米勒定理-最大视角(5页)

2024年4月8日发(作者：黄冈初一推荐数学试卷)

米勒定理-最大视角问题

思考：如下图，观察山顶上的电视塔，站在斜坡上的什么位置，看到的电视塔最高？

米勒问题，米勒，德国数学家、天文家。翻译、注释并出版了托勒密、阿波罗尼奥斯、阿基米德和海伦等希

腊数学家的著作，发表的《三角全书》，对欧洲数学的发展起了重要的推动作用。

1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题：在地球表面什么部位，一根垂直的悬杆

呈现最长？（即在地球上什么部位，可视角最大）

这一最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题中第一个极值问题而引人注目,因为德国数学家米勒曾提

出,因此最大视角问题又称之为\"米勒问题\"。

历史上的米勒问题所涉及的范围是三维空间.作为实际问题，我们首要的是根据实物背景抽象出简化的数学模

型.模型假设：相对于悬杆而言，地球的体积是相当大的.所以我们视地球表面为平面；为了简化模型，同时

忽略观察者身高对答案的影响，即设观察者的身高为0.设悬杆在地面上的投影为，因为悬杆垂直于地面，所

以据点相同距离的点所得可见角是一样的.类比可得出平面中的米勒问题.今天，我们尝试用初中几何的知识

来解决这个问题。

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这一问题更一般的描述是：

米勒问题:已知，如图点A、B是∠MON的OM边上的两个定点，P是射线ON边上的一个动点，

问：当P在何处时，∠APB最大？

问题的答案是：

米勒定理:当且仅当△ABP的外接圆与边ON相切于点P时，∠APB最大。人们称这一命题为米勒定理！

G

G

【数学模型】

大小不一的圆中取相等的弦，找出劣弧所对的圆周角；圆越小，该角越大.

重点来了，作△ABP的外接圆，由于AB是定弦，则外接圆最小的时候，





最大，观察一下什么时候外接圆最小？

很明显！当外接圆和射线ON相切的时候，该圆最小，





最大.由切割线定理得

OP²OAOB·

.

（注：切割线用相似可以这么证明：倒角得

OPBOAP

，得

OAP∽OPB

，得

OP²OAOB·

）

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理论分析：

米勒定理中的圆的画法：

而米勒定理中的最大角问题只涉及圆周角和圆外角，所以当OM与△ABP的外接圆相切时，∠APB最大

。

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(2015陕西中考数学)

25.（本题满分12分）如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD//BC,CD⊥BC,∠ABC=60°,AD=8，BC=12.

(1)如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为__________；

(2)如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；

(3)如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P,使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此时cos∠BPC

的值；若不存在，请说明理由.

（2019•烟台中考题）

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（2019西交大四模25题）

问题发现：

(1)如图2-1，AB为⊙O的直径，在⊙O上求作一点P，使∠ABP=45°.

问题探究：

(2)如图2-2，等腰直角ΔABC中，∠A=90°,AB=AC=3√2，D是AB上一点，AD=2√2,在BC边上是否存在点P.使∠

APD=45°.若存在，求出BP的长度;若不存在，请说明理由.

问题解决：

(3)如图2-3，是矩形足球场示意图，其中宽AB=66m，球门EF=8m,且EB=FA.点P、Q分别为BC、AD上的点，

BP=7m，∠BPQ=135°.一位左前锋球员从点P处带球，沿PQ方向跑动，球员在PQ上的何处才能使射门角度

（∠EMF）最大？求出此时PM的长.

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