2024年4月15日发(作者：辽宁省21年高考数学试卷)
北师大版数学七年级下册 期末试卷测试卷（含答案解析）
一、解答题
1
．如图
1
，点
A
在直线
MN
上，点
B
在直线
ST
上，点
C
在
MN
，
ST
之间，且满足
MACACBSBC
360
．
（
1
）证明：
MN//ST
；
（
2
）如图
2
，若
ACB60
，
AD//CB
，点
E
在线段
BC
上，连接
AE
，且
DAE2CBT
，试判断
CAE
与
CAN
的数量关系，并说明理由；
（
3
）如图
3
，若
ACB
180
（
n
为大于等于
2
的整数），点
E
在线段
BC
上，连接
AE
，
n
若
MAEnCBT
，则
CAE:CAN
______
．
2
．如图，
MN//GH
，点
A
、
B
分别在直线
MN
、
GH
上，点
O
在直线
MN
、
GH
之间，若
NAO116
，
OBH144
．
（
1
）
AOB
=
；
（
2
）如图
2
，点
C
、
D
是
NAO
、
GBO
角平分线上的两点，且
CDB35
，求
ACD
的
度数；
（
3
）如图
3
，点
F
是平面上的一点，连结
FA
、
FB
，
E
是射线
FA
上的一点，若
MAE
nOAE
，
HBFnOBF
，且
AFB60
，求
n
的值．
3
．已知，
AB∥CD
，点
E
在
CD
上，点
G
，
F
在
AB
上，点
H
在
AB
，
CD
之间，连接
FE
，
EH
，
HG
，
∠AGH
＝
∠FED
，
FE⊥HE
，垂足为
E
．
（
1
）如图
1
，求证：
HG⊥HE
；
（
2
）如图
2
，
GM
平分
∠HGB
，
EM
平分
∠HED
，
GM
，
EM
交于点
M
，求证：
∠GHE
＝
2∠GME
；
（
3
）如图
3
，在（
2
）的条件下，
FK
平分
∠AFE
交
CD
于点
K
，若
∠KFE
：
∠MGH
＝
13
：
5
，
求
∠HED
的度数．
4
．已知，
AB//CD
．点
M
在
AB
上，点
N
在
CD
上．
（
1
）如图
1
中，
BME
、
E
、
END
的数量关系为：
；（不需要证明）；如图
2
中，
BMF
、
F
、
FND
的数量关系为：
；（不需要证明）
（
2
）如图
3
中，
NE
平分
FND
，
MB
平分
FME
，且
2EF180
，求
FME
的度
数；
（
3
）如图
4
中，
BME60
，
EF
平分
MEN
，
NP
平分
END
，且
EQ//NP
，则
FEQ
的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出么
FEQ
的度数．
5
．已知
AB∥CD
，线段
EF
分别与
AB
，
CD
相交于点
E
，
F
．
（
1
）请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答：
如图
1
，当点
P
在线段
EF
上时，已知
∠A
＝
35°
，
∠C
＝
62°
，求
∠APC
的度数；
解：过点
P
作直线
PH∥AB
，
所以
∠A
＝
∠APH
，依据是 ；
因为
AB∥CD
，
PH∥AB
，
所以
PH∥CD
，依据是 ；
所以
∠C
＝（ ），
所以
∠APC
＝（ ）
+
（ ）＝
∠A+∠C
＝
97°
．
（
2
）当点
P
，
Q
在线段
EF
上移动时（不包括
E
，
F
两点）：
①
如图
2
，
∠APQ+∠PQC
＝
∠A+∠C+180°
成立吗？请说明理由；
②
如图
3
，
∠APM
＝
2∠MPQ
，
∠CQM
＝
2∠MQP
，
∠M+∠MPQ+∠PQM
＝
180°
，请直接写
出
∠M
，
∠A
与
∠C
的数量关系．
二、解答题
6
．如图，直线
PQ//MN
，一副三角板（
ABCCDE90
，
ACB30
，
EAC60,DCEDEC45
）按如图
①
放置，其中点
E
在直线
PQ
上，点
B,C
均在直线
MN
上，且
CE
平分
ACN
．
（
1
）求
DEQ
的度数．
（
2
）如图
②
，若将三角形
ABC
绕
B
点以每秒
5
的速度按逆时针方向旋转（
