论和谐(统一)美在数学解题中的指导作用

2024年4月9日发(作者：2022年新疆喀什中考数学试卷)

＿ｆ１－３０　数学教学　２０１０年第ｌ１期　

论和谐（统一）美在数学解题中的指导作用　

５１０２２０广东省广州市第五中学刘护灵杨之元　

日本数学家米山国藏认为：数学是人们按照　

统一建设的精神和思想思索出来的．在数系的　

为二次的形式，展开后即可得证．　

例２设Ｘ＞０，Ｙ＞０，求证（　＋　）专＞　

扩张、概念的演变、图形的简单与复杂、封闭　

区域的内与外等，数学中处处体现这种统一建设　

的精神．从数学美的角度看，数学知识的和谐　

（　３＋Ｙ３）　．　

分析：可用分析法证明．要证的不等式在次　

数上不统一，为转化为统一，可以考虑两边同时　

（统一）美和简练美是数学知识结构美的两个主　

要方面．数学知识的和谐（统一）美是数学的普　

遍形式．在数学教学中，要充分挖掘数学美的因　

素，引导学生对美的追求，使他们摆脱“苦学”的　

束缚，走入“乐学”的天地．以下摘取研究者自己　

解题的若干例子，谈谈自己在解题教学中执着于　

发现那些似乎彼此孤立的结论之间的联系，在寻　

６次方，即证（Ｘ。＋ｙ２）。＞（　０＋ｙ３）。，展开之后　

作差即可得证．　

二、寻求形式结构的和谐统一　

例３　已知ａ、ｂ＞０，且ａ＋ｂ＋ａｂ＝２，求　

ａ　Ｈ－ｂ的取值范围．　

分析：已知条件ａ＋ｂ＋ａｂ＝２是一个等式，　

目标ａ＋６是一个代数式，形式结构上不和谐、不　

找差异后，努力寻求统一，用和谐（统一）美实现　

成功解题的心路历程．　

寻求次数的和谐统一　

一

统一，为此设ａ＋ｂ＝ｔ，通过换元化为统一的等　

式结构．又由于条件等式中ａ＋６为一次项，０６为　

二次项，为寻求次数统一，将ａ＋ｂ＝　两边平方，　

、

例１　已知ａ＋ｂ＋Ｃ＝０，求证０６＋６ｃ＋　

ｃａ≤０．　

接下来用均值不等式后，再转化为关于ｔ的不等　

式即可求解．　

分析：已知的是一个次数为１的等式，而要证　

的是一个二次的不等式，已知和未知在次数上不　

和谐、不统一，为此，可以把已知式两边平方，化　

的切线相交于点Ｑ，则点Ｑ的轨迹方程为　一　

Ｙ　＝Ｐ。

．　

例４（２００９年辽宁省高考（理）试题）若　１　

满足２　＋２　＝５，Ｘ２满足２　＋２ｌｏｇ２（　一１）＝　

５，那么　１＋Ｘ２＝……………………－…（）　

．￣　

－一ｐ：　：　

０

、一

，

ＹＯ　Ｐ　

，２

得　０：一　，Ｙｏ：　ｐ．将其　

ｚ　ｚ　

ｔ２　

。　

证明：设Ｐ（　ｏ，Ｙｏ）、Ｍ（ｘ１，Ｙ１）、Ｎ（ｘ２，Ｙ２），　代八　得　一Ｙ　Ｐ。　

＋　＝　上的一　

则有　３＋ｙ３：ｐ２，………………．………．④　

ｏ（二）在点Ｐ处的切线方程为ＸｏＸ＋ＹｏＹ：　

ｐ２

．

即点Ｑ的轨迹方程为　。一ｙ２：＝＝Ｐ２・　

　推论３设Ｐ为ｏ０：．　

因为　、Ⅳ两点都在切线上，所以　０　１＋　个动点，过点Ｐ作ｏ（二）的切线与抛物线　２＝２ｐｙ　

