2024年4月13日发(作者：绵阳二诊高三数学试卷)

2023年全国新高考仿真模拟卷（二）数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

2

1．设集合

A

x|log

2

x1

，

B

x|xx20

，则

ð

B

A

（）

D．（﹣1，0）

）

A．（﹣∞，2）B．（﹣1，0]C．（﹣1，2）

2．已知复数

z

1

1i

，

z

2

a2i

，若

z

1

z

2

为纯虚数，则实数a的值为（

A

．

1

B

．

1C

．

2

D

．

2

3．函数

f

x

为

R

上的奇函数，当

x0

时，

f

x

lgxx

，则

f

100

（

A

．

98B

．

98

C

．

90D

．

90

）

1

1

4．小陈和小李是某公司的两名员工，在每个工作日小陈和小李加班的概率分别为

和，

3

4

1

且两人同时加班的概率为，则某个工作日，在小李加班的条件下，小陈也加班的概率

6

为（

A．

）

B．

2

1

1

12

C．

2

3

D．

）

3

4

2

5．若

2cos

1

sin2

，则

tan2

的值为（

6



A．

3

3

B．

3

3

C．

23

D．

23

6

．如图所示，在

ABC

中，

B2A

，点

D

在线段

AB

上，且满足

2AD3BD

，

ACDBCD

，则

cosA

等于（）

A．

2

3

B．

3

4

C．

3

5

D．

4

5

7．已知等比数列

a

n

的前n项和为

S

n

，若

a

1

2a

2

0

，

S

3

数

a

的取值范围是（

1

A．

,0

2

9

，且

aS

n

a

2

，则实

8

）



B．

,

24

13

3

D．

0,

2

x

ax

0

有且仅

8．已知

xR

，符号

x

表示不超过x的最大整数，若函数

f

x



x

33

C．

,

42

有

2

个零点，则实数

a

的取值范围是（）

试卷第1页，共4页

23

A．

,

34

3

B．

,2

2

2

C．

,2

3

23



3

D．

,

,2

34



2

二、多选题

9．体育王老师记录了16名小学生某周课外体育运动的时长（单位：h），记录如下表．

运动时长

运动人数

4

1

5

2

6

2

7

4

8

5

9

2

则这16名小学生该周课外体育运动时长的（

C．平均数为7

）A．众数为8

D．标准差为2

B．中位数为6.5

10．已知

,

是空间两个不同的平面，

m,n

是空间两条不同的直线，则给出的下列说法

中正确的是（）

B．

m//

，

n//

，且

mn

，则

D．

m

，

n

，且

mn

，则

A．

m//

，

n//

，且

m//n

，则

//

C．

m

，

n

，且

m//n

，则

//

22

xy

11．设

F

1

，

F

2

分别为椭圆



1

的左、右焦点，P为椭圆上第一象限内任意一点，

259

k

PF

1

，

k

PF

表示直线

PF

1

，

PF

2

的斜率，则下列说法正确的是（

2

）

A．存在点P，使得

PF

1

7

成立

C．存在点P，使得

k

PF

2

7

k

PF

1

成立

12．设函数

f

x

B．存在点P，使得

F

1

PF

2

90

成立



D．存在点P，使得

PF

1

PF

2

7

成立

sin2

x

，则（

sin

x

cos

x

）

ππ

B．

f

x

在

,

上单调递增

44

A．

f

x

的一个周期为

π

π3π

2

C．

f

x

在

,

上有最大值

44

4

D．

f

x

图象的一条对称轴为直线

x

π

4

三、填空题

13．在平行四边形OACB中，E是AC的中点，F是BC边上的点，且

BC3BF

，若



OCmOEnOF

，其中m，

nR

，则

mn

的值为______．

14．请写出与曲线

f

x

sinx

在

0,0

处具有相同切线的另一个函数：______．

15．

Rt△ABC

中，其边长分别为3，4，5，分别以它的边所在直线为旋转轴，旋转一周

所形成的几何体的体积之和为______．

试卷第2页，共4页

22

xy

16．已知

F

1

，

F

2

分别为双曲线

2

2

1

（

a0

，

b0

）的左、右焦点，P为双曲线

ab

右支上任意一点，若

PF

1

PF

2

2

的最小值为2c，

ca

2

b

2

，则该双曲线的离心率是______．

四、解答题

k

17．设数列

a

n

的首项为1，前n项和为

S

n

，且对

nN

*

，

a

n

S

n

bnc

恒成立，

其中

b

，

k

，

c

均为常数．

(1)当

b0

时，求数列

a

n

的通项公式；

(2)当

k1

时，若数列

a

n

为等差数列，求b，c的值．

18

．已知

ABC

的内角

A,B,C

的对边分别为

a,b,c

，

B

为钝角．若

ABC

的面积为

S

，且

4bSa

b

2

c

2

a

2

．

(1)证明：

B

2

A

；

(2)

