2023年12月17日发(作者：巴中历届中考数学试卷)
【数学建模笔记22】数学建模的模糊数学模型
定义
模糊数学就是用数学方法研究与处理模糊现象的数学。
现实的数学模型可以分为三大类：
确定性数学模型：模型背景具有确定性，对象之间具有必然关系；
随机性数学模型：模型背景具有随机性和偶然性。
模糊性模型：模型背景具有模糊性。
被讨论的对象全体称论域，用
U,V
等表示。
/
A
。对于论域
U
的每个元素和某一子集
A
，在经典数学中，要么
x∈A
，要么
x∈
在模糊数学中，称没有明确边界的集合为模糊集合，元素属于模糊集合的程度用隶属度表示，计算隶属度的函数称隶属函数。
论域
U
到
[0,1]
闭区间上的任意映射
M:U→[0,1],u→M(u),
都确定了
U
上的一个模糊集合，
M(u)
称隶属函数，记
M={(u,M(u)∣u∈U}
，使得
M(u)=0.5
的点称过渡点，最具模糊性。
指派法
指派法是一种主观方法，依据人们的实践经验确定隶属函数。一些常用分布如：
矩阵型
1,a≤x≤b,
M(x)={
0,xb.
梯形型
M(x)=
x−a
⎧
⎪
b−a,a≤x≤b,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
1,b ⎨ d−x ⎪ d−c,c ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0,xd. ⎩ k 次抛物型 M(x)= x−a ⎧ ⎪ (b−a) k ,a≤x≤b, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1,b ⎨ d−x k ⎪ (d−c),c ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0,xd. ⎩ Γ 型 k(x−a) ⎧ e,x ⎪ ⎪ ⎨ 1,a≤x≤b, ⎪ ⎪ e −k(x−b) ,x>b. ⎩ M(x)= 正态型 x−a M(x)=exp[−( σ ) 2 ] 模糊矩阵 设 U={x 1 ,x 2 ,…,x m },V={y 1 ,y 2 ,…,y n } ， R 为从 U 到 V 的模糊关系，隶属函数为 μ R (x,y) ，对任意 (x i ,y j )∈U×V ，有 μ R (x i ,y j )=r ij ∈ [0,1], 记 R=(r ij ) m×n 为模糊矩阵。 模糊模型识别最大隶属度原则 设 A i ∈F(U),i=1,2,…,n ，对 u 0 ∈U ，若存在 i 0 ，使 A i0 (u 0 )=max{A 1 (u 0 ),A 2 (u 0 ),…,A n (u 0 )}, 则认为 u 0 相对隶属于 A i 。 例子 考虑人的年龄问题，分年轻、中年、老年三类，对应三个模糊集 A 1 ,A 2 ,A 3 ，设论域 U=(0,100] ，且对 x∈(0,100] 有 A 1 (x)= 1,0 ⎧ x−20 ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ 1−2( 20 ),20 ⎨ x−40 2 2( 20 ),30 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0,40 ⎩ A 3 (x)= 1,0 ⎧ x−50 ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ 2( 20 ),50 x−70 ⎨ 1−2( 20 ) 2 ,60 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1,70 ⎩ A 2 (x)=1−A 1 (x)−A 3 (x). 若某人 35 岁，代入得 A 1 (35)=0.125,A 2 (35)=0.875,A 3 (35)=0, 可见 35 岁属于中年。 择近原则 设 A i ,B∈F(U) ，若存在 i 0 使 N(A i0 ,B)=max{N(A 1 ,B),N(A 2 ,B),…,N(A n ,B)} 则认为 B 与 A i0 最贴近，判定为一类。其中 N(A,B) 表示 A,B 的贴进度。 