A,C
的对应点
分别为
F,G
）．设旋转时间为
t
秒
(0t36)
．
①
在旋转过程中，若边
BG//CD
，求
t
的值；
②
若在三角形
ABC
绕
B
点旋转的同时，三角形
CDE
绕
E
点以每秒
4
的速度按顺时针方向
旋转（
C,D
的对应点分别为
H,K
）．请直接写出当边
BG//HK
时
t
的值．
7
．问题情境：如图
1
，
AB∥CD
，
∠PAB=130°
，
∠PCD=120°
，求
∠APC
的度数．
小明的思路是：如图
2
，过
P
作
PE∥AB
，通过平行线性质来求
∠APC
．
（
1
）按小明的思路，易求得
∠APC
的度数为
度；
（
2
）如图
3
，
AD∥BC
，点
P
在射线
OM
上运动，当点
P
在
A
、
B
两点之间运动时，
∠ADP=∠α
，
∠BCP=∠β
．试判断
∠CPD
、
∠α
、
∠β
之间有何数量关系？请说明理由；
（
3
）在（
2
）的条件下，如果点
P
在
A
、
B
两点外侧运动时（点
P
与点
A
、
B
、
O
三点不重
合），请你直接写出
∠CPD
、
∠α
、
∠β
间的数量关系．
8
．如图
1
，
AB//CD
，在
AB
、
CD
内有一条折线
EPF
．
（
1
）求证：
AEPCFPEPF
；
（
2
）在图
2
中，画
BEP
的平分线与
DFP
的平分线，两条角平分线交于点
Q
，请你补全
图形，试探索
EQF
与
EPF
之间的关系，并证明你的结论；
（
3
）在（
2
）的条件下，已知
BEP
和
DFP
均为钝角，点
G
在直线
AB
、
CD
之间，且满
11
足
BEGBEP
，
DFGDFP
，（其中
n
为常数且
n1
），直接写出
EGF
与
nn
EPF
的数量关系．
9
．已知射线
AB//
射线
CD
，
P
为一动点，
AE
平分
PAB
，
CE
平分
PCD
，且
AE
与
CE
相
交于点
E
．（注意：此题不允许使用三角形，四边形内角和进行解答）
（
1
）在图
1
中，当点
P
运动到线段
AC
上时，
APC180
．直接写出
AEC
的度数；
（
2
）当点
P
运动到图
2
的位置时，猜想
AEC
与
APC
之间的关系，并加以说明；
（
3
）当点
P
运动到图
3
的位置时，（
2
）中的结论是否还成立？若成立，请说明理由：若
不成立，请写出
AEC
与
APC
之间的关系，并加以证明．
10
．综合与探究
综合与实践课上，同学们以
“
一个含
30
角的直角三角尺和两条平行线
”
为背景开展数学活
动，如图，已知两直线
a
，
b
，且
a//b
，三角形
ABC
是直角三角形，
BCA90
，
BAC30
，
ABC60
操作发现：
（
1
）如图
1
．
148
，求
2
的度数；
（
2
）如图
2
．创新小组的同学把直线
a
向上平移，并把
2
的位置改变，发现
21120
，请说明理由．
实践探究：
（
3
）填密小组在创新小组发现的结论的基础上，将图
2
中的图形继续变化得到图
3
，
AC
平分
BAM
，此时发现
1
与
2
又存在新的数量关系，请写出
1
与
2
的数量关系并说明
理由．
三、解答题
11
．（生活常识）
射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相
等．如图
1
，
MN
是平面镜，若入射光线
AO
与水平镜面夹角为
∠1
，反射光线
OB
与水平镜
面夹角为
∠2
，则
∠1=∠2 .
（现象解释）
如图
2
，有两块平面镜
OM
，
ON
，且
OM⊥ON
，入射光线
AB
经过两次反射，得到反射光线
CD.
求证
AB∥CD.
（尝试探究）
如图
3
，有两块平面镜
OM
，
ON
，且
∠MON =55
，入射光线
AB
经过两次反射，得到反射
光线
CD
，光线
AB
与
CD
相交于点
E
，求
∠BEC
的大小
.
（深入思考）
如图
4
，有两块平面镜
OM
，
ON
，且
∠MON
α
，入射光线
AB
经过两次反射，得到反射光
线
CD
，光线
AB
与
CD
所在的直线相交于点
E
，
∠BED=β , α
与
β
之间满足的等量关系
是
.