求

sinAsinC

的最大值．

19

．某校团委针对

“

学生性别和喜欢课外阅读

”

是否有关做了一次不记名调查，其中被调

1

1

查的全体学生中，女生人数占总人数的．调查结果显示，男生中有的人喜欢课外阅

3

6

读，女生中有的人喜欢课外阅读．

(1)以频率视为概率，若从该校全体学生中随机抽取2名男生和2名女生，求其中恰有2

人喜欢课外阅读的概率；

(2)若有95%的把握认为喜欢课外阅读和性别有关，求被调查的男生至少有多少人？

附：

P

2

k

0

2

3

0.050

3.841

0.010

6.635

k

0

n

ad

bc

，

nabcd

．

a

b



c

d



a

c



b

d

2

2

ACD

，

BCE

均为等边三角形，20．如图，在多面体

ABCDE

中，已知

ABC

，平面

ACD

平面ABC，平面

BCE

平面ABC，H为AB的中点．

试卷第3页，共4页

(1)判断DE与平面ABC的位置关系，并加以证明；

(2)求直线DH与平面ACE所成角的正弦值．

2

21．已知点M是抛物线

C:x2py

p0

的对称轴与准线的交点，过M作抛物线的一

条切线，切点为P，且满足

PM

(1)求抛物线C的方程；

2

．

2

(2)过

A

1,1

作斜率为2的直线与抛物线C相交于点B，点

T

0,t

t0

，直线AT与

BT

分别交抛物线

C

于点

E

，

F

，设直线

EF

的斜率为

k

，是否存在常数

，使得

t

k

？

若存在，求出

值；若不存在，请说明理由．

2

22．已知函数

f

x

x

a

2lnx

a

R

．

x

(1)求函数

f

x

的极值；

(2)当

a11

时，若函数

f

x

有两个零点

x

1

,x

2

x

1

x

2

．

①证明：

ln

x

1

ln

x

2

x

1

x

2

x

1

x

2

；

②证明：

0x

1

x

2

1

．

试卷第4页，共4页

参考答案：

1．B

【分析】解对数不等式化简集合

A

，解一元二次不等式化简集合

B

，根据补集运算可得结果

.

2

【详解】∵集合

A

x|log

2

x1

x|0x2

，

Bx|xx20

x|1x2

，



∴

ð

B

A

x

|

1

x

0

，

故选：B.

【点睛】本题主要考查了对数与二次不等式的求解以及集合的补集运算.属于基础题.

2．D

【分析】求出

z

1

z

2

的代数形式，然后根据其实部为零，虚部不为零列式计算即可

.

【详解】

复数

z

1

1i

，

z

2

a2i

，

z

1

z

2

1i



a2i

a2

a2

i

，

z

1

z

2

为纯虚数，

a20

且

a20

，

a2

.

故选：D.

3．A

【分析】直接利用函数奇偶性及

x0

时的解析式计算即可

.

【详解】因为函数

f

x

为

R

上的奇函数，

所以

f

100

f

100

，

又当

x0

时，

f

x

lgxx

，

所以

f

100

f

100



lg100100

98

.

故选：A.

4．C

【分析】根据题意结合条件概率公式运算求解.

【详解】记“小李加班”为事件A，“小陈加班”为事件B，则

P

A

故在小李加班的条件下，小陈也加班的概率为

P

B

|

A

P

AB

P

A

111

,

P

B

,

P

AB

，

436

2

.

3

答案第

1

页，共

16

页

故选：C.

5．D

【分析】先利用倍角公式降次，再利用两角和的公式展开后转化为用

tan2

表示的等式，然

后解方程即可

.

2

【详解】

2cos

1

sin2

6





1

cos

2

1

sin2

，

3



13

cos2

sin2

sin2

，又

cos2

0

，

22

13

则

tan2

tan2

，

22

解得

tan2

23

.

故选：D.

6．B

【分析】根据三角形的边角关系，结合角平分线定理、二倍角公式、正弦定理即可求得

cosA

的值

.

