2023年12月25日发(作者：苏教版四上三单元数学试卷)
北师大版数学九年级下册
（全新打造 精心汇编）
全套电子教案
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学生成绩登记表
序号
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姓名
单 元 测 验
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学生成绩登记表
序号
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姓名
单 元 测 验
1
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7
8
9 10
平时
月考
期中
月考
期末
总评
教 学 计 划
教材：
教学情况分析：
教材分析：
教学目标要求：
各单元重点：
教学方法和措施：
教学进度安排
周次
一
起讫
月日
教学内容 节数 总课时序数 备注
二
三
四
五
六
七
八
九
十
一
十
二
教学进度安排
周次
十
三
起讫
月日
教学内容 节数 总课时序数 备注
十
四
十
五
十
六
十
七
十
八
十
九
二
十
二
十
一
目 录
第一章
01《锐角三角函数》（一）………………………………………………………………………01
02《锐角三角函数》（一） ……………………………………………………………………04
03《300,450,600角的三角函数值》
……………………………………………………………07
04《三角函数的计算》 …………………………………………………………………………11
05《解直角三角形》 ……………………………………………………………………………14
06《三角函数的应用》 …………………………………………………………………………17
07《利用三角函数测高》（一）…………………………………………………………………20
08《利用三角函数测高》（二）…………………………………………………………………23
《利用三角函数测高》活动报告 ……………………………………………………………25
09《回顾与思考》（一）…………………………………………………………………………26
10《回顾与思考》（二）…………………………………………………………………………29
第二章
11《二次函数》 …………………………………………………………………………………32
12《二次函数的图像与性质》（一）……………………………………………………………34
13《二次函数的图像与性质》（二）……………………………………………………………36
14《二次函数的图像与性质》（三）……………………………………………………………38
15《二次函数的图像与性质》（四）……………………………………………………………41
16《确定二次函数的表达式》（一）……………………………………………………………44
17《确定二次函数的表达式》（二）……………………………………………………………46
18《二次函数的应用》（一）……………………………………………………………………48
19《二次函数的应用》（二）……………………………………………………………………51
20《二次函数与一元二次方程》（一）…………………………………………………………54
21《二次函数与一元二次方程》（二……………………………………………………………57
22《回顾与思考》（一）…………………………………………………………………………60
23《回顾与思考》（二）…………………………………………………………………………63
第三章
24《圆》 …………………………………………………………………………………………66
25《圆的对称性》 ………………………………………………………………………………68
26《垂径定理》 …………………………………………………………………………………70
27《圆周角和圆心角的关系》（一）……………………………………………………………72
28《圆周角和圆心角的关系》（二）……………………………………………………………74
29《确定圆的条件》 ……………………………………………………………………………76
30《直线和圆的位置关系》（一）………………………………………………………………78
31《直线和圆的位置关系》（二）………………………………………………………………80
32《切线长定理》 ………………………………………………………………………………82
33《圆内接正多边形》 …………………………………………………………………………84
34《弧长及扇形的面积》 ………………………………………………………………………87
35《回顾与思考》（一）…………………………………………………………………………89
36《回顾与思考》（二）…………………………………………………………………………91
01《锐角三角函数》（一）教学设计
课题基本信息
课题
学科
版本
数学
北师大版
《锐角三角函数》（一）
年级 九年级
册别
单元 第一章
下册
备课人员信息
主备者姓名
学科备课组长
主备者单位
年级备课组长
1.教学背景分析
1. 教材内容分析：
本课时内容，在学生已有对直角三角形认识基础上进一步研究直角三角形边与角的关系，这是为今后在高年段学习三角函数打好学习基础，同时也是为后几课时初步解决斜三角形问题建立数学模型-构造直角三角形。
2. 学生情况分析：
