2024年3月13日发(作者：小学4年级深圳数学试卷)

第二章 函数

§1 函数概念

1．证明下列不等式：

(1)

xyxy

；

(2)

x

1

x

2

x

n

x

1

x

2

x

n

；

(3)

x

1

x

2

x

n

xx(x

1

x

2

x

n

)

．

证明（1）由

x(xy)yxyy

，得到

xyxy

，

在该式中用

x

与

y

互换，得到

yxyx

，即

xyxy

，

由此即得，

xyxy

．

（2）当

n1,2

时，不等式分别为

x

1

x

1

,x

1

x

2

x

1

x

2

，显然成立．

假设当

nk

时，不等式成立，即

x

1

x

2

x

k

x

1

x

2

x

k

，则当

nk1

时，有

x

1

x

2

x

k

x

k1

(x

1

x

2

x

k

)x

k1

x

1

x

2

x

k

x

k1

(x

1

x

2

x

k

)x

k1

x

1

x

2

x

k

x

k1

有数学归纳法原理，原不等式成立．

（3）

x

1

x

2

x

n

xx(x

1

x

2

x

n

)xx

1

x

2

x

n

x(x

1

x

2

x

n

)

．

2．求证

ab

1ab

a

1a

b

1b

．

证明 由不等式

abab

，两边加上

ab(ab)

后分别提取公因式得，

ab(1ab)(ab)(1ab)

，

即

ab

1ab

ab

1ab

a

1ab

b

1ab

a

1a

b

1b

．

3．求证

max(a,b)

ab

ab

；

22

ab

ab

．

min(a,b)

22

证明 若

ab

，则由于

abab

，故有

ab

ab

ab

ab

，

min(a,b)b

，

max(a,b)a

2222

若

ab

，则由于

ab(ab)

，故亦有

max(a,b)b

ab

ab

ab

ab

，

min(a,b)a

，



2222

因此两等式均成立．

4．已知三角形的两条边分别为

a

和

b

，它们之间的夹角为

，试求此三角形的面积

s(

)

，并求其定义域．

1

absin

，定义域为开区间

(0,

)

．

2

5．在半径为

r

的球内嵌入一内接圆柱，试将圆柱的体积表为其高的函数，并求此函数

解

s(

)

的定义域．

x

2

解 设内接圆柱高为

x

，则地面半径为

r

r

，因而体积

4

2

x

2

V

r

x

x(r)

，

4

22

定义域为开区间

(0,2r)

．

6．某公共汽车路线全长为

20km

，票价规定如下：乘坐

5km

以下（包括

5km

）者收费

1元；超过

5km

但在

15km

以下（包括

15km

）者收费2元；其余收费2元5角. 试将票价表

为路程的函数，并作出函数的图形．

解 设路程为

x

，票价为

y

，则

1,0x5,

y

2,5x15,

2.5,15x20．

函数图形见右图．

7．一脉冲发生器产生一个三角波．若记它随时间

t

的变化规律为

f(t)

，且三个角分别


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