【详解】在

ABC

中，角

A,B,C

对应的边分别为

a,b,c

，又点

D

在线段

AB

上，且满足

2AD3BD

，

所以

AD

332

ABc

,

BDc

，

555

ba

ACBC

3

2

，则

ba

，

又

ACDBCD

，由角平分线定理可得，所以

3

cc

ADBD

2

55

又

B2A

，所以

sinBsin2A2sinAcosA

，则

cos

A

3

a

由正弦定理得

cos

A

sin

B

b

2

3

.

2sin

A

2

a

2

a

4

sin

B

，

2sin

A

故选：B.

7．B

【分析】设等比数列

a

n

的公比为

q

，由

a

1

2a

2

0

，

S

3

9

，列方程求出

a

1

,q

，进而可求

8

出

S

n

，结合指数函数的性质求出

S

n

的最大、小值，列不等式组即可求出

a

的取值范围

【详解】解：设等比数列

a

n

的公比为

q

，

答案第

2

页，共

16

页

9

因为

a

1

2a

2

0

，

S

3

，

8

a

1

(1

2

q

)

0

31

所以

9

，解得

a

1

,

q

，

2

a

1

(1

q

q

)

22

8

3

1

1

2

2

n

1

1



2

1

1

2

n

所以

S

n

1

n

1



,

n

为奇数



2

，

n

1

1

2

,

n

为偶数



1

x

当x为正整数且奇数时，函数

y

()

1

单调递减，

2

1

x

当x为正整数且偶数时，函数

y

()

1

单调递增，

2

所以

n1

时，

S

n

取得最大值

3

3

，当

n2

时，

S

n

取得最小值，

2

4

3

a

13

4

所以

，解得

a

.

24

a

2

3

2

故选：B.

8．D

【分析】设

g

x

x

，根据已知作出

g

x

的草图，分析已知函数

f

x

x

x

a

x

x

0

有

且仅有2个零点，则

【详解】函数

f

x

则

x

x

a

有且仅有2个解，即可得出答案.

x

x

x

a

x

0

有且仅有2个零点，

x

a

有且仅有2个解，

x



x

n

,

n

x

n

1,

n

0

，根据符号

x

作出

g

x

的草图如下：

x

0,0

x

1

设

g

x

答案第

3

页，共

16

页

则

23

3

a

或

a2

，

34

2

故选：D.

9．AC

【分析】根据表格数据计算得到众数，中位数，平均数和标准差即可判断结果

【详解】由题意，这组运动时长数据中8出现了5次，其余数出现次数小于5次，

故众数为8，A正确；

将

16

小学生的运动时长从小到大排列为：

4,5,5,6,6,7,7,7,7,8,8,8,8,8,9,9

，

则中位数为

7

7

7

，故B错误；

2

1

4

2

5

2

6

4

7

5

8

2

9

7

，故C正确；

16

计算平均数为

2

方差为

s

1

222222

4

7

2

5

7

2

6

7

4

7

7

5

8

7

2

9

7

2

，

16

所以标准差为

ss

2

2

，故D错误.

故选：AC

10．CD

【分析】利用空间线面、面面平行、垂直的性质定理和判定定理分别分析四个命题，即可得

到正确答案.

【详解】

A

选项，若

m//

，

n//

，且

m//n

，则

,

可能相交或平行，故

A

错误；

B

选项，若

m//

，

n//

，且

mn

，则

,

可能相交，也可能平行，故

B

错误；

C

选项，若

m

，

m//n

，则

n

，又

n

，则

//

；即

C

正确；

，

mn

，若

m

，则

n//

或

n

；又

n

，根据面面垂直的判定定理可得：

D

选项，

即

D

正确

.

故选：CD.

11．ABD

【分析】根据椭圆的性质逐项进行分析即可判断.

x

2

y

2

【详解】由椭圆方程



1

可得：

a5,b3

，

ca

2

b

2

4

，

259

对于A，由椭圆的性质可得：

2acPF

1

ac9

，又因为点P在第一象限内，所以

5aPF

1

ac9

，所以存在点P，使得

PF

1

7

成立，故选项A正确；



对于B，设点

P(x

0

,y

0

)

，因为

F

1

(4,0),F

2

(4,0)

，所以

PF

1

(4x

0

,y

0

)

，

PF

2

(4x

0

,y

0

)

，

答案第

4

页，共

16

页



9

2

16

2222

x

0

x

0

7

，则

PF

1

PF

2

x

0

16

y

0

x

0

16

9

2525



16

2

2

x

0

7

(

7,9)

