2023年12月13日发(作者：广东肇庆怀集数学试卷)

第一章 n阶行列式

在初等数学中讨论过二阶、三阶行列式，并且利用它们来解二元、三元线性方程组. 为了研究n元线性方程组，需要把行列式推广到n阶，即讨论n阶行列式的问题. 为此，下面先介绍全排列等知识，然后引出n阶行列式的概念.

§1 全排列及其逆序数

先看一个例子.

引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

解 这个问题相当于说，把三个数字分别放在百位、十位与个位上，有几种不同的放法？

显然，百位上可以从1、2、3三个数字中任选一个，所以有3种放法；十位上只能从剩下的两个数字中选一个，所以有两种放法；

个位上只能放最后剩下的一个数字，所以只有1种放法. 因此，共有3216种放法.

这六个不同的三位数是：

123，132，213，231，312，321.

在数学中，把考察的对象，如上例中的数字1、2、3叫做元素. 上述问题就是：把3个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？

对于n个不同的元素，也可以提出类似的问题：把n个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？

把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列，简称排列.

n个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn表示. 有引例的结果可知 P3

= 3

.

2

.

1 = 6 .

1 为了得出计算Pn的公式，可以仿照引例进行讨论：

从n个元素中任取一个放在第一个位置上，有n种取法；又从剩下的n－1个元素中任取一个放在第二个位置上，有n－1种取法；

这样继续下去，直到最后只剩下一个元素放在第n个位置上，只有1种取法. 于是

Pn=n

.（n－1）. … .

3

.

2

.

1 = n! .

对于n个不同的元素，我们规定各元素之间有一个标准次序（例如n个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数.

逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列.

下面我们来讨论计算排列的逆序数的方法.

不失一般性，不妨设n个元素为1至n这n个自然数，并规定由小到大为标准次序. 设

p1p2pn

为这n个自然数的一个排列，考虑元素

pi(i1,2,,n)，如果比pi大的且排在pi前面的元素有ti个，就说pi这个元素的逆序数是ti.

全体元素的逆序数之总和

tt1t2tnti，

i1n即是这个排列的逆序数.

例1 求排列32514的逆序数.

解 在排列32514中，

2 3排在首位逆序数为0；

2的前面比2大的数只有一个“3”，故逆序数为1；

5是最大数，逆序数为0；

1的前面比1大的数有三个“3、2、5”，故逆序数为3；

4的前面比4大的数只有一个“5”，故逆序数为1；

于是排列的逆序数为

t010315.

§2

n阶行列式的定义

为了给出n阶行列式的定义，我们先研究三阶行列式的结构. 三阶行列式定义为：

a11a12a13a21a22a23a11a22a33a12a23a31a13a21a32a31a32a33a11a23a32a12a21a33a13a22a31.(1)

容易看出：

①（1）式右边的每一项都恰是三个元素的乘积，这三个元素位于不同的行、不同的列. 因此，（1）式右端的任意项除正负号外可以写成a1p1a2p2a3p3. 这里第一下标（称行标）排成标准排列123，而第二个下标（称列标）排成p1p2p3，它是1、2、3三个数的某个排列.

这样的排列共有6种，对应（1）式右端共含6项。

② 各项的正负号与列标的排列对照：

带正号的三项列标排列是：123，231，312；

带负号的三项列标排列是：132，213，321.

经计算可知前三个排列都是偶排列，而后三个排列都是奇排列.

3 因此各项所带的正负号可以表示为(1)，其中t为列标排列的逆序数.

总之，三阶行列式可以写成

ta11a12a13a21a22a23(1)ta1p1a2p2a3p3，

a31a32a33其中t为排列p1p2p3的逆序数，排列p1p2p3取和.

仿此，我们可以把行列式推广到一般情形.

定义 设有n个数，排成n行n列的表

2表示对1、2、3三个数的所有a11a12a1na21a22a2nan1an2ann,

作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号(1)；得到形如

(1)a1p1a2p2anpntt(2)

的项，其中p1p2pn为自然数1,2,,n的一个排列，t为这个排列的逆序数. 由于这样的排列共有n!个，因而形如（2）式的项共有n!项.

4 所有这n!项的代数和

(1)at1p12p2aanpn

称为n阶行列式，记作

a11a12a1n

Da21a22a2nan1an2ann，

简记作det(aij). 数aij称为行列式的元素.

按此定义的二阶、三阶行列式，与对角线法则定义的二阶、三阶行列式，显然是一致的. 当n1时，|a|a，注意这里|a|不是a的绝对值.