（直接写出结果）
12
．如图
1
，已知线段
AB
、
CD
相交于点
O
，连接
AC
、
BD
，我们把形如图
1
的图形称之为
“8
字形
”
．如图
2
，
∠CAB
和
∠BDC
的平分线
AP
和
DP
相交于点
P
，并且与
CD
、
AB
分别相
交于
M
、
N
．试解答下列问题：
（
1
）仔细观察，在图
2
中有
个以线段
AC
为边的
“8
字形
”
；
（
2
）在图
2
中，若
∠B=96°
，
∠C=100°
，求
∠P
的度数；
11
（
3
）在图
2
中，若设
∠C=α
，
∠B=β
，
∠CAP=
∠CAB
，
∠CDP=∠CDB
，试问
∠P
与
∠C
、
33
∠B
之间存在着怎样的数量关系（用
α
、
β
表示
∠P
），并说明理由；
（
4
）如图
3
，则
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F
的度数为
．
13
．如图，
MN//GH
，点
A
、
B
分别在直线
MN
、
GH
上，点
O
在直线
MN
、
GH
之间，若
NAO116
，
OBH144
．
（
1
）
AOB
=
；
（
2
）如图
2
，点
C
、
D
是
NAO
、
GBO
角平分线上的两点，且
CDB35
，求
ACD
的
度数；
（
3
）如图
3
，点
F
是平面上的一点，连结
FA
、
FB
，
E
是射线
FA
上的一点，若
MAE
nOAE
，
HBFnOBF
，且
AFB60
，求
n
的值．
14
．互动学习课堂上某小组同学对一个课题展开了探究．
小亮：已知，如图三角形
ABC
，点
D
是三角形
ABC
内一点，连接
BD
，
CD
，试探究
∠BDC
与
A
，
1
，
2
之间的关系．
小明：可以用三角形内角和定理去解决．
小丽：用外角的相关结论也能解决．
（
1
）请你在横线上补全小明的探究过程：
∵
BDCDBCBCD180
，（
______
）
∴
BDC180DBCBCD
，（等式性质）
∵
A12DBCBCD180
，
∴
A12180DBCBCD
，
∴
BDCA12
．（
______
）
（
2
）请你按照小丽的思路完成探究过程；
（
3
）利用探究的结果，解决下列问题：
①
如图
①
，在凹四边形
ABCD
中，
BDC135
，
BC25
，求
A
______
；
②
如图
②
，在凹四边形
ABCD
中，
ABD
与
ACD
的角平分线交于点
E
，
A60
，
BDC140
，则
E
______
；
③
如图
③
，
ABD
，
ACD
的十等分线相交于点、
F
1
、
F
2
、
…
、
F
9
，若
BDC120
，
BF
3
C64
，则
A
的度数为
______
；
④
如图
④
，
BAC
，
∠BDC
的角平分线交于点
E
，则
B
，
C
与
E
之间的数量关系是
______
；
⑤
如图
⑤
，
ABD
，
BAC
的角平分线交于点
E
，
C40
，
BDC140
，求
AEB
的
度数．
15
．已知
AB
//
CD
，点
E
是平面内一点，
∠CDE
的角平分线与
∠ABE
的角平分线交于点
F
．
（
1
）若点
E
的位置如图
1
所示．
①
若
∠ABE=60°
，
∠CDE=80°
，则
∠F= °
；
②
探究
∠F
与
∠BED
的数量关系并证明你的结论；
（
2
）若点
E
的位置如图
2
所示，
∠F
与
∠BED
满足的数量关系式是
．
（
3
）若点
E
的位置如图
3
所示，
∠CDE
为锐角，且
EF45
，设
∠F=α
，则
α
的取
值范围为
．
1
2
【参考答案】
一、解答题
1
．（
1
）见解析；（
2
）见解析；（
3
）
n-1
【分析】
（
1
）连接
AB
，根据已知证明
∠MAB+∠SBA=180°
，即可得证；
（
2
）作
CF∥ST
，设
∠CBT=α
，表示出
∠CAN
，
∠ACF
，
∠BCF
，根据
解析：（
1
）见解析；（
2
）见解析；（
3
）
n-1
