北师大版数学九上知识点(全面总结)

2024年3月11日发(作者：武汉中考2023 数学试卷)

九年级数学上册知识点归纳(最新北师大版)

(八下前情回顾)

※平行四边的定义：

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它 的

对角线.

※平行四边形的性质：

平行四边形的对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分，是中心对称图形(对称中心是对 角

线的交点)，对角线分成的四个三角形面积相等(且有两全等)，而积二底x高(s=ah).

补充：(中心对称图形)过对称中心的任意一条直线都可将其面积平分.

※平行四边形的判别方法：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.

※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距 离

相等.这个距离称为平行线之间的距离.

第一章特殊平行四边形

1.菱形的性质与判定

菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形是特殊的平行四边形.

※菱形的性质：

(1)具有一般平行四边形的一切性质，且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对 角线

平分一组对角.

(2)菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，也是中心对称图形.对角线分成的 四

个小直角三角形全等.

而积=底X高=上对角线乘积(S二ah二-be) 2 2

注意；在60。的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的6倍.

※菱形的判别方法：

(1)四条边都相等的四边形是菱形.

(2) 一组邻边相等的平行四边形是菱形.

(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

2 .矩形的性质与判定

※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形.矩形是特殊的平行四边形.

※矩形的性质：

具有一般平行四边形的一切性质，且对角线相等，四个角都是直角(矩形既是中心对称图形, 又

是轴对称图形，有两条对称轴，是分别过对边中点的两条直线)；而积二长X宽(S=ab).

※矩形的判定：

(1)有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义).

(2)对角线相等的平行四边形是矩形.

(3)四个角都相等的四边形是矩形.

※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

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※推论的逆命题：如果一个三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角 三

角形，且这条边为直角三角形的斜边.

3 .正方形的性质与判定

正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形.

※正方形的性质：正方形具有一般平行四边形、矩形、菱形的一切性质(正方形既是中心对 称

图形，也是轴对称图形，有四条对称轴)；对角线分成的四个等腰直角三角形全等；而积二 边

长的平方二上对角线的平方(S=a

2

= -b

2

)

2 2

※正方形常用的判定：

(1)有一个内角是直角的菱形是正方形：

(2)邻边相等的矩形是正方形：

(3)对角线相等的菱形是正方形：

(4)对角线互相垂直的矩形是正方形.

正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图所示)：

【补充一】

梯形

L梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形.

一般梯形

2 .梯形的分类:

⑴直角梯形

特殊梯彩

(2)等腰梯形

⑴直角梯形：有一个角是直角的梯形；

⑵等腰梯形：两腰相等的梯形；

①等腰梯形的性质：

a.等腰梯形两腰相等，两底平行；

b.等腰梯形同一底边上的两个角相等：

c.等腰梯形的两条对角线相等.

&等腰梯形是轴对称图形，它只有1条对称轴，过两底中点的直线是它的对称轴.

②等腰梯形的判定：

a.两腰相等的梯形是等腰梯形：

b.在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形：

c.对角线相等的梯形是等腰梯形。

提示：等腰拂形的判定思路：先证四边形为梯形(即一组对边平行且不等或另一组对边不平 行)，

再证两腰相等或同一底上的两个角相等.

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