九年级学生已经学习了函数、四边形、相似三角形和直角三角形勾股定理等知识，能够熟练地利用勾股定理解三角形问题，为锐角三角函数的学习提供了研究方法，具备一定的逻辑思维和推理等能力，通过合作学习，具备一定的合作与交流能力，会观察、猜想、分析、综合、抽象、和概括。
3. 教学方式与教学手段：
在本章，学生首次接触以角度为自变量的三角函数，初学者不易理解，应让学生正确理解锐角三角函数的概念。为此选例应贴近生活，让学生感觉自然、熟悉；另外应重视学生记忆环节，充分运用现代信息技术（多媒体教学）。
4. 信息技术（配套课件）准备：
多媒体课件，三角尺
2.学习目标与学习效果评价设计
评价方式与内容
1.理解正切三角函数以及坡度(坡比)概念。
1、能准确理解正切三角函数的概念。
2、能利用正切三角函数求直角三角形的边和角。
2.能用tanA表示直角三角形中两直角边的3、能构造直角三角形，利用正切三角函数求简单的斜三角形边长。
比,能表示物体的倾斜程度和坡度（坡比）等。
4、能准确理解坡度（坡比）的概念，并利用它解决实际应用问题。
3.能根据直角三角形的边角关系，用正切三角函数进行简单的计算。
学习目标
3.学习重难点及突破方法
学习重点：1.正切三角函数的概念及坡度(坡比)的概念。
2.会根据直角三角形的边角关系求一个锐角的正切函数值。
学习难点：能熟练地利用正切三角函数解决有关求边长、坡度等数学问题。
突破方法：用生活实例或场景，为学生建立模型，进而突破用正切三角函数解决实际应用问题。
4.教学过程
教学环节及预计时间
创设情境
1min
师生活动
师：同学们，大家有过在周末时相邀几个亲朋好友一同去爬山的经历吗？
师：在爬山时，怎么来判断这山到底险不险呢？
学生结合亲身体验，找寻到险不险的程度和山陡不陡有关系。
师：是的，山路陡不陡，能反映出这山的险设计意图
从学生身边找兴趣点，引发学生的感同身受，结合身边的体验，思考并接入课时主题。
教师备注
- 1 -
与不险，只不过这是在直观感受上判断的。而今天，就让我们一同从理论上来进一步研究这陡与不陡的问题------《锐角三角函数》（一）（书写课题）
合作交流
探索新知
10min
借助梯子问题，贴近学生生活场景，容易让学生建立直观印象，为后续教学增加学习效果，提高教学效率。
另外，重视以生为主体，教师为主导的教学理念，把学习主动性交给学生，把课堂还给学生。
让学生以组为单位，敢于上台展示学习探讨交流成果，敢于表达自己的见解，提升学生个人能力。
下，又该如何去判断哪个
梯子更陡呢？
学生交流总结
师： 铅直高度和水平宽度的比
与倾斜角的大小是有密切
关系的，它们都可以作为判断“陡”的
依据。
结合书本例师：现在小明同学因身高原因，不能顺利测题，但引导学生用量梯子顶端到墙脚的距自己的见解去表离B1 C1 ,进而无法刻画达，可以做到和书梯子的倾斜程度，他该怎本的方式不同，应么办？你有什么锦囊妙当对不同见解进行计？ 请各小组结合书本黑板提示，好及时肯定。
好交流探讨一下。时间5分钟
（学生各小组交流探讨，老师下去巡查指导）
组1：联想到刚才的陡，我们想，此时的梯
子陡的程度已经确定了，因此倾斜角是
不变的，于是在梯子AB1上任取一点B2，
过该点作地面的垂线段B2C2构成的Rt△
AB2C2与Rt△AB1C1相似，对应的线段成BCACBCBC
,,BCACACAC比例，即；因此，我组
得出结论：直角三角形中，锐角确定
后，对应的对边和及时肯定学生邻边的比值也就确精彩的小结，促进定了。
学生学习积极性，师：同学们，你们能够比较两个斜靠在墙上的梯子哪个放置的更陡吗？你会有哪些办法呢？请各组同学用2分钟时间相互交流探讨一下。
（教师下去巡查，偶尔参与到各小组讨论）
（学生上台展示交流成果）
组1：我们组探讨了几种情况：1、梯子一样长的情况下，哪个梯子靠墙面近，哪个就更陡；2、梯子一样长时，梯子与地面的夹角（老师补充锐角）越大，则梯子越陡。
组2：梯子底部离墙面距离相同时，哪个梯子越长，梯子就越陡；同理，梯子离地面的高度相同的时候，梯子离墙面越近就越陡。
师：同学们的回答都很精彩！都答到了要点，对你们刚才涉及的距离呀，角度啊，我们给出以下定义：
师：结合刚才小组代表的回答，我们来整理一2
- 2 -
师：很精彩的回答，很准确的小结，这组同学一贯表现出了思考时的缜密，为他们点赞！下面我们再来整理一下：
同时，也特别注意以下几点。
例题讲解
3min
师：经过一番理论上的论证，下面让我们一起来检验一下学习成效如何。同学们能帮我判断这两个扶梯哪个陡吗？
学生解决，并果断展示。教师提示应标准作答。
师：同学们，在实际生活中，正切除了表示梯子的倾斜程度外，其实，还常用来表示某斜坡的坡度，有时也称为坡比（不是坡角）（教师展示定义，并指导学生理解坡度和坡角的关系）
师：坡度经常用到，比如下面这个实例，请大家来帮帮忙，帮他算算。坡角是多少？上升了多高？
（学生探讨交流，得出结论。教师及时提示，正切的使用，可以已知角来求直角边，也可以已知直角边来求锐角）
练习设计，层层深入。由基本定义或直观模型入手，上升到构造直角三角形解决斜三角形问题。
师生共同小结，整理。
营造更好的学习氛围。
通过实例，让学生体验数学离不开生活应有，生活更加离不开数学。
对新知识的新应用，让学生再次明白数学与生活的紧密联系。
让学生更深层次理解正切三角函数的使用中，不只是由角求边，也可以由边求角等等。
紧扣定义，紧贴模型，构造模型，逐步揭示中考试题命题方向。
师生共析，检验效果。
合作交流
探索新知
2min
例题讲解
3min
巩固练习
23min
归纳小结
反思提升
3min
5.板书设计
1.1锐角三角函数---正切与坡度
1. 比较梯子的倾斜程度； 4.授例: (1)例1 5.巩固练习
(2)例2 6.小结
2. 正切三角函数的概念及其表示方法；
3.