贴近度 贴进度是对两个模糊集接近程度的度量。 海明贴近度若 U={u 1 ,u 2 ,…,u n } ，则 1 ∑ N(A,B) = 1− n i=1 ∣A(u i )− B(u i )∣, Δ n 若 U=[a,b] ，则 1 Δ N(A,B) = 1− b−a ∫ a ∣A(u)− B(u)∣du. b 欧几里得贴近度 若 U={u 1 ,u 2 ,…,u n } ，则 1 ∑ Δ N(A,B) = 1− n ( i=1 ∣A(u i )− B(u i )∣) 1/2 , n 若 U=[a,b] ，则 b 1 b−a ( ∫ a ∣A(u)− B(u)∣du) 1/2 . Δ N(A,B) = 1− 黎曼贴近度 若 U=(−∞,+∞) ，则 +∞ ∫ −∞ (A(u) Δ N 1 (A,B) = ∧B(u))du , (A(u)∨B(u))du N 2 (A,B) +∞ −∞ 2∫(A(u)∧B(u))du +∞+∞ Δ ∫ −∞ A(u)du+ ∫ −∞ B(u)du = . 例子 设集合 A 1 =(0.4,0.3,0.5,0.3) , A 2 =(0.3,0.3,0.4,0.4) , B=(0.2,0.3,0.4),0.3 ，确定 B 属于哪一类。 由欧几里得贴近度有 N(B,A 1 )=0.8882,N(B,A 2 )=0.9293,N(B,A 3 )=0.95, 因此 B 属于 A 3 类。 模糊聚类 构造模糊矩阵设全体为论域 U={u 1 ,u 2 ,…,u n } ，对象 u i 的特性由 m 个指标表示，记 a i =[a i1 ,a i2 ,…,a im ] ，得 A=(a ij )n×m, 如果需要，作标准化处理得 B=(b ij )n×m. 计算 u i ,u j 的模糊相似系数，构造模糊相似矩阵 R=(r ij ) n×n . 计算模糊相似系数的方法有： 夹角余弦法 m ∑ k=1 b ik b jk m 2 m 2 ∑ k=1 b jk ∑ k=1 b ik r ij = . 相关系数法 r ij = ∑ k=1 ∣b ik − b i ∣∣b jk − b j ∣ mm ∑ k=1 (b ik − b i ) 2 ∑ k=1 (b jk − b j ) 2 m . 距离法 r ij = 1−c(d(u i ,u j )) α , 选取适当 c,α 使 0≤r ij ≤ 1 ，并选取适当距离公式 d(u i ,u j ) 。 最大最小法 ∑ k=1 min(b ik ,b jk ) m ∑ r ij = k=1 max(b ik ,b jk ) m 算术平均最小法 ∑ k=1 min(b ik ,b jk ) m 1 ∑ r ij = 2 k=1 (b ik +b jk ) m 几何平均最小法 ∑ k=1 min(b ik ,b jk ) m b ik b jk ∑ k=1 r ij = m构造模糊等价矩阵 构造得到的 R 一般只满足自反性和对称性，采用平方法求出 R 的传递闭包 t(R) 。 对于矩阵 R n×n ，计算 R 2 =R∘R=(r ij ) 2 其中 r ij = 2 max k {min{r ik ,r kj }}, k=1,2,…,n. 迭代计算 R→R 2 → ⋯→R 2 →… ， 直到出现 R k ∘R k =R k ，即有 t(R)=R k 。 i 聚类 对于 t(R) 的每个元素 tr ij ，取不同阈值 λ 时，若 KaTeX parse error: Undefined control sequence: tr at position 1: tr_{ij}gelambda，认为 u i ,u j 属于一类，反之不属于一类，从而画出聚类图。 例子 有五个类 I=(5,5,3,2) ， II=(2,3,4,5) ， III=(5,5,2,3) ， IV=(1,5,3,1) ， V=(2,4,5,1) 。