高三数学最大张角专题讲解

2024年4月8日发(作者：高二上学期数学试卷)

最大张角问题（米勒问题）

【问题背景】1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了一个十分有趣的问题：在地球表面的什

么位置，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视角最大？因此最大视角问题又称为“米勒问

题”。

米勒定理（最大张角）：已知点A、B是角MON的边ON上的一动点，则当且仅当三角形

ABC的外接圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。此时有OC²=OB×OA。请证明。

M

A

B

P

O

CN

【例题】

例1、【问题探究】

（1）如图1，AB是○O的弦，直线l与○O相交于点M、N两点，M1，M2是直线l上异

于点M，N的两个点，则∠AMB,∠AM1B，∠AM2B的大小关系是____（用＞号连接）

（2）如图2，AB是○O的弦，直线L与○O相切于点M，点M1是直线l上异于点M的

任意一点，请在图2中画出图形，试判断∠AMB，∠AM1B的大小关系，并说明理由。

（3）如图3，在平面直角坐标系中，已知点A（2,0），B（8,0），点P是y轴上的一

个动点，当∠APB最大时，求点P的坐标。

【解决问题】

（4）某游乐园的平面图如图4所示，场所保卫人员想在线段OD上的点M处安装监控装

置，用来监控OC边上的AB段，为了让监控效果达到最佳，必须要求∠AMB最大。

已知：∠DOC=60°，OA=400米，AB=200√3米，问在线段OD上是否存在一点M，使得

∠AMB最大，若存在，请求出此时OM的长和∠AMB的度数，如果不存在，请说明理由。

例2.如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC＝60°，AD＝8，

BC＝12.

(1)如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为__________；

(2)如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；

(3)如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？若

存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由．

【练习】

1、如图，面积为24的平行四边形ABCD中，BC=4，E是直线AD上一点，连接BE、CE，

则sin∠BEC的最大值为___.

A

E

D

2、如图,在平面直角坐标系中,A(0,2)、B(0,4)，在x轴正半轴上是否存在一点P，使

得COS∠APB最小?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

y

B

C

B

A

O

P

x

3、如图，矩形ABCD为足球场示意图，其中球门EF宽为8米，一球员从距离F点18米

的点B（点A,B,E,F均在球场底线上），沿与AB成45°角的BG方向带球，试问，该

球员能否在射线BG上找到一点P，使得点P为最佳射门点（即∠EPF最大）若能找到，

求出此时PB的距离；若找不到，说明理由。

A

E

F

B

D

G

C

4、如图，四边形ABCD中，AB=40，BC=20√(3)，AD=35，∠B=90°，∠A=60°，

请在AD边上找一点P，使∠BPC最大，并求出此时DP的长和sin∠BPC的值。

C

D

60°

A

B

5.如图，矩形ABCD中,AB=3，BC=4，E为BC的中点，点P是BD上的一个动点，当∠

EPC最大时，请求出△APD的面积