坡度的概念及其表示方法；
6.教学反思与改进
- 3 -
02《锐角三角函数》（二）教学设计
课题基本信息
课题
学科
版本
主备者姓名
学科备课组长
数学
北师大版
《锐角三角函数》（二）
年级
册别
九年级 单元
下册
第一章
备课人员信息
主备者单位
年级备课组长
1.教学背景分析
1.教材内容分析：
本节内容是北师大版下册第一章《直角三角形边角关系》中“从梯子的倾斜度谈起”的第二课时内容，是学生在学习了“正切”函数基础上继续学习的两个锐角三角函数，是锐角三角函数意义的完善、深化和延伸，是进一步感受数形结合的思想，体会数形结合的方法。
2.学生情况分析：
经过上节课的学习，学生对锐角三角函数的意义及对现实生活的观察、探索，揭示直角三角形中边角关系的学习打下了良好的基础，对本节内容，学生迫切了解揭示这种边角关系，还有没有存在其他的途径和方法。教师应积极引导，让学生融入课堂，让他们积极观察、探索，感受探索 知识的魅力和乐趣。
3.教学方式与教学手段：
引导学生观察、探索、思考、讨论，概括知识的规律。
4.信息技术（配套课件）准备：
多媒体课件，三角尺。
2.学习目标与学习效果评价设计
学习目标
1．经历直角三角形中边角关系的探索过程，理解锐角三角函数中的正弦和余弦的意义，并能举例说明。
2.经历探索直角三角形中边角关系的过程。
3.能够运用sinA，cosA表示直角三角形中两边的比。通过合作交流，能够进行简单的计算。
4.经过探索，引导学生观察，提升发现问题的能力。
评价方式与内容
1、能准确理解正弦、余弦三角函数的概念；
2、能利用正弦、余弦三角函数求直角三角形的边和角；
3、能构造直角三角形，利用三角函数求简单的斜三角形边长；
4、能运用三角函数进行计算。
3.学习重难点及突破方法
学习重点：理解并运用正弦、余弦表示直角三角形中的两边比。
学习难点：理解正弦、余弦的概念，用函数观点理解正弦和余弦。
突破方法：教师创设情景启发，为学生建立模型，进而突破用三角函数解决实际应用问题。
4.教学过程
教学环节及预计时间
师生活动
师：同学们，你们能帮我快速解决这两个问题吗？
生：利用正切的定义，在直角三角形中，正切值等于对边与斜边的比。图1tanA等于根号三，tanB等于三分之根号三；图2tanA等于三分之一，tanB等于3.
师：这位同学对正切的概念掌握的很好。判断山路的陡与不陡问题，我们可以借助研究倾斜角的正切值来判断，也就是它的对边与斜边的比，那么除此之外，还能不能用其它的边之比来判断呢？
今天，就让我们一同来进一步研究这陡与不陡的问题------《锐角三角函数》（二）（书设计意图
由问题引入新课，引发学生思考并接入课时主题。
教师备注
创设情境
2min
- 4 -
合作交流
探索新知
18min
写课题）
师：同学们，你们观察从直角三角一 下这个直角三角形，形中锐角的正切在锐角A确定时，除了值为切入点，容对边与邻边的比确定易让学生利用旧外，想一想，还有其它边之间的比是否也是确定知印象，通过类的呢？ 比的思维，得出生：还有，利用直角三角形勾股定理，我们知道，新知新的火花已知两直角边可以求出斜边，因此直角边的点，使后续的教比确定了，那么斜边与它们的比也将确定。 学水到渠成，提师：这位同学利用了直角三角形的勾股定理当直高教学效率。
角边确定了，那么它的斜边也将确定，于是另外，应以得出它们的比也是确定的，这是非常好的想学定教，打造以法。下面老师有一学生为主体，以种新的想法，你们训练为主线，以一起来看看，也帮激发为主旨。
忙分析一下，然后请各组同学用2分钟时间
相互交流探讨一下。 让学生以组（教师下去巡查，偶尔参与到各小组讨论） 为单位，敢于上（学生上台展示交流成果） 台展示学习探讨组1：我们组的结论是：这两个三角形是相似的，交流成果，敢于这可以利用两角对应相等的两个三角形相表达自己的见似来判断；因为相似了，所以对应边成比例解，提升学生个了，容易得出三组边对应成比例，利用比例人能力。
的性质，相互交换比例项的位置，可以得出
结论是正确的。
师：好的，我们来看看这个过程是不是这样的。
（ppt展示）
从上，我们发现，在直角三角形中，当锐角
的度数确定时，那么该角的对边与斜边的比结合书本想（反之也一样）是一个定值的。 一想和刚刚新授师：请同学们快速的来回答知识，引导学生一下下面这组问题。 用自己的见解去鼓励学生们积极发言，表达表达，可以做到自己的看法，教师应当多和书本的方式不加肯定。 同，应当对不同师：同学们的回答都很精彩！见解进行及时肯其实，我们可以有以下结定。
论：
师：锐角A的正弦、余弦和正
切都是∠A的三角函
数.当锐角A变化时，
相应的正弦、余弦和正
切值也随之变化.