ｌ：ｐ２

，　０　２＋　０　２：ｐ２，切点弦　Ⅳ的方　相交于　、Ⅳ两点，若抛物线在　、Ⅳ两点处　

的切线相交于点Ｑ，则点Ｑ的轨迹方程为Ｙ　一　

Ｘ　Ｐ　・　

推论３的证明与定理３的证明类似，故从略．　

参考文献　

程就是　ｏ　＋　０　：ｐ２．……………………⑤　

因为抛物线在Ｍ、Ⅳ两点处的切线方程分

别为Ｙ１Ｙ＝ｐ（ｘ１＋　），ＹＢＹ＝ｐ（ｘ２＋　）．其交点　

为Ｑ（ｘ　Ｙ，）＿　

一　

所以切点弦ＭＮ方程为Ｙ　Ｙ＝ｐ（ｘ　＋　），即　

＋ｆＹ＝ｐｘ　．…………………………⑥　

因为⑤与⑥表示同一条直线ＭⅣ方程，故　

［１］张斌，张淑萍．从一道联赛（预赛）题谈圆　

锥曲线的又一个有趣性质［Ｊ］．数学通讯，２００９　

（５）：１５～１６．　

２０１０年第１１期　数学教学　１１—３１　

分　

（Ａ）导；　

解：由题意有　

（Ｂ）３；　（ｃ）　；　（Ｄ）４．　这样目标的形式就达到了和谐统一。

了用函数的单调性来证明・设九（　）＝　

　

，　

Ｊ【　

２ｘ２＋２　

２ｘｌ　４－２　

ｌｏｇ２（ｘ２—１）＝５，

，…………………①　

…………・②　

则　（　）＝—ｌ＋——ｘ　

，

此式中　ｘ为　

从形式结构上看，①、②都为等式，　１＋　２　

分式，ｌｎ（ｉ＋Ｘ）为对数式，不是统一的形式，直　

为代数式，为了统一，可设　ｌ＋Ｘ２＝ｔ．又因为　

①、②式各含有指数和对数，形式不统一，可以　

接比较大小有困难・为此再设夕（　）：＝：ｒ　一　

考虑将①、②转化为统一的某个形式（即统一　

ｌｎ（ｉ＋　），求导后９　（　）＝＝＝　一　，　

为对数形式或指数形式），不妨将①转化为对数　

形式．　

从形式上统一为分式，化简得９　（　）　，　

’

把①式化为Ｘｌ＝ｌｏｇ２（５—２ｘ１），为了向②　

．

．

当Ｘ　Ｅ　Ｎ　时，９　（　）≤０，ｇ（ｘ）单调递减，所以　

式形式“靠拢”，用Ｘｌ＝ｔ—Ｘ２代入上式消去　１　

９（ｘ）的最大值为９（１）＝去一Ｉｎ２＜０，即　ｘ）＜　

得ｔ—Ｘ２＝ｌｏｇ２（５～２ｔ＋２ｘ２），………………・・③　

０，这样ｈ（ｘ）单调递减，．。．当　、Ｙ∈Ｎ　，且Ｘ＜　

然后把②式化为　ｏ－－Ｘ２＝ｌｏｇ２（　２—１）．・・④　Ｙ时，ｈ（ｘ）＞　（　），长口Ｆ（ｘ，Ｙ）＞Ｆ（　，　）．　

比较⑧、④式，右边形式仍不统一，为此在　

三、寻求项数的和谐统一　

⑧的对数式中“提取２”，利用对数运算性质化为　

例６（２０１０年广州市高三第二次全市理科　

ｔ—Ｘ２＝ｌｏｇ２　２＋ｌｏｇ２　Ｉ　Ｘ２一ｔ＋　ｏ），即ｔ—Ｘ２＝　

模拟试题）已知数列｛口ｎ）和｛　）满足ａｌ＝ｂｉ，　

＼　厶／　

且对任意礼Ｅ　Ｎ　都有０　＋ｂ　＝１，—ａｎ—＋ｌ：　

１＋１ｏｇ２（Ｘ２一ｔ＋　

／　

０）

ｒ、　

，为了“去掉”等式右边的　

１，继续化为　

１—０萎’　