例2 证明对角线行列式（其中对角线上的元素都是i，未写出的元素都是0）

1

212n；

n1

2(1)n(n1)212n.

n

5 证 第一式是显然的，下面证第二式.

若记

iai,ni1,则依行列式定义

12

a1nan1a2,n1

n(1)ta1na2,n1an1(1)t12n,其中t为排列

n(n1)21的逆序数，故

t012(n1)n(n1). 证毕

2对角线以下（上）的元素都为0的行列式叫做上（下）三角行列式，它的值与对角行列式一样.

例3 证明下三角行列式

a11Da21a220an1an2ann证 由于当ji时，aij0，故D中可能不为0的元素aipi，其下标应有pii，即p11,p22,,pnn.

在所有排列p1p2pn中，能满足上述关系的排列只有一个自然a11a22ann.

6 t排列12n，所以D中可能不为0的项只有一项(1)a11a22ann，此项的符号(1)(1)1，所以

Da11a22ann.

例4 设

t0a11a1k

D0

ak1akkc11c1kb11b1ncn1cnkbn1bnna11a1k

D1det(aij)

ak1akkb11b1n

D2det(bij)

bn1bnn证明

DD1D2.

证 记

Ddet(dij)，其中

dijaij，(i1,,k;j1,,k)

7

dki,kjbij，(i1,,n;j1,,n).

考察D的一般项

(1)td1r1dkrkdk1,rk1dkn,rkn,

由于当ik,jk时，dij0，因此r1,,rk只有在1,,k中选取时，该项才可能不为零. 而当r1,,rk在1,,k中选取时，rk1,,rkn只能在k1,,kn中选取. 于是D中可能不为零的项可以记作

(1)ta1p1akpkb1q1bnqn.

这里，piri,qirk1k，而l为排列p1pk(kq1)(kqn)的逆序数. 以t、s分别表示排列p1pk及q1qn的逆序数，应有lts. 于是

D

p1pkq1qnt(1)tsa1p1akpkb1q1bnqn

s(1)a1p1akpk(1)b1q1bnqnp1pkq1qn

8 p1pk(1)at1p1akpkD2t

(1)a1p1akpkD2

p1pkD1D2.

§3 对 换

为了研究n阶行列式的性质，我们先来讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系.

在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换. 将相邻两个元素对换，叫做相邻对换.

定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.

证 先证相邻对换的情形.

设排列为a1alabb1bm，对换a与b，变为a1albab1bm.

显然，a1al；b1bm这些元素的逆序数经过对换并不改变，而a、b两元素的逆序数改变为：当ab时，经对换后a的逆序数增加1而b的逆序数不变；当ab时，经对换后a的逆序数不变而b的逆序数减少1. 所以排列a1alabb1bm与排列a1albab1bm的奇偶性不同.

再证一般对换的情形.

设排列为a1alab1bmbc1cn，把它作m次相邻对换，调成a1alabb1bmc1cn，再作m1次相邻对换，调成

9 a1albb1bmac1cn. 总之，经过2m1次相邻对换，排列a1alab1bmbc1cn调成排列a1albb1bmac1cn，所以这两个排列的奇偶性相反.

推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.

证 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性变化的次数，而标准排列是偶排列（逆序数是0），因此得知推论成立. 证毕

利用定理1，我们来讨论行列式定义的另一种表示法.

对于行列式的任一项

(1)ta1p1aipiajpjanpn，

其中1ijn为自然排列，t为排列p1pipjpn的逆序数，对换元素aipi与ajpj成

(1)ta1p1ajpjaipianpn，

这时，这一项的值不变，而行标排列与列标排列同时作了一次相应的对换. 设新的行标排列1jin的逆序数为t1，则

(1)t1(1)t. 故(1)t(1)rt1，于是

(1)ta1p1aipiajpjanpn(1)rt1a1p1ajpjaipianpn.

这就表明，对换乘积中两元素的次序，从而行标排列与列标排列同时作出了相应的对换，则行标排列与列标排列的逆序数之和并不改变奇偶性. 经过一次对换如此，经过多次对换还是如此. 于是，经过

10 若干次对换，使：

列标排列p1p2pn（逆序数为t）变为自然排列（逆序数为0）；

行标排列则相应地从自然排列变为某个新的排列，设此新排列为q1q2qn，其逆序数为s，则有

(1)ta1p1a2p2anpn(1)saq11aq22aqnn.

又，若pij，则qji（即aipiaijaqjj）. 可见排列q1q2qn由排列p1p2pn所唯一确定.

由此可得

定理2

n阶行列式也可定义为

D(1)atp11p22aapnn，

其中t为行标排列p1p2pn的逆序数.