师：结合刚才我们的探究
过程，我们来整理一下，
对于直角三角形中，对及时肯定学边与斜边的比，邻边与斜边的比，我们又称之为什么呢？下面我们一起来看看。（教师生精彩的展示，促进学生学习积展示ppt）
师： 和正切一样，值得注意的有：（展示ppt）
极性，营造更好师：我们都知道，梯子的陡不陡，和倾斜角的大的学习氛围。
小有关系，同时与该角的正切值也有关系,
- 5 -
例题讲解
7min
同学们还记得吗？
生：倾斜角越大，该角的正切值越大，梯子越陡。
师：那你知道梯子的陡不陡与该角的正弦值和余弦值又有什么关系呢？
生：由前面我们得出的结论知道，倾斜角越大，正弦值越大，余弦值越小，于是这样梯子才越陡。
师：非常好，这位同学上课听得非常认真，还善于归纳整理。正弦值与余弦值随倾斜角变化的情况正如这位同学所说的，大家请看。（ppt展示）
请各小组结合书本、黑板提示，好好交流探讨一下。
（学生各小组交流探讨，老师下去巡查指导）
师：经过一番理论上的论证，下面让我们一起来检验一下学习成效如何。同学们请看到这一组题，大家帮忙来解答一下。
各组学生解决问题，并果断展示。教师提示标准作答。
练习设计，层层深入。由基本定义或直观模型入手，上升到构造直角三角形解决斜三角形问题。
师生共同小结，整理。
让学生更深层次理解锐角三角函数,使用中,由角求边进而到由边求角。
巩固练习
15min
归纳小结
反思提升
3min
紧扣定义，构造模型，逐步揭示
中考命题方向。
师生共析，检验效果。
5.板书设计
1.2锐角三角函数---正弦与余弦
1.判定梯子的倾斜程度； 3.授例: (1)例1 4.巩固练习
倾斜角α 正切 (2)例2 5.小结
正弦
余弦
2.正弦余弦的概念及其表示方法；
6.教学反思与改进
- 6 -
03《30°,45°,60°角的三角函数值》教学设计
课题基本信息
课题
学科
版本
主备者姓名
学科备课组长
《30°,45°,60°角的三角函数值》
数学
北师大版
年级
册别
九年级 单元
下册
第一章
备课人员信息
主备者单位
年级备课组长
1.教学背景分析
1.教材内容分析：
本节内容是北师大版数学九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》的第二节。在此之前，学生已学习了锐角三角函数的概念，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节主要是从学生熟悉的三角尺引入特殊角，并探索这三个特殊锐角的三角函数值，然后应用他们解决有关距离、高度、角度的计算问题。因此，在解直角三角形中，占有很重要的地位。
2.学生情况分析：
本节课前学生已经学习了正切、正弦、余弦的定义。在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
3.教学方式与教学手段：
经历探索 30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力。
4.信息技术（配套课件）准备：
多媒体课件，一副三角尺。
2.学习目标与学习效果评价设计
学习目标
1.经历探索 30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理，体会三角函数的意义。
2.能够进行 30°、45°、60°的三角函数值的计算。
3.能够由 30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小。
4.经过探索培养学生观察分析发现问题的能力。
评价方式与内容
1、能准确理解求特殊角三角函数值的过程；
2、能利用三角函数值求直角三角形的边和角；
3、能构造直角三角形，利用特殊三角函数值求简单的斜三角形边长；
4、能大胆的展示自己的见解，并能利用它们解决实际应用问题。
3.学习重难点及突破方法
学习重点：能够进行 30°、45°、60°角的三角函数值的计算；能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小。
学习难点：三角函数值的应用。
突破方法：学生自主探究，小组讨论，建立模型，进而突破用三角函数值的应用。
4.教学过程
教学环节及预计时间
师生活动
师：同学们，正切、正弦还有余弦的概念知道吗？在给出直角三角形，大家能用已知边把它们表示出来吗？
生：能够，在直角三角形中，锐角的正切值等于它对边与邻边的比，正弦值等于对边与斜边的比，余弦值等于邻边与斜边的值。
因此，
师：这位同学对这些三角函数的概念掌握的很好。同时，他也让我们明白了，这些三角函数的概念都是在直角三角形的前提下来定义的。因此，构造直角三角形这个模型，是设计意图
由问题引入新课，引发学生思考并接入课时主题。
教师备注
创设情境
2min
- 7 -
合作交流
探索新知
20min
我们在解决这类题目的关键。那么，在我们身边，我们有这样的直角三角形模型吗？
生：有直角三角板。
师：是的，我们见到的直角三角板都是一副相同模样的，
今天，就让我们一同来研究这三角板中存在的问题------《30°,45°,60°角的三角函数值》（书写课题）
师：同学们，在刚才的直角三角形中，你们还能求出锐角B的三角函数值吗？哪位同学，能不能快速的告诉我？
学生给出结果，老师做出点评。
师： 这位同学利用了三角函数的概念，求出了∠B的三角函数值，那我们结合∠A的三角函数值，观察它们的三角函数值，能有什么发现吗？请各组同学快速交流探讨一下。
（教师巡查，偶尔参与小组讨论）
（学生上台展示交流成果）
组1：我们组经过对比知道，这锐角∠A的正弦值和∠B的余弦值相等，反之亦然；
组2：由定义，我们知道正切是对边与邻边的比，而正弦和余弦又分别是对边和邻边与斜边的比，因此正切等于正弦与余弦的比。
师：很精彩的回答，很准确的小结，这两组同学在思考时表现出思维的缜密，为他们点赞！我们再想想，∠A与∠B是什么关系？
生：它们互余。
师：好的，那这个结论可以怎么来表达呢？可不可这样？
一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值；它的余弦值等于其余角的正弦值；一个锐角的正切值与它余角的正切值互为倒数。
00师：那么请问，20的正弦等于谁的余弦？50的余弦等于谁的正弦？如果∠A的正切是3，那它余角的正切=？
生：70度，40度，三分之一
鼓励学生积极发言，表达看法，并及时肯定。
师：回答的很精彩！现在看看我们的三角板，它们的锐角分别有多少度？
000生：30,60,45.
师：那么大家能求出30度角的三角函数值吗？各组用1分钟时间交流一下。
教师巡查，学生交流，小组展示
组1：30度角所对直角边是斜边的一半，因此如果对边为1时，那么斜边是2，再由勾股定理知道邻边是根号3.
