数学分析简明教程22 各种积分间的联系与场论初步

2024年3月13日发(作者：全国高考2010数学试卷)

第二十二章 各种积分间的联系与场论初步

§1 各种积分间的联系

1．应用格林公式计算下列积分：

x

2

y

2

(1)



xydyxydx

，其中L为椭圆

2

+

2

=1取正向；

L

ab

22

（2）

（3）

正向；

（4）



(xy)dx(xy)dy,

L同（1）;

L



(xy)dx(x

L

22

y

2

)dy

，

L

是顶点为

A(1,1),B(3,2),C(2,5)

的三角形的边界，取





L

(x

3

y

3

)dx(x

3

y

3

)dy,L为x

2

y

2

1,

取正向；

yx

（5）

esinxdxe

L

sinydy,

L

为矩形

axb,cyd

的边界,取正向；

（6）

e[(ysinxycos(xy))dx(xsinxycos(xy))dy],

其中

L

是任意逐段光滑闭曲

L



xy

线．

解（1）原式 =





y

D

2

(x

2

)dxdy



x

2

y

2

dxdy

D



=

ab



2



0

d





a

2

r

2

cos

2



b

2

r

2

sin

2



rdr

(广义极坐标变换）

0

1



2



1



222222

=

ab



acos



bsin



d



ab(ab)

．

0

33

（2)



(xy)dx(xy)dy

=



(11)dxdy0

．



L

D

(3）原式





(2x2(xy))dxdy

D

11y



2



2y15

3



2



ydxdy2



ydy



y3

dx



ydy



y3

dx





1



2

4

D

4



2(

（4）原式



（5)原式





2

1

5

77

2

143

(yy)dy



(5yy

2

)dy)

．

2

4129

3

2222

(3x3y)dxdy3(xy)dxdy



．



2

DD

xy

(esinyecosx)dxdy



D

(



edx



sinydy



cosxdx



e

ydy

)

acac

b

x

dbd

(

11

dc

)(cosdcosc)(ee)(sinbsina)

．

ab

ee

（6)

P(x,y)e[ysinxycos(xy)]

，

Q(x,y)e[xsinxycos(xy)]

，

xyxy

Q

ye

xy

[xsinxycos(xy)]e

xy

[sinxyxycosxysin(xy)]

x

e

xy

[xy(sinxycosxy)sinxyycos(xy)sin(xy)]

，

P

xe

xy

[ysinxycos(xy)]e

xy

[sinxyxycosxysin(xy)]

y

e

xy

[xy(sinxycosxy)sinxyxcosxysin(xy)]

，

QP

e

xy

(yx)cos(xy)

，

xy

所以，

原式



xy

e



(yx)cos(xy)dxdy,

其中

D

为

L

包围的平面区域．

D

2．利用格林公式计算下列曲线所围成的面积：

（1)双纽线

r

2

a

2

cos2



；

33

(2)笛卡尔叶形线

xy3axy(a0)

；

（3）

xa(1cost)sint

，

yasintcost

,

0t2

．

解(1）

|D|

22



dxdy2



dxdy

2

DD

1

1

xdyydx



L

2



2















4



[rcos



rcos



rsin



(rsin



)]d







4



rd







4



a

2

cos2



d



a

2

，

444

其中

D

1

由

racos2

，



22





所围成．

44

3at

2

3at

（2）作代换

ytx,

则得曲线的参数方程为

x

,

y

．所以,

3

3

1t

1t

3a(12t

3

)3at(2t

3

)

dxdt

,

dydt

，

3232

(1t)(1t)

9a

2

t

2

从而，

xdyydxdt

，于是，面积为

32

(1t)

1

9a

2

D

=



xdy-ydx

=

2

C

2





0

3

2

t

2

=

a

．

dt

32

2

(1t)