【分析】
（
1
）连接
AB
，根据已知证明
∠MAB+∠SBA=180°
，即可得证；
（
2
）作
CF∥ST
，设
∠CBT=α
，表示出
∠CAN
，
∠ACF
，
∠BCF
，根据
AD∥BC
，得到
∠DAC=120°
，求出
∠CAE
即可得到结论；
（
3
）作
CF∥ST
，设
∠CBT=β
，得到
∠CBT=∠BCF=β
，分别表示出
∠CAN
和
∠CAE
，即可得到
比值．
【详解】
解：（
1
）如图，连接
AB
，
，
MACACBSBC360
，
ACBABCBAC180
，
MABSBA180
，
MN//ST
（
2
）
CAE2CAN
，
理由：作
CF//ST
，则
MN//CF//ST,
如图，
设
CBT
，则
DAE2
．
BCFCBT
，
CANACF60
，
AD//BC
，
DAC180ACB120
，
CAE120DAE1202
2(60
)2CAN
．
即
CAE2CAN
．
（
3
）作
CF//ST
，则
MN//CF//ST,
如图，设
CBT
，则
MAEn
．
CF//ST
，
CBTBCF
，
ACFCAN
180180n
，
nn
180n1
(180n
)
，
nn
CAE180MAECAN180n
CAE:CAN
n11
:n1
，
nn
故答案为
n1
．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质和判定，解题关键是角度的灵活转换，构建数量关系式．
2
．（
1
）
100
；（
2
）
75°
；（
3
）
n=3
．
【分析】
（
1
）如图：过
O
作
OP//MN
，由
MN//OP//GH
得
∠NAO+∠POA=180°
，
∠POB+∠OBH=180°
，即
∠NAO+∠AOB+∠OB
解析：（
1
）
100
；（
2
）
75°
；（
3
）
n=3
．
【分析】
（
1
）如图：过
O
作
OP//MN
，由
MN//OP//GH
得
∠NAO+∠POA=180°
，
∠POB+∠OBH=180°
，即
∠NAO+∠AOB+∠OBH=360°
，即可求出
∠AOB
；
（
2
）如图：分别延长
AC
、
CD
交
GH
于点
E
、
F
，先根据角平分线求得
NAC58
，再根据
平行线的性质得到
CEF58
；进一步求得
DBF18
，
DFB17
，然后根据三角形外
角的性质解答即可；
（
3
）设
BF
交
MN
于
K
，由
∠NAO=116°
，得
∠MAO=64°
，故
∠MAE=
∠OBH=144°
，
∠HBF=n∠OBF
，得
∠FBH=
∠FKN=∠F+∠FAK
，得
【详解】
解：（
1
）如图：过
O
作
OP//MN
，
∵MN//GHl
∴MN//OP//GH
∴∠NAO+∠POA=180°
，
∠POB+∠OBH=180°
∴∠NAO+∠AOB+∠OBH=360°
∵∠NAO=116°
，
∠OBH=144°
∴∠AOB=360°-116°-144°=100°
；
n
64
，同理
n1
n
n
144
，从而
BKA=FBH144
，又
n1
n1
nn
144
60
64
，即可求
n
．
n1n1
（
2
）分别延长
AC
、
CD
交
GH
于点
E
、
F
，
∵AC
平分
NAO
且
NAO116
，
∴
NAC58
，
又
∵MN//GH
，
∴
CEF58
；
∵
OBH144
，
OBG36
∵BD
平分
OBG
，
∴
DBF18
，
又
∵
CDB35,
∴
DFBCDBDBF351817
；
∴
ACDDFBAEF175875
；
（
3
）设
FB
交
MN
于
K
，
∵
NAO116
，则
MAO64
；
∴
MAE
n
64
n1
nn
144
，
BKA=FBH144
，
n+1n1
∵
OBH144
，
∴
FBH
在
△FAK
中，
BKAFKAF
∴
nn
144
64
60
，
n1n1
n
6460
,
n1
∴
n3
．
经检验：
n3
是原方程的根，且符合题意
.