于是我们知道30度角的正弦是二分之一，余弦是二分之根号三，正切是三分之根号三。
师：推理很严密，那对于45度和60度的三从直角三角形中锐角的三角函数值为切入点，容易让学生利用旧知印象，通过观察，找出规律，为后续的学习服务，提高教学效率。
让学生以组为单位，敢于上台展示学习探讨交流成果，敢于表达自己的见解，提升学生个人能力。
结合书本想一想和刚刚新授，引导学生用自己的见解去表达，应当对不同
见解进行及时肯定。
及时肯定学生精彩的展示，促进学生学习积极性，营造更好的学习氛围。
- 8 -
角函数大家能得出吗？大家想想。
组：我们组能快速得出，因为60度和30度互余，知道30度的三角函数值，就可以知道它余角的三角函数值。
师：很好，这组同学善于学以致用，我们都要向他学习。那你们知道45度的三角函数值吗？
师：大家开动脑筋，记得观察图形特征。
各小组结合书本、黑板提示，好好交流探讨一下。
（学生各小组交流探讨，老师下去巡查指导）
组1：含有45度角的直角三角板是个等腰直角三角形，因此，45度角的对边和邻边都相同，此时斜边是直角边的根号二倍，于是我们组得出，45度角的正弦和余弦都是二分之根号二，而其正切值是1.
师：说的真好，我们通过观察图形特征，发现它是个等腰直角三角形，再结合相关定义，得出结论，这种思考问题的方法，是我们值得借鉴的。
师：现在，我们把这些特殊角的三角函数值，绘制在同一张表中，如图所示，那么你们能从中看出什么吗？请大家认真观察并比较，再思考一下。
（学生各小组交流探讨，老师下去巡查指导）学生展示
组1：我们组观察得出，互余的两个锐角的正弦值和它们余角的余弦值相等，反之亦然；而45度角的正切值是1.
组2：我们组发现，它们的正弦值和余弦值都比1小，但都大于0，而正切值有时在0-1之间，有时比1大。
组3：我们组发现，它们的正弦和余弦值都是在二分之一到二分之根号三之间变化，分母都相同，而分子是根号1、根号2、根号3这样轮着变化；而它们的正切值由小的三分之根号三，一，再到根号三，好比每次都放大了根号三倍。
师：很精彩的回答，很准确的小结，你们观察的非常仔细，我们只有记住它们的特征，才能记忆的更加牢固！除此之外，我们每位同学都应该做到心中有图，这样才能更加直观的记忆。
- 9 -
师：接下来，就让我们来检验一下学习成效如何，请看题，请各位同学快速作答：
师：通过该表，可以方便地知道30°，45°，60°角的三角函数值．当然，如果已知一个锐角的三角函数值，也可以求出这个锐角的度数．
例如：若sin θ＝2，则锐角θ＝45°.
师：在实际应用问题中，我们将如何用它们去解决问题呢？
例2 一个小孩荡秋千,秋千链子的长度2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60°,且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m).
学生尝试绘制示意图，把文字图形数字化。
师：已知角，我们能求它们的三角函数值，OBCDA2让学生及时巩固新知，检验记忆特殊三角函数值的成效，并活用三角函数值解题。学生快速作答，老师及时点评，20提醒学生sin60的含义
例题讲解
5min
若已知三角函数值，能求出该角吗？
师：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，令∠A＝α.同角三角函数之间有怎样的关系？互余两角的三角函数有的关系？
小组交流探究，展示，老师点评
师：其实，我们还可以结合勾股定理，也能发现同一个锐角的正弦值与余弦值它们也有关系：
它们的平方和等于1，如图所示。
22222SinA+CosA=1，因为c=a+b，再结合正弦、余弦概念，容易推导得出这个结论。
练习设计，层层深入。由基本定义或直观模型入手，上升到构造直角三角形解决斜三角形问题。
师生共同小结，整理。
进一步深入理解，三角函数值间的内在联系，挖掘本质。
合作交流
探索新知
3min
巩固练习
12min
归纳小结
反思提升
3min
紧扣定义，构造模型，逐步揭示中考试题命题方向。
师生共析，检验效果。
5.板书设计
1.3 30°、45°、60°角的三角函数值
1.三角函数间的关系； 3.例题 5.巩固练习 6.作业
同角：平方和 互余： 积 商 4.授例: (1)例1 2
2.特殊角三角函数值（表格）； 3
6.教学反思与改进
- 10 -
04《三角函数的计算》教学设计
课题基本信息
课题
学科
版本
数学
北师大版
三角函数的计算
年级
九年级
单元
第一章
下册
册别
备课人员信息
主备者姓名
学科备课组长
主备者单位
年级备课组长
1.教学背景分析
1.教材内容分析：在生活中，我们会经常遇到这样的问题，如测量建筑物的高度、测量江河的宽度、船舶的定位等，要解决这样的问题，往往要运用到三角函数知识。在上节中已经学习了30°，45°，60°角的三角函数值，可以进行一些特定情况下的计算，但是生活中的问题，仅仅依靠这三个特殊角度的三角函数值解决是不可能的。本节让学生学会使用计算器求一般角度的三角函数值，让他们从繁重的计算中解脱出来，体验发现并提出问题、分析问题、探究解决方法直至最终解决问题的过程。
2.学生情况分析：九年级的学生以抽象逻辑思维为主要发展趋势，但在很大程度上，学生仍然要依靠具体的经验材料和操作活动理解抽象的逻辑关系。另外，计算器的使用可以极大的减轻学生的负担。因此，依据教学中提供的背景材料，辅以计算器的使用，可以帮助学生更好的解决问题。
学生自小学起就开始使用计算器，对计算器的操作比较熟悉。同时，在前面的学习过程中学生已经学习了锐角三角函数的定义，30°，45°，60°角的三角函数值以及它们相关的简单计算，具备了学习本节的知识和技能。