（ｔ一１）一Ｘ２　ｌｏｇ２　Ｘ２～ｔ一耋）Ｉ，“．．⑤　

（１）求数列＿［０　）和｛６ｎ）的通项公式；　

这时④、⑤式在形式上完全达到了统一，　

（２）证明薏＋鼍＋酱＋・・‘＋　ａ　ｎ＋ｌ＜１ｎ（１＋　

所以比较两式得ｔ一１＝署且ｔ一詈＝１，即ｔ＝寺．　

）＜　ａｌ＋　ａ２＋　ａ３＋…＋　ａｎ・　

例５（２００９年广州市高二数学竞赛第１５题）　

定义函数Ｆ（ｘ，Ｙ）＝（１＋　）　，　、Ｙ∈（０，＋。。）．　

分析与解：（Ｉ）由条件易得ａ　＝÷ｎ＋ｌ　，ｂ　＝　

（１）令函数ｆ（ｘ）＝Ｅｌ１，ｌｏｇ２　ｘ。一３ｘ）】的图　

－

ａｎ　・　

像为曲线　１，求与直线４　＋１５ｙ一３＝Ｏ垂直的　

曲线（了１的切线方程；　

现分析第（２）小题．由（１）知即证吉＋去＋　

（２）令函数ｇ（ｘ）＝Ｆ［ｉ，ｌｏｇ２　ｘ３＋ａｘ　＋ｂｘ＋　

１）】的图像为曲线　，若存在实数ｂ使得曲线　

＋…・＋　｛　＜ｌｎ（１＋佗）＜１＋　１十　１＋…＋　

ｉ

在　０（Ｘｏ∈（１，４））处有斜率为～８的切线，求实　

，

即证两个不等式　

ｎ　

数ａ的取值范围；　

ｌｎ（１＋ｎ）＜１＋　１＋　１＋…＋　

ｎ，………①　

（３）当　、Ｙ∈Ｎ　，且　＜Ｙ时，证明Ｆ（ｘ，Ｙ）　

＞ｖ（ｖ，　）．　

＋　１＋　１＋

…

＋　｛　＜ｉｎ（１＋　），…②　

分析与解：（１）、（２）略．现分析第（３）小题．即　

这两个不等式的特点都是左右两边项数不　

证（１＋ｘ）ｙ＞（１＋　）　（Ｘ、Ｙ　Ｅ　Ｎ　，且Ｘ＜　），此　

统一、不和谐，为了达到左右都有ｎ项的形式，联　

不等式，左右两边都含　、Ｙ，但形式不统一，为此，　

想到可以利用裂项式０ｎ＝（ａｎ－ａ他一１）＋（０　一１一　

两边取对数，即证Ｙｌｎ（１＋　）＞　Ｉｎ（１＋ｙ），作商，　

ａｎ－－２）＋…＋（ａ２一ａ１）＋ａｌ，把ｌｎ（１＋ｎ）裂成如　

即证　＞　（　、　∈Ｎ　，　＜　），　

下形式：ｌｎ（１＋ｎ）＝［１ｎ（１＋ｎ）一Ｉｎ　］＋［Ｉｎ佗一　

』＿ｆ一　数学教学　

右边＝一　１‘　

２０１０年第１１期　

＋　２

，　

ｌｎ（ｎ—１）］＋…＋［Ｉｎ　２一ｌ１２　１］＋Ｉｎ　１．下面先证　

不等式①，即只￣ｉｉＥＮｌｎ（１＋仡）一ｉｎｎ＜１

即　

，

＝一　

证ｈ　ｌ＋ｎ＜１

ｎ　

这种不等式，左边是对数形式，右边是分数形式，　

形式也不和谐统一，直接证明有困难，于是想到　

刀　证ｈ（ｔ　＋　）／＜　，刀　证明　

…　

（　一ａｎ）。＋。　≤　

≥　一　（詈　）＋南一　

。

．．

原不等式成立．　

（ＩＩＩ）由（１Ｉ）知，对任葸的　ｊ＞０，　ｎ１＋ａ２＋　

