高中数学导数相关知识点总结+解题技巧

2023年12月14日发(作者：数学试卷中的语文问题有哪些)

高中数学导数相关知识点总结+解题技巧

一. 导数概念的引入1. 导数的物理意义瞬时速率。一般的，函数y=f(x)在x=处的瞬时变化率是

2. 导数的几何意义曲线的切线，当点趋近于P时，直线 PT 与曲线相切。容易知道，割线的斜率是当点趋近于

P 时，函数y=f(x)在x=处的导数就是切线PT的斜率k，即

便是x的一个函数，我们称它为f（x）3. 导函数当x变化时，的导函数. y=f（x）的导函数有时也记作，即

二. 导数的计算

1.基本初等函数的导数公式

2.导数的运算法则

3.复合函数求导

一个复合函数。

三、导数在研究函数中的应用

1. 函数的单调性与导数

y=f(u)和u=g(x)，则称y可以表示成为x的函数，即y=f(g(x))为一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间（a,b）内(1) 如果如果＞0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递增；(2)

＜0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递减；

2. 函数的极值与导数

极值反映的是函数在某一点附近的大小情况。 求函数y=f(x)的极值的方法有：（1）如果在附近的左侧是极大值；（2）如果在附近的左侧是极小值；

3. 函数的最大(小)值与导数 求函数y=f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数y=f(x)在［a,b］内的极值；（2） 将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值。

四. 推理与证明

1.合情推理与类比推理

根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理。根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理，叫做类比推理。

2.类比推理的一般步骤

(1) 找出两类事物的相似性或一致性；(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题（猜想）；(3) 一般的，事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似，那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的；(4) 一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题越可靠。（2）演绎推理（俗称三段论）由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理。（3）数学归纳法1. 它是一个递推的数学论＞0 ，右侧＜0 ，右侧＜0，那么＞0，那么证方法。2. 步骤：A. 命题在 n=1（或）时成立，这是递推的基础；B.假设在 n=k 时命题成立； C. 证明 n=k+1 时命题也成立。

完成这两步，就可以断定对任何自然数（或n≥，且n∈N）结论都成立。证明方法：1、 反证法；2、分析法；3、综合法。

五. 导数中的数学思想

1.数形结合思想

数形结合是利用“数”和“形”的相互转化来解决数学问题的思想方法．它为代数问题和几何问题的相互转化架起了桥梁，数形结合重在结合，它们完美的结合，往往能起到事半功倍的效果．数形结合思想贯穿于中学数学的始终，在许多知识板块中都有它的身影．数形结合思想以其直观性、灵活性等特点倍受解题者的衷爱．本文举例说明数形结合的思想在求解导数问题中的灵活运用。

例 已知函数

，当时取得极大值，当

时取得极小值，求点对应的区域的面积以及的关系得到关于问利用斜率求出，当则方程（1，2）内．由二次函数的取值范围．分析：利用极值的有关知识所对应的区域．第（2）的导数为时取得极小值，内，另一个根在区间判断导函数方程的根的范围，再由导函数的图象与相应二次方程的根的线性不等关系，点时取得极大值，当的取值范围．解：函数有两个根，一个根在区间的图象与方程的根的分布之间的关系可以得到

平面内满足约束条件的点括边界，其中点积为，，（为点到

所对应的区域为如右图所示）．轴的距离）点与点（不包的面连线的斜率为，显然，即．

2.整体代换思想

我们在思考问题的时侯，如果能根据题目中的结构特点，把问题中貌似独立，但实质上又相互联系的量看成一个整体，从而在宏观上寻求解决问题的途径，这种思想称之为整体思想．整体思想主要有整体代换、整体求值、整体变形、整体构造等．这种思想若运用巧妙，不仅可以简化运算，而且能够激发学生思维的灵活性．本文仅举一例来说明整体代换思想在求解导数问题时的应用。

例 已知

是定义在标为在一点是∴，且上的函数，其图象交轴于在，使得和在点在交，得

三点．若点的坐和上的，，即，．因为，得的切线斜率为的图象上是否存？（3）求有一个解为，所以，∴上有相同的单调性，在的切线斜率为和，即轴于点有相反的单调性．（1）求的值；（2）在函数取值范围．解：（1）∵

的一个极值点．故．（2）因为．令在．则．而的切线斜率为和，即，上有相反的单调性，∴上有相反的单调性，所以，使得．∵

．故不存在点

，使得在点．假设存在点在点．（3）由题意，设

、点的坐标为．则

的函数图象交轴于点的坐标为，比较系数得．得．所以 ，

，时，，∵．故，∴当

时，；当．解后反思：本题的第（2）、的值，大大简化了（3）两问都用到了整体代换的思想，避免了求运算．运用整体思想解题是不是很巧妙？这种整体思想在其它知识板块中都有广泛的应用，在以后的学习中可要留心哟．

3.分类讨论思想

分类讨论是中学数学的一种解题思想，对某一问题进行正确地分类讨论要有一种全局的观点，注意在分类时要不重不漏。

例1 已知．则当时，由内为增函数，在，则解给定区间上确定在在，求.（1）当的单调区间．解：函数时，若内为减函数，在或，则内为减函数．（3）当内为增函数，在函数为增函数，

，则在时，由

和内为减函；若或的导数，则内为增函数．（2）数．从该例的解答中可以看出必须熟练掌握一些初等函数的导数，理函数为减函数．但要，，证明：

的符号，须对参数进行分类讨论．例2 已知．（1）求函数．解：（1）.当且仅当．则

时，时，的最大值．（2）设，则

时，的定义域是；当．又，设

，则当取最大值0．（2）因．当时，极小值．设

，则

,当，所以时，，因此．又因在，，因此，所以在

内为减函数；当时，有，即

内为增函数．从而当时，，即

，在

上为减函数．因为，．所证结论成立。

该题属于典型利用导数证明其不等式的问题，一般方法是：先构造函数（多是作差函数），再用导数确定所构造函数的单调性来证明．在证明的过程中难免要分类处理，否则难以确定新函数的正负。

六、解题技巧

在考试过程中，很多高中生由于没有掌握适用的解题技巧，尤其是对相关的知识点掌握不够牢固的同学，只能放弃，下面为大家总结了导数七大题型，帮助大家在高考数学中多拿一分， 轻松拿下140+！

1.导数单调性、极值、最值的直接应用 2.交点与根的分布

3.不等式证明

（一）做差证明不等式

（二）变形构造函数证明不等式

（三）替换构造不等式证明不等式

4.不等式恒成立求字母范围

（一）恒成立之最值的直接应用

（二）恒成立之分离参数

（三）恒成立之讨论字母范围

5.函数与导数性质的综合运用

6.导数应用题

7.导数结合三角函数