ＿，即　＝１时，取到等号，此时　

一　

Ｙ　＝０．　

（３）分　＜２和　＞２这２种情况讨论，……，得　

函数ｙ，－－　（　ｅ　２）的值域为（一∞，ｏ　３　ｕ　

［４，＋∞）．　

㈩ｙ－　＝　＝　

（　＝　）：±　（　二　）±　一　

一

２　

（　一２）＋　＋２．　

一　

令　一２＝￡，贝４　

Ｙ　ｔ

：

　

＋＿

＋＿＋（

１

＋２（ｔＩ　＞２一），），　

・

２４・　中学教研（数学）　

利用函数单调性定义，可证Ｙ＝ｔ＋÷＋２（ｔ≥２）为　

０　

增函数，故Ｙ　ｉ　＝÷．　

点评通过上述梯度合理、难度恰当、数量合　

适的练习题，及时了解“学情”，对“一正、二定、三　

相等”有更清晰、深刻的理解．　

１．４课堂小结（再现数学）　

教师：Ｘ　Ｘ同学，你能否将本节课小结一下？　

学生：本节课主要学习了均值不等式“２个正　

数的几何平均数不大于它们的算术平均数”，即　

“如果口，ｂ是正数，那么　≤　（当且仅当ｏ＝　

ｂ时，取到等号）”在求函数最值中的应用，并要注　

意“一正、二定、三相等”的条件．　

点评对于课堂小结，执教老师没有包办代　

替，而是放手让学生小结，充分体现了以学生为主　

体、教师为主导的教育理念，打破“教师总结，学生　

听”的传统教法．　

１．５布置作业（再巩固数学）　

必做题　（１）求函数Ｙ＝　（口＞１）的值　

域（答案：［３，＋∞））；　

（２）求函数Ｙ＝　（ｎ≠１）的值域（答　

案：（一ｏ。，一１］ｕ［３，＋∞））．　

选做题某手套公司准备投入适当的广告费，　

对生产的手套进行促销．在１年内，据测算年销售　

量Ｉｓ（万双）与广告费　（万元）之间的函数关系为　

Ｓ＝３一　（　＞０）．已知手套的固定投入为３万元，　

每生产１万双手套仍需再投入ｌ６万元（年销售收　

入＝年生产成本的１５０％＋年广告费的５０％）．　

（１）试将手套的年利润　（万元）表示为年广　

告费　（万元）的函数；　

（２）当年广告费投人为多少万元时，此公司的　

年利润最大，最大利润为多少（年利润＝年销售收　

入一年广告费）？　

答案：（１）￡：　（　＞０）．　

二丑　

（２）当年广告费投入为４万元时，此公司的年　

利润最大，最大利润为２１．５万元．　

点评作业是课堂教学的延伸和补充，是学生　

掌握知识、形成技能、提高能力的重要手段；也是教　

师了解学情、进行反馈的重要措施．本节课执教老　

师根据不同学情设置了不同层次的作业：必做　

题——每个学生都要完成，作为交送作业；选做　

题——为学有余力的学生准备，有时也是为下一节　

课教学准备的，如上面的选做题可作为下节课的一　

道例题．当然，不是每节课都要有选做题，不能为摆　

样子而布置选做题．　

２　习题课的有效教学原则　

本节课后，点评人和执教人进行了教后反思，　

总结了习题课的有效教学原则：　

２．１　先做后讲的原则　

习题课应有导学案，先做后讲．当然，上课之　

前，教师要先了解学生的做题情况，摸清学生哪些　

题目会做，哪些题目不会做，哪些题目易错，由此决　

定课堂上应重点讲解的题目．　

２．２四讲四不讲的原则　

习题课，要坚持“四讲四不讲”的原则，即“一　

讲重难点，二讲易错点，三讲易混点，四讲易漏点；　

不讲太难的，不讲太易的，不讲学生已会的，不讲学　

生自学能学会的”．　

２．３选题精当的原则　

习题课上，切忌贪图大容量，导致每道题都是　

浅尝辄止，讲解不透彻，没有规范完整的板书，给学　

生留下的都是“半成品”题，甚至是“废品”题．习题　

课应集中于某几个题目上，从容不迫并彻底地解决　

它们．因此，要想让学生跳出题海，教师就要跳进题　

海去选题，选那些真正有意义的、数量合适的、高质　

量的、难度适宜的题．　

２．４讲解精当的原则　

教师在习题课教学过程中，不该说的话，一个　

字不要多说；该说的话，一个字不能少说！多了，不　

精练；少了，学生得不到点拨、引导，可能误人歧路，　

思维难以展开．　

２．５　学生为主体的原则　

在习题课教学中，要给学生充分的思考时间，　

让学生自己发现、体验、感悟解题方法，努力做到：　

凡是学生能够探索出的，教师绝不代替；凡是学生　

能够独立发现的，教师绝不暗示；凡是学生能够说　

出的，教师绝不代言．教师要能忍得住，耐下心，教　

师的不当代替、暗示、代言，看上去节省了时间，却　

没能尊重学生的思维，而是抑制了学生的思维，导　

致学生的能力难以提高．