证 按行列式定义有

D(1)att1p12p2aa3p3anpn，

aapnn.

t记

D1(1)asp11p22p33a按上面讨论知：对于D中任一项(1)a1p1a2p2a3p3anpn，总有且仅有D1中的某一项(1)aq11aq22aq33aqnn与之对应并相等；反之，对于D1中的任一项(1)ap11ap22ap33apnn，也总有且仅有D中

11

t的某一项(1)sa1q1a2q2a3q3anqn与之对应并相等，于是D与D1中的项可以一一对应并相等，从而DD1.

§4 行列式的性质

记

a11a12a1n

Da11a21an1，Da21a22a2nan1an2anna12a22an2a1na2nann，

行列式D称为行列式D的转置行列式.

性质1 行列式与它的转置行列式相等.

证 记Ddet(aij)的转置行列式

b11b12b1n

Db21b22b2nbn1bn2bnn，

即bijaji,(i,j1,2,,n)，按定义

D(1)tb1p1b2p2bnpn(1)tap11ap22apnn.

而由定理2，有

12 D(1)tap11ap22apnn，

故

DD. 证毕

由此性质可知，行列式中的行与列具有同等的地位，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立，反之亦然.

性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值改变符号.

证 设行列式

b11b12b1n

D1b21b22b2nbn1bn2bnn

是由行列式Ddet(aij)交换i,j两行得到的，即当ki,j时，bkpakp；当ki,j时，bipajp，bjpaip. 于是

D1(1)tb1p1bipibjpjbnpn(1)ta1p1ajpiaipjanpn

(1)ta1p1aipjajpianpn,其中1ijn为自然排列，t为排列p1pipjpn的逆序数.t设排列p1pjpipn的逆序数为t1，则(1)(1)1，故

tD1(1)t1a1p1aipjajpianpnD. 证毕

以ri表示行列式的第i行，以ci表示行列式的第i列. 交换i,j两

13 行记作rirj，交换i,j两列记作cicj.

推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.

证 把完全相同的两行（列）互换，有DD，故D0.

性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式.

第i行（或列）乘以k，记作rik（或cik）.

性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式的值等于零.

性质5 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和，例如

a11a12(a1ia1\'i)a1n

D\'a21a22(a2ia2i)a2n\'an1an2(aniani)ann，

则D等于下列两个行列式之和：

a11a12a1ia1nDa21a22a2ia2nan1an2anianna11a12a1\'ia1n\'a21a22a2ia2n\'an1an2aniann.

性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）上去，行列式的值不变. 例如以数k乘第j列加到第i列上去（记作cikcj），有

14 a11a1ia1ja1na21a2ia2ja2nan1anianjanna11(a1ika1j)a1ja1na21(a2ika2j)a2ja2ncikcj

an1(anikanj)anjann,(ij).（以数k乘第j行加到第i行上，记作rikrj）

性质3至性质6的证明，请读者自行完成. 这些性质可用于简化行列式的计算.

例5 计算

3

D1013132413.

51215解

15

例6 计算

3

D3.

111解 这个行列式的特点是各列4个数之和都是6. 今把第2、3、4行同时加到第1行，提出公因子6，然后各行减去第1行：

16 例7 计算

aa

Daabcababc2ab3a2bc3ab6a3bcdabcd

4a3b2cd10a6b3cd解 从第4行开始，后行减前行：

§5 行列式按行（列）展开

一般说来，低价行列式的计算比高价行列式的计算要简便，于是，我们自然地考虑到用低价行列式来表示高价行列式的问题. 为此，先引进余子式和代数余子式的概念.

17 在n阶行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n1阶行列式叫做元素aij的余子式，记作Mij；记

Aij(1)ijMij ，

Aij叫做元素aij的代数余子式.

例如四阶行列式

a11a12Da21a22a31a32a41a42a13a23a33a43a14a24a34a44

中元素a32的余子式和代数余子式分别为

a11a13Ma21a41a23a43a14a24，

a44A32(1)32M32M32.

引理 一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除aij外都为零，那么这个行列式等于aij与它的余子式的乘积，即

DaijAij.

18 证 先证aij位于第1行第1列的情形，此时

a11D000.

a21a22a2nan1an2annDa11M11.

这是例4中当k1时的特殊情形，按例4的结论，即有

又

A11(1)11M11M11，

从而

Da11A11.

再证一般情形，此时

a11a1ja1nD0aij0.

an1anjann为了利用前面的结果，把D的行列作如下调换：把D的第i行依次与第i1行、第i2行、…、第1行对调，这样aij就调到原来a1j的位置上，调换的次数为i1. 再把第j列依次与第j1列、第j2列、…、第1列对调，这样aij就调到左上角，调换的次数为j1.