令　＝　，构造函数ｆ　ｘ）＝ｌｎ　ｎ（１＋　）一　（　＞　

１　

０），只需证明ｆ（ｘ）＝ｌｎ（１＋Ｘ）一Ｘ在（０，＋。。）上　

恒小于０即可，利用求导即可得证．　

＝　一　

一　

．．＋　一　一　

下面证明不等式③，同上述的分析，只芾证／　

＝…ｌ＋ｘ　ｌ（　＋１（ｘ）２　３Ｉ＼、　一２＋＋一＋…＋一一　３２＋・　。・・＋。　ｎ３ｎ…／ｎ　　ｌ）　．‘一・・①ｔｌ　　

到这一步再往下做有难度了．观察要证的　

ｎ十上　

明ｌｎ（１＋竹）　＞　，即证ｌｎ（１＋　１）＞　

不等式，右边只有一项　

—　

，而目前①式不止　

同样想到令１

，

．　

一

：　

１

１　

一

佗　

，

构造函数ｇ（　）：　

项．为了向目标　

他＋ｌ　

的形式靠近，由于已知　

ｉ十

ｎ　

条件中　＞０，ｚ是任意的，故想到令詈＋轰＋　

＞０），往下用导数证明９（　）　

＋　２

ｌｎ（１＋ｘ）一　

＋　一佗ｚ　佗ｚ：０，即取　，　取　

一

在（０，＋。。）恒大于０即可．　

＝

例７（２００８年陕西省高考（理）第２２题）已　

知数列｛。　）的首项ｎ　＝詈，。礼＋　＝　

（Ｉ）求ｔｎｎ，的通项公式；　

，　

：　

２

１（　２＋蚤一＋　）　

（　１　－１）

ｎ（　（　一　），　

＿

）　３　’　

　

：　

（、　１Ｉ）证明：对任意的Ｘ＞０，ａ　≥÷ｌ＋Ｚ　一　

ｎｌ＋。２＋一・＋。ｎ≥　

南（　一　

分析与解：（Ｉ）易得。ｎ　

…；　

．　

＝——　一

ｎ＋１一　１

（Ⅲ）证明：ｎ１＋。２＋．．・￣ａｎ＞　

＞　

时　

，得证．　

・现在证明　

四、本文的小结　

第（Ⅱ）和（Ⅲ）小题・　

。　

（Ⅱ）申（Ｉ）知。ｎ＝＝＝　＞０・　

罗增儒教授认为：和谐（统一）性是数学结构　

美的重要标志，是数学家不懈追求的目标，也是　

发现与创造的美学方法之一．找差异　求统一，促　

转化，为我们解题思绪的流淌而源源喷吐甘泉，　

不但可以成功地指导我们如何解题，而且让我们　

右边　币１一　（　一）　

南一南１＋　（＋１（　）。＼＼　　一…／３＋卜卜　／　

＝

＝　

欣赏和感受到了数学和谐（统一）的美！　

参考文献　

几步的目的是消去３　，统一成只含ａ　的形式，而　

１　＋　（＋１　　）　【　Ｊ　１　ａ　－（１　）一　Ｊ　（ｉｒｍａ

一　

…米山国藏．数学的精神、思想和方法［Ｍ］．　

成都：四川教育出版社，１９８６．１６２．　

ｎ　只是一个常数，下面只需用二次函数配方即　

可求最值）．　

【２］罗增儒．数学解题学讣论【Ｍ］．西安：陕西　

师范大学出版社，２００８年８月第２版。３２４．