【点睛】
本题主要考查平行线的性质及应用，正确作出辅助线、构造平行线、再利用平行线性质进
行求解是解答本题的关键．
3
．（
1
）见解析；（
2
）见解析；（
3
）
40°
【分析】
（
1
）根据平行线的性质和判定解答即可；
（
2
）过点
H
作
HP∥AB
，根据平行线的性质解答即可；
（
3
）过点
H
作
HP∥AB
，根据平行线的性质解答即可．
解析：（
1
）见解析；（
2
）见解析；（
3
）
40°
【分析】
（
1
）根据平行线的性质和判定解答即可；
（
2
）过点
H
作
HP∥AB
，根据平行线的性质解答即可；
（
3
）过点
H
作
HP∥AB
，根据平行线的性质解答即可．
【详解】
证明：（
1
）
∵AB∥CD
，
∴∠AFE
＝
∠FED
，
∵∠AGH
＝
∠FED
，
∴∠AFE
＝
∠AGH
，
∴EF∥GH
，
∴∠FEH+∠H
＝
180°
，
∵FE⊥HE
，
∴∠FEH
＝
90°
，
∴∠H
＝
180°
﹣
∠FEH
＝
90°
，
∴HG⊥HE
；
（
2
）过点
M
作
MQ∥AB
，
∵AB∥CD
，
∴MQ∥CD
，
过点
H
作
HP∥AB
，
∵AB∥CD
，
∴HP∥CD
，
∵GM
平分
∠HGB
，
∴∠BGM
＝
∠HGM
＝
2
∠BGH
，
∵EM
平分
∠HED
，
∴∠HEM
＝
∠DEM
＝
2
∠HED
，
∵MQ∥AB
，
∴∠BGM
＝
∠GMQ
，
∵MQ∥CD
，
∴∠QME
＝
∠MED
，
∴∠GME
＝
∠GMQ+∠QME
＝
∠BGM+∠MED
，
∵HP∥AB
，
1
1
∴∠BGH
＝
∠GHP
＝
2∠BGM
，
∵HP∥CD
，
∴∠PHE
＝
∠HED
＝
2∠MED
，
∴∠GHE
＝
∠GHP+∠PHE
＝
2∠BGM+2∠MED
＝
2
（
∠BGM+∠MED
），
∴∠GHE
＝
∠2GME
；
（
3
）过点
M
作
MQ∥AB
，过点
H
作
HP∥AB
，
由
∠KFE
：
∠MGH
＝
13
：
5
，设
∠KFE
＝
13x
，
∠MGH
＝
5x
，
由（
2
）可知：
∠BGH
＝
2∠MGH
＝
10x
，
∵∠AFE+∠BFE
＝
180°
，
∴∠AFE
＝
180°
﹣
10x
，
∵FK
平分
∠AFE
，
∴∠AFK
＝
∠KFE
＝
2
∠AFE
，
1
1
即
(18010x)13x
，
2
解得：
x
＝
5°
，
∴∠BGH
＝
10x
＝
50°
，
∵HP∥AB
，
HP∥CD
，
∴∠BGH
＝
∠GHP
＝
50°
，
∠PHE
＝
∠HED
，
∵∠GHE
＝
90°
，
∴∠PHE
＝
∠GHE
﹣
∠GHP
＝
90°
﹣
50°
＝
40°
，
∴∠HED
＝
40°
．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理以及灵活构造平行线
是解题的关键．
4
．（
1
）
∠BME
＝
∠MEN−∠END
；
∠BMF
＝
∠MFN
＋
∠FND
．（
2
）
120°
（
3
）
∠FEQ
的大小没发生变化，
∠FEQ
＝
30°
．
【分析】
（
1
）过
E
作
EHAB
，易得
EHABCD
，根据平行线的性质
解析：（
1
）
∠BME
＝
∠MEN−∠END
；
∠BMF
＝
∠MFN
＋
∠FND
．（
2
）
120°
（
3
）
∠FEQ
的
大小没发生变化，
∠FEQ
＝
30°
．
【分析】
（
1
）过
E
作
EH
//
AB
，易得
EH
//
AB
//
CD
，根据平行线的性质可求解；过
F
作
FH
//
AB
，易
得
FH
//
AB
//
CD
，根据平行线的性质可求解；
（
2
）根据（
1
）的结论及角平分线的定义可得
2
（
∠BME
＋
∠END
）＋
∠BMF−∠FND
＝
180°
，可求解
∠BMF
＝
60°
，进而可求解；
（
3
）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知
∠FEQ
＝
2
∠BME
，进而可求解．
【详解】
解：（
1
）过
E
作
EH
//
AB