3.教学方式与教学手段：采用讲授法，自主学习法，PPT等相结合。
4.信息技术（配套课件）准备：ppt课件，视频展台。
2.学习目标与学习效果评价设计
学习目标
知识目标：通过观察、猜想、比较、具体操作等数学活动，学会用计算器求一个锐角的三角函数值。
过程目标：经历利用三角函数知识解决实际问题的过程，促进观察、分析、归纳、交流等能力的发展。
情感目标：感受数学与生活的密切联系，丰富数学学习的成功体验，学会与人合作交流。
评价方式与内容
评价方式：生评、师评相结合
评价内容：
1.学生会用计算器求任意锐角的三角函数值；
2.根据已知三角函数值，学生会用计算器求锐角的度数；
3.学生能准确辨认出仰角、俯角，并会利用锐角三角函数解决相关的实际问题。
4.学生在课堂活动中能够积极参与，思考，交流。
3.学习重难点及突破方法
学习重点：熟练掌握用科学计算器求三角函数值；
学习难点：初步理解仰角和俯角的概念及应用；
突破方法：实践操作，引导发现，小组讨论
4.教学过程
教学环节及预计时间
- 11 -
师生活动 设计意图 教师备注
复习引入
（2min)
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
问题：如图①和图②，将一个Rt复习特殊角的三角△ABC形函数值，并提出问
状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入题，启发学生思考。
木桩底下，可以使木桩向上运动．如果楔子斜面的倾斜角为10°，楔子沿水平方向前进5cm(如箭头所示)．那么木桩上升多少厘米？
【类型一】 已知角度，用计算器求三角函数值
探索1： 1.用计算器求tan10°的值
2.求sin48°
3.求cos30°36\'
练习：用计算器求下列式子的值(精确到0.0001)：
sin18°＋cos55°－tan59°. 让学生熟练使用计探索2：比一比，你能得出什么结论？ 算器求非特殊锐角sin15°32 \' = ； cos55°= ； 的三角函数值，再根
sin20°= ； cos70°= ； 据计算结果进行归sin35°= ； cos74°28 \'= ； 纳总结，培养归纳总tan3°8 \' = ；tan80°25\'43″= ； 结的能力。
归纳总结:
正弦值随着角度的增大（或减小）而___________;
余弦值随着角度的增大（或减小）而___________;
正切值随着角度的增大（或减小）而___________;
【类型二】 已知三角函数值，用计算器求锐角的度数
通过本环节学习，使问题：已知sinA=1，你能用计算器求出锐学生掌握如何利用4科学计算器由锐角三角函数值求相应
角A的度数吗？
练习：已知下列锐角三角函数值，用计算器的锐角的大小，体会求锐角∠A，∠B的度数(结果精确到0.1°)：
三角函数值和对应角度的关系.
(1) sinA＝0.7；(2)cosB＝0.8；
(3)tanA＝2.4.
【类型三】非特殊角三角函数的实际应用
如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC＝10千米，∠CAB＝25°，∠CBA＝通过解决现实问题，45°.因城市规划的需要，拓展知识和应用的将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．
空间，进一步加深对
(1)求改直后的公路AB的长；
新知识的理解和运(2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多用，优化解决问题策少千米(精确到0.1)?
略.
练习：如图，课外数学小组要测量小山坡上塔的高度DE，DE所在直线与水平线AN垂直．他们在A处- 12 -
合作交流，
探索新知
(5min)
合作交流，
探索新知
(5min)
合作交流，
探索新知
(15min)
拓展提升
(10min)
测得塔尖D的仰角为45°，再沿着射线AN方向前进50米到达B处，此时测得塔尖D的仰角∠DBN＝61.4°，小山坡坡顶E的仰角∠EBN＝25.6°.现在请你帮助课外活动小组算一算塔高DE(结果精确到个位)．
(1)通过计算(可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：
①sin30°________2sin15°cos15°；
②sin36°________2sin18°cos18°；
③sin45°________2sin22.5°cos22.5°
④sin60°________2sin30°cos30°；
⑤sin80°________2sin40°cos40°.
猜想：已知0°＜α＜45°，则sin2α________2sinαcosα；
(2)如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2α，请根据提示，利用面积方法验证(1)中提出的猜想．
进一步加深对新知识的理解和运用，发展学生的逻辑思维能力。
课堂检测
(5min)
课堂小结
(3min)
1.用计算器验证，下列等式中正确的是（ ）
A．sin18°24′+sin35°26′=sin45°
B．sin65°54′-sin35°54′=sin30°
C．2sin15°30′=sin31°
D．sin72°18′-sin12°18′=sin47°42′
2.如图所示，电视塔高AB为610米，远处有
一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°.