，因为

0x

0

5

，所以

0x

0

25

，所以

PF

1

PF

2

25



所以存在点P，使得

PF

1

PF

2

0

，则

F

1

PF

2

90

成立，故选项B正确；

对于C，因为

k

PF

1

y

0

y

0

，

k

PF

2

，若

k

PF

2

7

k

PF

1

，则

(3x

0

16)y

0

0

，因为点

P(x

0

,y

0

)

x

0

4

x

0

4

16

0

3

3x

0

160

，在第一象限内，所以

y

0

0,x

0

0

，则

(3x

0

16)y

0

0

可化为：解得：

x

0



不成立，所以不存在点P，使得

k

PF

2

7

k

PF

1

成立，故选项C错误；



16

2



PF

1

PF

2

x

0

7

(

7,9)

，对于D，由选项

B

的分析可知：所以存在点P，使得

PF

1

PF

2

7

25

成立，故选项

D

正确，

故选：ABD.

12．BD

【分析】利用诱导公式化简可得

f

xπ

f

x

，可判断选项A；利用换元法和函数的单



调性，可判断选项B和C；利用诱导公式化简可得

f

x

f

x

，可判断选项D．

2

π

【详解】对A：

f

x

π

sin2

x

π

sin

x

π

cos

x

π

sin

2

x

2π

sin

x

cos

x



sin2

x



fx

sin

x

cos

x

，故

π

不是

f

x

的周期，A错误；

π



对B：令

t

sin

x

cos

x

2sin

x

，则

sin2x2sinxcosxt

2

1

，

4



t

2

11

则

y



t

，

tt

π

π

π



ππ

∵

x

,

，则

x



0,

,sin

x

0,1

，

4

2

4



44

π

π

π

∴

t

2sin

x

在

0,

上单调递增，且

t

2sin

x

0,2

，

4

4

2

1

ππ

又∵

y

t

在

0,

上单调递增，故

f

x

在

,

上单调递增，B正确；

t

44



π

π3π

对C：∵

,

，则

x

0,π

，

4

44

π

π



∴

sin

x

0,1

，则

t

2sin

x

0,2

，

4

4



1

12

y

|

2



又∵

y

t

在

0,2

上单调递增，且，

x

2

t

2

2

答案第

5

页，共

16

页

1

2

∴

y

t

在

0,2

上最大值为，

t

2

π3π

2

即

f

x

在

,

上有最大值，C错误；

44



2

π

sin2

x

sin

π

2

x

sin2

x

π

2



fx

对D：

f

x

2

sin

π

x

cos

π

x

cos

x

sin

x

sin

x

cos

x



2



2

的一条对称轴为直线

x

，D正确.

故选：BD.

【点睛】结论点睛：

若

f

mx

f

nx

，则

f

x

关于直线

x

关于直线

xa

对称；

π

4

，故

f

x

图象

m

n

对称，特别地

f

x

f

2ax

，则

f

x

2

m

n

,

b

对称，特别地

f

x

f

2ax

0

，若

f

mx

f

nx

2b

，则

f

x

关于点

2

则

f

x

关于点

a,0

对称.

13．

7

##

1.4

5



uuuruuur

【分析】先以

OA,OB

为基底向量求

OE,OF

，联立求解可得



uur

6

uuur

3

uuuruuur

6

uuur

2

uuur



OAOEOF

,

OBOFOE

，再结合

OCOAOB

，代入运算即可得答案.

5555

uuuruuruuuruur

1

uuuruuuruuuruuuruuur

1

uur

【详解】由题意可得：

OEOAAEOAOB

,

OFOBBFOBOA

，

23

6



3





1







OA

OE

OF

OE

OA

OB

55

2

联立



，解得



1





6



2



，

OF

OB

OA

OB

OF

OE

3

55

uuuruuruuur

6

uuur

3

uuur



6

uuur

2

uuur

4

uuur

3

uuur

43

OC

OA

OB

OE

OF

OF

OE

OE

OF

m

,

n

∵，则

，



555

55

5



5

5

故

mn

7

.

5

7

.

5

故答案为：

14．

yx

3

x

（答案不唯一）

【分析】利用导数的几何意义可求得在

0,0

处的切线斜率，由此可得切线方程；若两曲线

在原点处具有相同切线，只需满足过点

0,0

且在

x0

处的导数值

y

1

即可，由此可得曲

答案第

6

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页


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分析,利用,函数,定理,公式,直线,存在