，如图
1
，
1
∴∠BME
＝
∠MEH
，
∵AB
//
CD
，
∴HE
//
CD
，
∴∠END
＝
∠HEN
，
∴∠MEN
＝
∠MEH
＋
∠HEN
＝
∠BME
＋
∠END
，
即
∠BME
＝
∠MEN−∠END
．
如图
2
，过
F
作
FH
//
AB
，
∴∠BMF
＝
∠MFK
，
∵AB
//
CD
，
∴FH
//
CD
，
∴∠FND
＝
∠KFN
，
∴∠MFN
＝
∠MFK−∠KFN
＝
∠BMF−∠FND
，
即：
∠BMF
＝
∠MFN
＋
∠FND
．
故答案为
∠BME
＝
∠MEN−∠END
；
∠BMF
＝
∠MFN
＋
∠FND
．
（
2
）由（
1
）得
∠BME
＝
∠MEN−∠END
；
∠BMF
＝
∠MFN
＋
∠FND
．
∵NE
平分
∠FND
，
MB
平分
∠FME
，
∴∠FME
＝
∠BME
＋
∠BMF
，
∠FND
＝
∠FNE
＋
∠END
，
∵2∠MEN
＋
∠MFN
＝
180°
，
∴2
（
∠BME
＋
∠END
）＋
∠BMF−∠FND
＝
180°
，
∴2∠BME
＋
2∠END
＋
∠BMF−∠FND
＝
180°
，
即
2∠BMF
＋
∠FND
＋
∠BMF−∠FND
＝
180°
，
解得
∠BMF
＝
60°
，
∴∠FME
＝
2∠BMF
＝
120°
；
（
3
）
∠FEQ
的大小没发生变化，
∠FEQ
＝
30°
．
由（
1
）知：
∠MEN
＝
∠BME
＋
∠END
，
∵EF
平分
∠MEN
，
NP
平分
∠END
，
∴∠FEN
＝
2
∠MEN
＝
2
（
∠BME
＋
∠END
），
∠ENP
＝
2
∠END
，
∵EQ
//
NP
，
∴∠NEQ
＝
∠ENP
，
∴∠FEQ
＝
∠FEN−∠NEQ
＝
2
（
∠BME
＋
∠END
）
−
2
∠END
＝
2
∠BME
，
∵∠BME
＝
60°
，
∴∠FEQ
＝
2
×60°
＝
30°
．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作辅助线是解题的关键．
1
111
111
5
．（
1
）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；
∠CPH
；
∠APH
，
∠CPH
；（
2
）
①∠APQ+∠PQC
＝
∠A+∠C+180°
成立，理由见
解答过程；
②3∠PMQ+∠A+∠C
＝
360°
．
解析：（
1
）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；
∠CPH
；
∠APH
，
∠CPH
；（
2
）
①∠APQ+∠PQC
＝
∠A+∠C+180°
成立，理由见解答过程；
②3∠PMQ+∠A+∠C
＝
360°
．
【分析】
（
1
）根据平行线的判定与性质即可完成填空；
（
2
）结合（
1
）的辅助线方法即可完成证明；
（
3
）结合（
1
）（
2
）的方法，根据
∠APM
＝
2∠MPQ
，
∠CQM
＝
2∠MQP
，
∠PMQ+∠MPQ+∠PQM
＝
180°
，即可证明
∠PMQ
，
∠A
与
∠C
的数量关系．
【详解】
解：过点
P
作直线
PH∥AB
，
所以
∠A
＝
∠APH
，依据是两直线平行，内错角相等；
因为
AB∥CD
，
PH∥AB
，
所以
PH∥CD
，依据是平行于同一条直线的两条直线平行；
所以
∠C
＝（
∠CPH
），
所以
∠APC
＝（
∠APH
）
+
（
∠CPH
）＝
∠A+∠C
＝
97°
．
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；
∠CPH
；
∠APH
，
∠CPH
；
（
2
）
①
如图
2
，
∠APQ+∠PQC
＝
∠A+∠C+180°
成立，理由如下：
过点
P
作直线
PH∥AB
，
QG∥AB
，
∵AB∥CD
，
∴AB∥CD∥PH∥QG
，
∴∠A
＝
∠APH
，
∠C
＝
∠CQG
，
∠HPQ+∠GQP
＝
180°
，
∴∠APQ+∠PQC
＝