(1)求大楼与电视塔之间的距离AC；
(2)求大楼的高度CD(精确到1米)．
鼓励学生结合学习，谈一谈：这节课你学习掌握了哪些新知识？从数学方法、思维与
通过这节课的学习你有哪些收获与感想？ 科学工具等方面谈收获与感想。
5.板书设计
三角函数的计算
1．已知角度，用计算器求三角函数值
2．已知三角函数值，用计算器求锐角的度数
3．仰角、俯角的意义
6.教学反思与改进
- 13 -
05《解直角三角形》教学设计
课题基本信息
课题
学科
版本
数学
北师大版
解直角三角形
年级 九年级
册别
备课人员信息
单元
第一章
下册
主备者姓名
学科备课组长
主备者单位
年级备课组长
1.教学背景分析
1.教材内容分析：本节内容时在学生学习了直角三角形三边的关系以及锐角三角函数的基础上进行的，本节知识既是前面所学知识的运用，又是高中继续学习三角函数和解斜三角形的重要知识储备，在整个数学教学体系中起着承上启下的作用.另外由于解直角三角形在实际生活中的应用比较广泛，同时蕴含着建模、转化、化归的数学思想方法，所以学习本节知识对学生而言具有重要的意义。
2.学生情况分析：学生在八年级已经学过勾股定理，对解直角三角形的思想方法已有所了解，在此基础上探索解直角三角形，学生通过学习，可以实现知识的正迁移。
3.教学方式与教学手段：采用启发探索、引导发现、合作探究、讨论分析、PPT等相结合。
4.信息技术（配套课件）准备：ppt课件，视频展台。
2.学习目标与学习效果评价设计
学习目标
知识目标：
1.理解直角三角形中五个元素的关系，什么是解直角三角形。
2.会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。
过程目标：经历综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形的过程，培养学生的分析问题、解决问题的能力。
情感目标：渗透数形结合的数学思想，培养学生综合运用知识的能力和良好的学习习惯。
评价方式与内容
评价方式：生评、师评相结合
评价内容：
1.学生清楚直角三角形的6个元素，能根据例子准确理解什么是解直角三角形。
2.学生能由直角三角形已知的两个元素（至少一条边）求出其余的三个元素。
3.学生具备综合运用知识的能力和良好的思考习惯。
4.学生在课堂活动中能够积极参与，思考，交流。
3.学习重难点及突破方法
学习重点：解直角三角形的方法
学习难点：锐角三角函数在解直角三角形中的灵活运用
突破方法：数形结合，画图分析
4.教学过程
教学环节及预计时间
师生活动 设计意图 教师备注
复习引入
（2min)
“斜而不倒的比萨斜塔”
1972年的情形：设塔顶中心点为B，塔身中心引入课题，激发学生线与垂直中心线的夹角为的兴趣
∠A，过点B向垂直中心线引垂线，垂足为点C，如图.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2m，AB=54.5m，求出此时塔的倾斜角度。
- 14 -
探索新知
(2min)
探索新知
(10min)
问题1：在三角形中共有几个元素？
问题2：在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中∠C=90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？
(1) 三边之间的关22系:a+b=_____；
(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=_____；
(3)边角之间的关系：sinA=_____，cosA=_____，
tanA=_____.
问题3： 如果已知Rt△ABC中两边的长，你能求出这个三角形其他的元素吗？
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a15，
b5，求这个直角三角形的其他元素.
问题4：如果已知Rt△ABC中一边和一锐角，你能求出这个三角形其他的元素吗？
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∠B＝35°，b=20,求这个直角三角形的其他元素(结果保留小数点后一位).
归纳总结：由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素．
如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求BC.
变式：如图，在△ABC中，BC=62，∠C=45°，
AB=2AC，则AC的长为________.
通过复习整理直角三角形的相关知识，为下面继续探究解
直角三角形知识打下基础，并引出课题
解直角三角形的方法灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想.
学以致用
(5min)
解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握．为此，针对
各种条件，提高学生运算能力．
当堂训练
(10min)
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；
（1）a = 30 , b = 20 ;
(2) ∠B＝72°，c = 14.
2.如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA
=1 ， BC = 5， 试求AB的长.
3通过本环节学习，使
学生熟练掌握解直
角三角形的方法
第3题
3.在△ABC中，AB=122，AC=13，
cos∠B=2，求BC的长.
2
- 15 -
1. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝
∠D＝90°，BC=6，CD=9，求AB的长.
A60°DCACBBC
AB拓展提升
(16min)
图1 图2
2.如图，已知在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在格点上，连接BC.
（1）请在图1中，用无刻度直尺，画出∠CBD，使tan∠CBD=1；
（2）请在图2中，用无刻度直尺，画出∠CBD，使tan∠CBD=2.
33.在正三角形ABC中，点D在AB边上，且AD=kDB（k<1），连接CD，点E在AC边B上，且∠AED=
D∠BCD=α，此时我们把称为EAE的“等角比”.如图，当CEAC通过解决问题，拓展知识和应用的空间，进一步加深对新知
识的理解和运用，优化解决问题策略.
课堂小结
(2min)
k=1时，求tan∠CDE的值.
2
今天你学到了什么？你还有什么疑惑或者是发现吗？
进行系统汇总，总结方法，形成技能，提
高学生的学习效率.
