2024年4月3日发(作者：2020宜宾中考数学试卷)

费马点问题

（绵阳东辰初三——付成聪）

一.情境引入

2010

年

4

月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱

现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓

的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水

.

已知：三村庄A、B、C构成图所示的△ABC（其中

∠A、∠B、∠C均小于120°），AB=3km，BC=4km，

∠B=30°，现在要选取一点P打水井，使从水井P到三

村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求这个点P

的位置，以及输水管总长度的最小值

.

二.问题背景

1.皮埃尔·德·费马（PierredeFermat,1601–1665）是

十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王。

2.1643年，在一封写给意大利数学家和物理学家托里

拆利（EvangelistaTorricelli,1608–1647)的私人信件中，

费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题，

请求托里拆利帮忙解答（也有一种说法是费马本人实际

上已经找到了这个问题的答案，他是为了挑战托里拆利

才写信向他“请教”的）：

给定不在一条直线上的三个点A,B,C，求平面上到这三

个点的距离之和最短的点的位置。

即：

在已知ΔABC中，是否存在一点P，使它到三角形三

个顶点的距离之和最小？若存在，则称这个点P为ΔABC

的费马点，此时PA＋PB＋PC的值为ΔABC的费马距离.

请你先开动脑筋试一试！——haveatry，youcanfly！

（先独立思考——再小组交流——最后代表发言）

三.解决问题——如何找费马距离、费马点？

★：如图，在给定的ΔABC中有一点P，使PA＋PB＋PC

的值最小，找出这个最小值.

1.分析：

2.证明：

3.小结：

（1）快速画出费马距离的方法；（简化——升级）

（2）如何确定费马点的位置？

（3）费马点的性质：

①费马点到___________________距离之和最小；

②费马点与三角形三顶点的张角____，并且都等于____度.

四.学以致用

1.请解决情景引入里面的问题.

2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC

＝30°，点P为Rt△ABC的费马点，连接AP，BP，

CP，则PA+PB+PC的值为___________．(一题多解)

3．（2020•崇州市模拟）如果点P是△ABC内一点，且

它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△

ABC的费马点．已经证明：在三个内角均小于120°

的△ABC中，当∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°时，

P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为的等腰

直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF

＝．

(一题多解)

4.（2019秋•开福区校级月考）法国数学家费马提出：

在△ABC内存在一点P，使它到三角形顶点的距离之

和最小．人们称这个点为费马点，此时PA+PB+PC

的值为费马距离．经研究发现：在锐角△ABC中，

费马点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，如

图，点P为锐角△ABC的费马点，且PA＝3，PC＝4，

∠ABC＝60°，则费马距离为．

5.（2010福建）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE

是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意

一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连

接EN、AM、CM.当AM＋BM＋CM的最小值为

31

时，求正方形的边长为________.

AD

N

E

M

BC

6.（成都金牛区期末）如图，矩形纸片ABCD

(ADAB)

中，将它折叠，使点

A

与

C

重合，在矩形

ABCD

中，

AB=6

，

BC=10

，

P

是内部一点，

Q

是

BC

边上任意一点，试确定

点P、Q的位置，使得

PAPDPQ

最小，并求出这个

最小值为

_____________

．


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