江苏省历年高等数学竞赛试题(打印版)

2023年12月16日发(作者：数学试卷长沙)

江苏省历年高等数学竞赛试题(打印版) 2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）

一 填空题（每题4分，共32分）

xsin(sinx)

x0sinxln(x1x2)/2.y，y

21x3.ycos2x，y(n)(x)

4.5.1xxedx

2x21dx

41x2x2yz206.圆2的面积为

22xyz4x2y2z19x7.zf(2xy,)，f可微，f1/(3,2)2,f2/(3,2)3，则dzy(x,y)(2,1)

1(1)nn!8.级数的和为 .

n2n!n1二.（10分）

设f(x)在a,b上连续，且bf(x)dxxf(x)dx，求证：存在点a,b，使得aabba

.

f(x)dx0 三．（10分）已知正方体ABCDA1B1C1D1的边长为2，E为D1C1的中点，F为侧面正方形BCC1B1的中点，（1）试求过点A1,E,F的平面与底面ABCD所成二面角的值。（2）试求过点A1,E,F的平面截正方体所得到的截面的面积.

四（12分）已知ABCD是等腰梯形，BC//AD,ABBCCD8,求AB,BC,AD的长，使得梯形绕AD旋转一周所得旋转体的体积最大。

七.（12分）已知数列an单调增加，a11,a22,a35,,an13anan1

n2,3,,记x1na，判别级数xn的敛散性.

nn1

2008年江苏省普通高等学校非理科专业

一、填空题（每小题5分，共40分）

ax2xlimarctanx.xbxx21）a___,b____时，

n1lim__________.nk(k3)k12）

3）设f(x)x(x1)(x2)4）a___,b____时，高.

(x100),则f(100)_______.

f(x)axx2x1bx在x0时关于x的无穷小的阶数最5）6）20sin2xcos3xdx_______.x2dx_______.(1x2)2

(2,1)

1xnzz,xy则yn7）设_________.

8）设D为yx,x0,y1所围区域，则Dx1,xn16xn(n1,2x二、（8分） 设数列n为：1敛，并求其极限

arctanydxdy_________.)

，求证：数列xn收 (a0),f(x)dx0,a三、（8分） 设函数f(x)在[a,b]上连续求证：存在(a,b),b使得a

f(x)dxf().

222(xb)ya(0ab)绕直线x3b旋转一周xy四、（8分） 将平面上的曲线得到旋转曲面，求此旋转曲面所围立体的体积.

2x2y2,(x,y)(0,0);xy4f(x,y)xy20,(x,y)(0,0).五、（8分） 设 讨论f(x,y)在(0,0)处的连续性、可偏导性、可微性.

2224x4yz1 与平面

xyz0的交线在xy平面上六、（10分） 已知曲面

的投影为一椭圆，求此椭圆面积.

1lim4七、（8分） 求t0tdxsin(y0xtt2)dy.

八、（10分）

x2y21dxdy,求

这里

D:x2y2D2x,0yx. 2006年江苏省高等数学竞赛试题（本科一、二级）

一.填空（每题5分，共40分）

1.fxax，lim2.

lim3.

x31lnf1f2nn4fn

x0011tx2e1dt

5x22arctanx01xdx

4.已知点A4,0,0,B(0,2,0),C(0,0,2),O为坐标原点，则四面体OABC的内接球面方程为

5. 设由xzeyz确定zz(x,y)，则dze,0

6.函数fx,yexaxby2中常数a,b满足条件 时，f1,0为其极大值.

7.设是yasinx(a0)上从点0,0到,0的一段曲线，a 时，曲线积分x2ydx2xyeydy取最大值.

28.级数1n1n1n1n条件收敛时，常数p的取值范围是

np二.（10分）某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶，经2小时到达乙地停止，一路畅通，若开车的最大速度为100公里/小时，求证：该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于200公里/小时3

三.（10分）曲线的极坐标方程为1cos0，求该曲线在所对24应的点的切线L的直角坐标方程，并求切线L与x轴围成图形的面积.

四（8分）设f(x)在,上是导数连续的有界函数，求证：fx1.x,

fxfx1， 五（12分）本科一级考生做：设锥面z23x23y2(z0)被平面x3z40截下的有限部分为.（1）求曲面的面积；（2）用薄铁片制作的模型，A(2,0,23),B(1,0,3)为上的两点，O为原点，将沿线段OB剪开并展成平面图形D，以OA方向为极坐标轴建立平面极坐标系，写出D的边界的极坐标方程.

本科二级考生做：设圆柱面x2y21(z0)被柱面zx22x2截下的有限部分为用薄铁片制作的模型，A(1,0,5),B(1,0,1),C1,0,0为.为计算曲面的面积，上的三点，将沿线段BC剪开并展成平面图形D，建立平面在极坐标系，使D位于x轴正上方，点A坐标为0,5，写出D的边界的方程，并求D的面积.

x22z六（10分）曲线绕z轴旋转一周生成的曲面与z1,z2所围成的立体区域y0记为，

本科一级考生做1dxdydz

222xyz本科二级考生做x2y2z2dxdydz



七（10分）本科一级考生做1）设幂级数an2xn的收敛域为1,1，求证幂级数n1annx的收敛域也为1,1；2）试问命题1）的逆命题是否正确，若正确给出证nn1明；若不正确举一反例说明.

本科二级考生做：求幂级数

n2nx1的收敛域与和函数

nn12 2004年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）

一.填空（每题5分，共40分）

1.

fx是周期为的奇函数，且在x0处有定义，当x0,时，2fxsinxcosx2，求当x,时，fx的表达式 .