∠APH+∠HPQ+∠GQP+∠CQG
＝
∠A+∠C+180°
．
∴∠APQ+∠PQC
＝
∠A+∠C+180°
成立；
②
如图
3
，
过点
P
作直线
PH∥AB
，
QG∥AB
，
MN∥AB
，
∵AB∥CD
，
∴AB∥CD∥PH∥QG∥MN
，
∴∠A
＝
∠APH
，
∠C
＝
∠CQG
，
∠HPQ+∠GQP
＝
180°
，
∠HPM
＝
∠PMN
，
∠GQM
＝
∠QMN
，
∴∠PMQ
＝
∠HPM+∠GQM
，
∵∠APM
＝
2∠MPQ
，
∠CQM
＝
2∠MQP
，
∠PMQ+∠MPQ+∠PQM
＝
180°
，
∴∠APM+∠CQM
＝
∠A+∠C+∠PMQ
＝
2∠MPQ+2∠MQP
＝
2
（
180°
﹣
∠PMQ
），
∴3∠PMQ+∠A+∠C
＝
360°
．
【点睛】
考核知识点：平行线的判定和性质．熟练运用平行线性质和判定，添加适当辅助线是关
键．
二、解答题
6
．（
1
）
60°
；（
2
）
①6s
；
②s
或
s
【分析】
（
1
）利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题．
（
2
）
①
首先证明
∠GBC=∠DCN=30°
，由此构建方程即可解决问题．
②
分两种情形：如图
③
中，当
解析：（
1
）
60°
；（
2
）
①6s
；
②
【分析】
（
1
）利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题．
（
2
）
①
首先证明
∠GBC=∠DCN=30°
，由此构建方程即可解决问题．
②
分两种情形：如图
③
中，当
BG∥HK
时，延长
KH
交
MN
于
R
．根据
∠GBN=∠KRN
构建
方程即可解决问题．如图
③-1
中，当
BG∥HK
时，延长
HK
交
MN
于
R
．根据
70
10
s
或
s
3
3
∠GBN+∠KRM=180°
构建方程即可解决问题．
【详解】
解：（
1
）如图
①
中，
∵∠ACB=30°
，
∴∠ACN=180°-∠ACB=150°
，
∵CE
平分
∠ACN
，
∴∠ECN=
2
∠ACN=75°
，
∵PQ∥MN
，
∴∠QEC+∠ECN=180°
，
∴∠QEC=180°-75°=105°
，
∴∠DEQ=∠QEC-∠CED=105°-45°=60°
．
（
2
）
①
如图
②
中，
1
∵BG∥CD
，
∴∠GBC=∠DCN
，
∵∠DCN=∠ECN-∠ECD=75°-45°=30°
，
∴∠GBC=30°
，
∴5t=30
，
∴t=6s
．
∴
在旋转过程中，若边
BG∥CD
，
t
的值为
6s
．
②
如图
③
中，当
BG∥HK
时，延长
KH
交
MN
于
R
．
∵BG∥KR
，
∴∠GBN=∠KRN
，
∵∠QEK=60°+4t
，
∠K=∠QEK+∠KRN
，
∴∠KRN=90°-
（
60°+4t
）
=30°-4t
，
∴5t=30°-4t
，
∴t=
10
s
．
3
如图
③-1
中，当
BG∥HK
时，延长
HK
交
MN
于
R
．
∵BG∥KR
，
∴∠GBN+∠KRM=180°
，
∵∠QEK=60°+4t
，
∠EKR=∠PEK+∠KRM
，
∴∠KRM=90°-
（
180°-60°-4t
）
=4t-30°
，
∴5t+4t-30°=180°
，
∴t=
70
s
．
3
70
10
s
或
s
．
3
3
综上所述，满足条件的
t
的值为
【点睛】
本题考查几何变换综合题，考查了平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义等知识，解
题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问
题，属于中考压轴题．
7
．（
1
）
110°
；（
2
）
∠CPD=∠α+∠β
，见解析；（
3
）当
P
在
BA
延长线时，
∠CPD=∠β-∠α
；当
P
在
AB
延长线上时，
∠CPD=∠α-∠β
【分析】
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