使用距离法求相似系数 r ij = 1−0.1 k=1 ∣a ik − a jk ∣, ∑ 4 得相似矩阵 ⎛ 1 ⎜ 0.1 ⎜ 0.8 ⎜ ⎜ 0.5 ⎝ R= 0.3 0.1 1 0.1 0.2 0.4 0.8 0.1 1 0.3 0.1 0.5 0.2 0.3 1 0.6 0.3 ⎞ 0.4 ⎟ 0.1 ⎟ ⎟ 0.6 ⎟ 1 ⎠ , 平方法求传递闭包得 ⎛ 1 ⎜ 0.4 ⎜ 0.8 ⎜ ⎜ 0.5 ⎝ t(R)= 0.5 0.4 1 0.4 0.4 0.4 0.8 0.4 1 0.5 0.5 0.5 0.4 0.5 1 0.6 0.5 ⎞ 0.4 ⎟ 0.5 ⎟ ⎟ 0.6 ⎟ 1 ⎠ 于是有： 0≤λ≤0.4,{I,II,III,IV,V} ； 0.4<λ≤0.5,{I,III,IV,V},{II} ； 0.5<λ≤0.6,{I,III},{IV,V},{II} ； 0.6<λ≤0.8,{I,III},{II},{IV},{V} ； 0.8<λ,{I},{II},{III},{IV},{V} 。 模糊综合评价 1. 确定指标集 I={x 1 ,x 2 ,…,x p } 和权重向量 W=(w 1 ,w 2 ,…,w p ) ； 2. 建立评语集 V={v 1 ,v 2 ,…,v s } ； 3. 建立评价向量，获得评价矩阵 R=(r ij ) p×s ； 4. 合成模糊综合评价结果向量，得到结果向量 A W∘R=(a 1 ,a 2 ,…,a s )=A. 对于 ∘ 算子，通常有以下 4 种： Δ M(∧,∨) a k = max j {min(w j ,r jk )}, M(⋅,∨) b k = max j {w j ⋅r jk }, M(∧,+) M(⋅,+) Python 代码 模糊聚类 对模糊聚类中的例子求解并画聚类图，代码如下： b ∑ k = j min(w j ,r jk ), b p k =sum j=1 w j r jk . #! /usr/bin/env python # -*- coding: utf-8 -*- # @ author: Koorye # @ date: 2021-7-29 # @ function: 模糊聚类 # %% import numpy as np import pandas as pd from chy import dendrogram, linkage # %% # 距离公式 def dist(x, y): return ((x - y)) # 源数据 A = ([[5, 5, 3, 2], [2, 3, 4, 5], [5, 5, 2, 3], [1, 5, 3, 1], [2, 4, 5, 1]]) # 构造相似模糊矩阵 num = len(A) R = ((num, num)) for i in range(len(A)): for j in range(len(A)): R[i, j] = 1 - .1 * dist(A[i, :], A[j, :]) print(\'R =n\',R) # %% # 平方法求传递闭包 def tr(R): R2 = () for row in range(len(R)): for col in range(len(R)): r_list = [] for i in range(len(R)): r_(([R[row, i], R[i, col]])) R2[row, col] = (r_list) return R2 R_old = R R = tr(R) while ((R-R_old)) > 1e-4: R_old = R R = tr(R) print(\'t(R) =n\', R) # %% # 画聚类图 R2 = (1-R, 1) R2 = R2[R2!=0] Z = linkage(R2) dendrogram(Z, labels=[\'I\',\'II\',\'III\',\'IV\',\'V\']) 输出如下：R = [[1. 0.1 0.8 0.5 0.3] [0.1 1. 0.1 0.2 0.4] [0.8 0.1 1. 0.3 0.1] [0.5 0.2 0.3 1. 0.6] [0.3 0.4 0.1 0.6 1. ]]t(R) = [[1. 0.4 0.8 0.5 0.5] [0.4 1. 0.4 0.4 0.4] [0.8 0.4 1. 0.5 0.5] [0.5 0.4 0.5 1. 0.6] [0.5 0.4 0.5 0.6 1. ]]
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