22.

limsinxxtan2x

n

n2n22nn23.

lim2nn1n44.

fxx2ln1x,n2时fn0

5.

ex1xxex2dx

6.n .

nn12n17.设fx,y可微，f1,22,fx1,23,fy1,24，xfx,fx,2x，

则1 .

x0x18. 设fxgx，D为x,y，则

其他0fyfxydxdy .

D

二．（10分）设fx在a,b上连续，fx在a,b内可导，f(a)a,，

bafxdx12ba2,求证：

a,b内至少存在一点使得ff1

2三.（10分）设D:y2x24,yx,2xy4，在D的边界yx上任取点P,设P到原点距离为t，作PQ垂直于yx，交D的边界y2x24于Q

1）试将P,Q的距离PQ表示为t的函数；

2）求D饶yx旋转一周的旋转体的体积

四（10分）已知点P(1,0,1),Q(3,1,2),在平面x2yz12上求一点M，使PMMQ最小

五（10分）求幂级数n1n1n3n2nx的收敛域。

六（10分）设fx,y可微，f1,22,fx1,22,fy1,23，

xffx,2x,2fx,2x，求1.

七（10分）求二次积分2d21e20d

2

2002年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）

一.填空（每题5分，共40分）

ex0xkxcc0，则k ，c

2. 设fx在1,上可导，下列结论成立的是

A. 若limfx0，则fx在1,上有界

xB. 若limfx0，则fx在1,上无界

xC. 若limfx1，则fx在1,上无界

x3. 设由eyxyx1x确定yy(x)，则y0

4.arcsinxarccosxdx

zx2y25. 曲线2，在点1,1,2的切线的参数方程为

2xy2yy6.设zfgex,siny，f有二阶连续导数，g有二阶连续偏导数，

x2z则

xy7. 交换二次积分的次序dx2fx,ydy .

0x13x18.幂级数12n11xn的收敛域

n二.（8分）设fx在0,上连续，单调减少，0ab，

求证af(x)dxbf(x)dx

00ba

三.（8分）设fx在a,b上连续，f(x)dxf(x)exdx0，求证:

fx在a,baabb内至少存在两个零点.

四.（8分）求直线x1yz绕y轴旋转一周的旋转曲面方程，求求该曲面与211y0,y2所包围的立体的体积.

1五.（9分）设k为常数，试判断级数k的敛散性，何时绝对收敛？何时条2n2nlnnn件收敛？何时发散？

六.（9分）设fx,yyarctan1x2y20续性，可偏导性？可微性.

x,y0,0讨论fx,y在点0,0处连x,y0,0 七.（9分）设fu在u0可导，f00,:x2y2z22tz，

求limt01t5fx2y2z2dxdydz

八.（9分）设曲线AB的极坐标方程为1cos，一质点P在力F作22用下沿曲线AB从A0,1运动到B0,1，力F的大小等于P到定点M3,4的距离，其方向垂直于线段MP，且与y轴正向的夹角为锐角，求力F对质点P做得功.

2000年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）

一.填空（每题3分，共15分）

. 1.设fxxx，则ffx

xxx 2.

limx1lnxx13. 已知

4.d1fx2，则fx

xdxx14x514dx

yz5..设zzx,y由方程F,0确定（F为任意可微函数），

xx则xzzy

xy二选择题（每题3分，共15分）

1.对于函数y21211x1x，点x0是（ ）

A. 连续点； B. 第一类间断点；C. 第二类间断点；D可去间断点

x2.已知函数yfx对一切x满足xfx3x若fx00(x00)，fx1e，2则（ ）

A.

fx0是fx的极大值； B.

x0,fx0是曲线yfx的拐点；

C.

fx0是fx的极小值；

Dfx0不是fx的极值，x0,fx0也不是曲线yfx的拐点

3.

limx23xx2x32x3（ ）

A. 等于1； B. 等于0；C. 等于1；D不存在，但也不是 4.若fxx0,y0,fyx0,y0都存在，则fx,y在x0,y0

A. 极限存在，但不一定连续； B. 极限存在且连续；

C. 沿任意方向的方向导数存在； D 极限不一定存在，也不一定连续

5.设为常数，则级数n1sinn1n2n

A. 绝对收敛 B. 条件收敛；

C. 发散； D 收敛性与取值有关

三（6分）求lim1nn11n21nn

6分）已知函数yy(x)由参数方程xt(1t)0d2四（yteyy10确定，求dx2t0

五（6分）设fx,gx在a,b上连续，在a,b内可导且对于a,b一切x均有fxgxfxgx0，证明若fx在a,b内有两个零点，则gx至少存在一个介于这两个零点之间的零点。

1x0六（6分）设fx1x，求120fx1dx。

1exx0

七（6分）已知zuv，xeucosv,yeusinv，求zx,zy

八（8分）过抛物线yx2上一点a,a2作切线，问a为何值时所作的切线与抛物线yx24x1所围成的平面图形面积最小。

九（8分）求级数nx1n的收敛域及和函数.

n1

十（8分）设fx在a,b上连续且大于零，利用二重积分证明不等式：

bafxdxba12dxba

fx十一（8分）计算曲线积分Ix44xy3dx6x2y25y4dy，其中L为曲线Ly21x3上点A(2,1)沿逆时针方向到该曲线上点B3,0的一段曲线。

5

十二（8分）计算曲面积分4zxdydz2zydzdx1z2dxdy，其中为曲面zey(0ya)绕z轴旋转一周所成曲面之下侧