19 总之，经过ij2次对调，把aij调到左上角，所得的行列式D1(1)ij2D(1)ijD，而元素aij在D1中的余子式仍然是aij在D中的余子式Mij.

由于aij位于D1的左上角，利用前面的结果，有

D1aijMij，

于是

D(1)ijD1(1)ijaijMijaijAij.

定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

Dai1Ai1ai2Ai2ainAin或

Da1jA1ja2jA2janjAnj证

a11Dai100an1a120ai20an2(i1,2,,n),

(j1,2,,n).

a1n00ainann

20 a11a12a1na11a12a1n

ai1000ai20

an1an2annan1an2anna11a12a1n

00ain，

an1an2ann根据引理可知

Dai1Ai1ai2Ai2ainAin类似地，若按列证明，可得

(i1,2,,n)

Da1jA1ja2jA2janjAnj(i1,2,,n)证毕

这个定理叫做行列式按行（列）展开法则. 利用这一法则并结合行列式的性质，可以简化行列式的计算.

下面，我们用此法来计算例5的行列式

3D21013132413.

5115我们保留a33，把第3行其余元素变为0，然后按第3行展开：

21

例8 计算

aaa

D2nb0b0cc02nb0d.

dcd解 按第1行展开，有

22

adD2(n1)bc(1)以此作递推公式，即可得

2n11

D2(n1)(adbc)D2(n1)，

D2n(adbc)D2(n1)(adbc)2D2(n2)

(adbc)

n1D2(adbc)n123

abcd(adbc)n. 例9 证明范德蒙行列式

1x1

Dnx121x22x21xn2xn(xixj).nij1(3)

n1n1x1n1x2xn其中记号“”表示全体同类因子的乘积.

证 用数学归纳法. 因为

D211x1x2x2x12ij1(xx)，

ij所以当n2时（3）式成立. 现在假设（3）式对于n1阶范德蒙行列式成立，要证（3）式对n阶范德蒙行列式也成立.

为此，设法把Dn降阶：从第n行开始，后行减去前行的x1倍，有

10Dn001x2x1x2(x2x1)n2x2(x2x1)1x3x1x3(x3x1)n2x3(x3x1)1xnx1xn(xnx1)，

n2xn(xnx1)按第1列展开，并把每列的公因子（xix1）提出，就有

24 Dn(x2x1)(x3x1)(xnx1)1x21x31xnn2n2n2x2x2x2.

上式右端的行列式是n1阶范德蒙行列式，按归纳法假设，它等于所有（xixj）因子的乘积，其中nij2. 故

Dn(x2x1)(x3x1)(xnx1)nij2(xixj)证毕.

nij2(xixj)由定理3，还可得下述重要推论：

推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 即

ai1Aj1ai2Aj2ainAjn0,ij，

或

a1iA1ja2iA2janiAnj0,ij.

证 把行列式Ddet(aij)按第j行展开，有

25 a11a1nai1ainaj1Aj1aj2Aj2ajnAjn

,aj1ajnan1ann在上式中把ajk换成aik(k1,,n)，可得

a11a1nai1ain第i行ai1Aj1ai2Aj2ainAjn

ai1ain第j行an1即得

ann当ij时，上式右端行列式中有两行对应元素相同，故行列式为零，ai1Aj1ai2Aj2ainAjn0,上述证法如按列进行，可得

(ij)

a1iA1ja2iA2janiAnj0,

26

(ij)证毕 §6 克莱姆法则

含有n个未知数x1,x2,,xn的n个线性方程的方程组

a11x1a12x2a1nxnb1,axaxaxb,2112222nn2(4)

an1x1an2x2annxnbn,与二、三元线性方程组相类似，它的解可以用n阶行列式表示，即有

克莱姆法则 如果线性方程组（4）的系数行列式不等于零，即

a11a1nD0，

an1ann那么，方程组（4）有唯一解

x1（5）

DD1D,x22,,xnn,DDD

其中Dj(j1,2,,n)是把系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的自由项代替后所得到的n阶行列式，即

a11a1,j1b1a1,j1a1nDj .

an1an,j1bnan,j1ann证 用D中第j列元素的代数余子式A1j,A2j,Anj依次乘方

27 程组（4）的n个方程，再把它们相加，得

nnnak1Akjx1akjAkjxjaknAkjxnk1k1k1bkAkj,k1n

根据代数余子式的重要性质可知，上式中xj的系数等于D，而其余xi(ij)的系数均为0；又，等式右端即是Dj. 于是

DxjDj,(j1,2,,n). （6）

当D0时，方程组（6）有唯一的一个解（5）.

