高等数学竞赛试题2答案

2023年12月16日发(作者：初二数学试卷视频教程)

高等数学竞赛试题2答案

一、选择题

1. 下列命题中正确的命题有几个？„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（ A ）

（1）无界变量必为无穷大量； (2) 有限多个无穷大量之和仍为无穷大量；

（3）无穷大量必为无界变量； (4) 无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量.

(A) 1个； (B) 2个； (C) 3个； (D) 4个.

2. 设

11, x0xsin, x0，g(x)f(x)x0, x01 , x0 则x0是间断点的函数是„„„„„„„„„„（ B ）

(A)

f(x)g(x)； (B)

f(x)g(x)； (C)

maxf(x), g(x)； (D)

minf(x), g(x) ..

3. 设为f(x)arctanx在[ 0, b]上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则

lim

b02b2（ C ）

„„„„(A) 1； (B) ； (C) ； (D) .

4. 设f(x) , g(x)连续，当x0时，f(x)与g(x)为等价无穷小，令F(x)0f(xt)dt，

F(x) 是 G(x)的 „„„„„„„„„„„„„„

G(x)x g(xt) dt, 则当x0时，（ D ）

01x121314(A) 高阶无穷小； (B) 低阶无穷小； (C) 同阶无穷小但非等价无穷小；(D) 等价无穷小.

5. 设f(x,y)在点(0,0)的某邻域内连续，且满足

lim

x0y0f(x,y)f(0,0)3则f(x,y)在点(0,0)x21xsinycos2y处 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ （ A ）

(A) 取极大值； (B) 取极小值； (C) 无极值； (D) 不能确定是否有极值.

6. 设f(x)在(,)连续，且导函数yf(x)的图形如图所示，则f(x)有„„„„„„ （ D ）

(A) 1个极小值点与2个极大值点，无拐点；

(B) 2个极小值点与1个极大值点，1个拐点；

(C) 2个极小值点与2个极大值点, 无拐点；

(D) 2个极小值点与2个极大值点，1个拐点.

7. 设f有连续的一阶导数，则

(0,0)f(xy)dxf(xy)dy „„„„„„„„„„„ （ B ）

(A)

20f(x) dx； (B)

013(1,2)f(x) dx； (C)

f(3)f(0)； (D) 0 .

8. 设任意项级数

an条件收敛，将其中的正项保留负项改为0所组成的级数记为bn, 将其中n1n1的负项保留正项改为0所组成的级数记为cn，则bn与cn„„„„„„„„（ B ）

n1n1n1(A) 两者都收敛； (B) 两者都发散； (C)一个收敛一个发散；

可能发生.

(D) 以上三种情况都1

二、设f(x)在区间(,)连续，F(x)x1xaf(t) dt (a>0), G(x)0f(t) dt,

2axa试解答下列问题：（1）用G(x)表示F(x)；（2）求F(x)；（3）求证：lim F(x)f(x)；

a0（4）设f(x)在xa,xa内的最大值和最小值分别是M、m,求证：F(x)f(x)Mm.

xa1xa1xa1f(t)dt[f(t)dtf(t)dt][G(xa)G(xa)]

02axa2a02a11（2）F(x)[G\'(xa)G\'(xa)][f(xa)f(xa)]

2a2aG(xa)G(xa)[G(xa)G(x)][G(x)G(xa)]（3）limF(x)lim

lima0a0a02a2a1[G\'(x)G\'(x)]G\'(x)f(x)

21xa1（4）|F(x)f(x)||f(t)dtf(x)||[(xa)(xa)]f()f(x)|

2axa2a|f()f(x)|Mm(xaxa)

解（1）F(x)三、求曲线

lnx  lny 1 所围成的平面图形的面积.

xye,x1且y1,y1x,x1且0y1e[解1]去掉绝对值曲线为：

yex,0x1且y11xy,0x1且0y1e1ee1x1A1(ex)dx()dxe

1xexeeex[解2]令lnxu,lnyv,则xe,ye,D:|u||v|1,Juyuuvxveuyv00euev.

vedxdy|J|dudvDDuveedudvD01euduu1u1evdveudu011evdve.

u1e1u

四、设曲面S为曲线

zeyx0 (1y2) 绕z轴旋转一周所成曲面的下侧，计算曲面积分

I4zx dydz2z dzdx(1z2) dxdy

S[解1]S的方程为zex2y2(1x2y24)

补两平面S1:ze(x2y21,下侧)S2:ze2(x2y24,上侧)

e2e254222zdzd2zdV2zlnzdzee

eDe22(z)SS1S2V4zxdydz2zdzdx(1z)dxdy(1e)dxdy(1e)(eS1Dxy44(1e)dxdy4(1e);IS2DxySS1S222221)；

S1S252ee(e21)4(1e)

22

2 432ee3

2[解2]I(4zx,2z,1z2)(zx,zy,1)dxdy

DeD2x2y24x22y1dxdydxdy2222xyDxy20de2r(4rcos22sin1)rdr(41)12

13432ee322(D:1x2y24)

五、设幂级数

anxn, 当n1时an2n (n1) an，且a04, a11;

n0（1）求幂级数anxn的和函数S(x)；（2）求和函数S(x)的极值..

n0解（1）令S(x)anx,则S(x)nanxn1

nn0n1S(x)n(n1)anxn2n2an2xn2n2anxnS(x)，S(x)S(x)0

n05353S(x)c1exc2ex由S(0)a04,S(0)a11，求得c1,c2,S(x)exex

2222531313（2）由S(x)exex0得x0ln,又S(x0)0,S(x0)为极小值S(ln)15.

222525

1f ( 0, y )fcotynlim

六、设函数f(x,y)可微，f(x,y), f0,1, 且满足ne 求

f(x,y).

f0,yx2f(0,y)f(0,y)11nlimfy(0,y)f(0,y)f(0,y)f(0,y)1nf(0,y)nnnef(0,y)

lim1e解

limnnf(0,y)f(0,y)fy(0,y)dlnf(0,y)coty，对y积分得lnf(0,y)lnsinylncf(0,y)csiny

f(0,y)dyf代入f(0,)1得c1，f(0,y)siny又已知ff(x,y)c(y)ex，

2xxf(0,y)siny，c(y)siny故f(x,y)esiny.

nn1n3

七、如图所示，设河宽为a，一条船从岸边一点O出发驶向对岸，船头总是指向对岸与点O相对的一点B。假设在静水中船速为常数

V1，河流中水的流速为常数

V2，试求船过河所走的路线(曲线方程)；并讨论在什么条件下（1）船能到达对岸；（2）船能到达点B.

解 如图所示，设P(x,y)为船在要时刻的位置

dxdy此时两个分速度为v2v1sinv1cos(0)，

dtdt2v1cosvdycos1(k2)

消去t得

dxv2v1sinksinv1ksectanx(ay)x，又tan,代入得,则secayaydyay(路线满足的微分方程)令ayux，则有

dxkx2(ay)2x22duudx11111u2ux,du积分lnxlnlnulnc

dxk1u21xku1u2ukuayaay1kay1k(ay)kc由y(0)0得ca,化简得x[()()]

222aaxx(ya)讨论：①当1k0,.即k1,v2v1时,则limx0,可到点B(0,a);

yaaa②当1k0,即k1,v2v1,1k2时,则limx,可达对岸点(,a)

ya22③当1k0即k1,v2v1,1k2时,limx不,不能对达对岸.

ya

4