由于方程组（6）是由方程组（4）经乘数与相加两种运算而得，故（4）的解一定是（6）的解。 今（6）仅有一个解（5），故（4）如果有解，就只能是解（5）.

为证明（5）是方程组（4）的唯一解，还需验证解（5）确是方程组（4）的解，也就是要证明

ai1DD1Dai22ainnbi,(i1,2,,n)，

DDD为此，考虑有两行相同的n1阶行列式

biai1ainb1a11a1nbnan1ann它的值为0. 把它按第1行展开，由于第1行中aij的代数余子式为

28

(i1,2,,n)， b1a11a1,j1a1,j1a1n(1)1j1b，

nan1an,j1an,j1ann(1)j2(1)j1DiDj,所以有

0biDai1D1ainDn，

即

aD1Di1DaD2i2DaninDbi,(i1,2,,n).

例10 解线性方程组

2x1x25x3x48,x13x26x49,2x2x

32x45,x14x27x36x40.解

337227,

29

8D115017501626162616268950x41.

935202101248981,

D2510712412489505017108,

D31301227,

D4130127,

于是得

x13,x24,x31,克莱姆法则有重大的理论价值，撇开求解公式（5），克莱姆法则可叙述为下面的重要定理.

定理4 如果线性方程组（4）的系数行列式D0，则（4）一定有解，且解是唯一的.

定理4的逆否定理为

定理4 如果线性方程组（4）无解或有两个不同的解，则它的

30

\'系数行列式必为零.

线性方程组（4）右端的自由项b1,b2,,bn不全为零时，线性方程组（4）叫做非齐次方程组，当b1,b2,,bn全为零时，线性方程组（4）叫做齐次方程组.

对于齐次线性方程组

a11x1a12x2a1nxn0,axaxax0,2112222nn

 （7）

an1x1an2x2annxn0.x1x2xn0一定是它的解，这个解叫做齐次方程组（7）的零解. 如果一组不全为零的数是（7）的解，则它叫做齐次方程组（7）的非零解. 齐次方程组（7）一定有零解，但不一定有非零解.

把定理4应用于齐次方程组（7），可得

定理5 如果齐次方程组（7）的系数行列式D0，则齐次方程组（7）没有非零解.

定理5 如果齐次方程组（7）有非零解，则它的系数行列式必为零.

定理5（或定理5）说明系数行列式D0是齐次方程组非零解的必要条件. 在第三章中我们还将证明这个条件也是充分的.

例11 问取何值时，齐次方程组

(5)x2y2z0, （8）

2x(6)y0,2x(4)z0,有非零解？

31 解 由定理5可知，若齐次方程组（8）有非零解，则（8）的系数行列式D0. 而

\'5D22260204

=(5)(6)(4)4(4)4(6)

=(5)(2)(8),

5或8. 由D0，得2、5或8时，齐次方程组（8）确有非零解. 不难验证，当2、

习 题 一

1. 按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：

（1） 1 2 3 4； （2） 4 1 3 2；

（3） 3 4 2 1； （4） 2 4 1 3；

（5）

13(2n1)24(2n)；

（6）

13(2n1)(2n)(2n2)2.

2. 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项.

3. 计算下列各行列式：

32 41（1）2042； （2）21411；

1233215062abacaea100（3）bdcdde； （4）1b10bfcfef01c1001d4. 证明：

a2abb2（1）2aab2b(ab)3；

111axbyaybzazbxxyz（2）aybzazbxaxby(a3b3)yzx；azbxaxbyaybzzxya2(a1)2(a2)2(a3)2（3）b2(b1)2(b2)2(b3)2c2(c1)2(c2)2(c3)20；

z2(z1)2(z2)2(z3)233

.

（4）1a1b1cc21dd2a2b2a4b4

c4d4=(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd)；

x10000x100（5）

000x1anan1an2a2xa1nn1 =xa1xan1xan.

5. 计算下列各行列式（Dk为k阶行列式）：

a（1）Dn1，其中对角线上元素都是a，未写出的1元素都是0；

aaxaaax；

x（2）Dnaa

34 an(a1)n(an)n(an)n1an1an1(a1)n1a1a11（3）Dn1；

提示：利用范德蒙行列式的结果.

cna1（4）D2nbn0b10c10d1dn；

0cn（5）Dndet(aij)，其中aijij；

1a1（6）Dn111，其中a1a2an0.

111a211an

35


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