5.板书设计
解直角三角形
解直角三角形 拓展提升题分析
1.直角三角形的边角关系
2.定义
6.教学反思与改进
- 16 -
06《三角函数的应用》教学设计
课题基本信息
课题
学科
版本
数学
北师大版
三角函数的应用
年级 九年级
册别
备课人员信息
主备者姓名
学科备课组长
主备者单位
年级备课组长
1.教学背景分析
1.教材内容分析：本节内容属于三角学内容的一部分，是在直角三角形三角函数知识教授之后的简单运用.是《数学课程标准》中“图形与几何”领域的“图形变化”中的重要内容.主要研究解利用三角函数解决实际问题.掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。
2.学生情况分析：学生已经学习了直角三角形中量与量之间的三个关系：边与边的关系（勾股定理）；角与角的关系（直角三角形两锐角互余）；边与角的关系（正弦、余弦、正切）.并能够利用这三个关系，在直角三角形中进行一些简单计算，而且能根据生活中的一些情景，用所学知识解决一些简单的实际问题.在整个学习过程中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.并对用数学有相当的兴趣和积极性.不过学生探究和解决问题的能力毕竟有限，尚待加强.本节课主要是在学生原有认知能力的基础上，进一步学习用锐角三角函数解决实际问题，经历把实际问题转化成数学问题的过程，建立相应的数学模型，以提高应用数学知识解决实际问题的能力。
单元 第一章
下册
3.教学方式与教学手段：采用启发探索、合作探究、讨论分析、PPT等相结合。
4.信息技术（配套课件）准备：ppt课件、视频展台
2.学习目标与学习效果评价设计
学习目标
评价方式与内容
知识目标：能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明。
过程目标：经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用。
情感目标：把实际问题转化为数学问题过程中感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识；在学习过程中通过小组合作交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能力。
评价方式：生评、师评相结合
评价内容：
1.学生们对问题能独立思考，能确定解答的方案，不理解的地方能积极地和同学、教师交流，从而释惑解疑。
2.学生能讲述解题思路，画图（抽象成数学问题），整理再现过程，展示成果（视频展台）。
3.每位同学都具有认真读题、认真审题的习惯和能力。
3.学习重难点及突破方法
学习重点：发展学生数学应用意识和解决问题的能力。
学习难点：根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图。
突破方法：指导、启发、演示、自主、合作、探究、发现法、小组讨论交流。
4.教学过程
教学环节及预计时间
情境引入
(2min)
师生活动
播放《泰坦尼克号》视频片段，并提出问题：你知道如何结合方位角等数据进行计算，帮助轮船在航行中远设计意图 教师备注
引入课题，激发学生的学习积极性
- 17 -
离危险吗？
海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁．今有货轮由西向东航行，“学数学、用数开始在A岛南偏西55°的B处，往东行学”应是我们每位数学教师在教学中时驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的刻不忘的数学宗旨..将实际问题抛C处，之后，货轮继续往东航行，你认为给学生，引导学生想象问题情境，将自己
货轮继续向东航行途中会有触礁的危险置身于问题情境中，才能顺利的转化为吗？你是如何想的？与同伴进行交流．
数学问题，从而学会用数学知识解决实际问题.
探索新知
(10min)
还记得本章开头小明要测塔的高度吗？现在我们来看他是怎样测的，并根据他得到的数据帮他求出塔的高度．
如图，小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处．测得仰角为60°．那么该塔有多高？
（小明的身高忽略不计，结果精确到1
探索新知
(10min)
m）
方法归纳：利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
实际问题的解决难点在于建立数学模型. 即是否能画出符合题意的图形，并结合图形寻找问题中的已知量和未知量.在这个问题中，学生理解的难点在直角三角形的边角关系在航海，工程等测量问题中有着广泛应用，通过“想一想”的问题进一步让学生巩固如何用直角三角形的边角关系这一知识解决实际问题，提高学生的建模，转化能力.
学以致用
(10min)
1.现在我手里有一个楼梯改造工程问题，想请同学们帮忙解决一下．
- 18 -
于改造后的楼梯究竟是怎样的.因此，楼梯的安全性能，把倾角我先引导学生明确由40°减至35°，已知原楼梯长为4 m，在楼梯改造过程中，调整后的楼梯会加楼高没有发生变化.有了这样一步引导，长多少？楼梯多占再让学生自主解决多长一段地面？（结问题就不难了.
果精确到0.01m）
2.（潍坊中考）如图，某数学兴趣小组某商场准备改善原来要测量一栋居民楼CD的高度.该楼底层为车库，高2.5m；上面五层居住，每层高度相等.测角仪支架离地1.5m，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°，AB=14m.求居民楼的高度.(结果精确到0.1m，参考数据：31.73)
1.如图1，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是45°和30°，已知当堂训练
(10min)
CD=200米，点C在通过本环节学习，使学生熟练掌握解直
BD上，求树高AB。
角三角形的方法，发2. 如图2，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，
展学生的应用意识.
∠CAB=45°，则折叠后重叠部分的面积为 （根号保留）.
本节课我们运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际问题，提高了我课堂小结
(3min)
们分析和解决实际问题的能力。
其实，我们这一章所学的内容属于“三角学”的范畴．请同学们阅读“读一读”，了解“三角学”的发展，相信你会对“三角学”更感兴趣。
本节课比较抽象，有部分学生跟不上，在小结时，可给学生一些时间和空间，让学生在自己的圈子里畅所欲言，更好的总结、归纳本课的学习情况。
5.板书设计
三角函数的应用
航海问题分析 塔高问题分析 楼梯改造工程问题分析
练习
6.教学反思与改进
- 19 -
07《利用三角函数测高》（一）教学设计
课题基本信息
课题
学科
版本
数学
北师大版
利用三角函数测高（一)
年级 九年级
册别
备课人员信息
单元 第一章
下册
主备者姓名
学科备课组长
主备者单位
年级备课组长
1.教学背景分析
1.教材内容分析：本节课是在对三角函数的理解基础上综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题的活动课. 本节课分两课时，一是讨论课，二是室外活动课.第一课时首先以研究讨论问题的解决入手,为第二课时的室外活动课铺垫。
2.学生情况分析：学生已经具备了初步的利用直角三角形边角关系的知识解决实际问题的能力；
学生已经养成了分组活动、小组合作、全班交流研讨的习惯。
3.教学方式与教学手段：采用启发探索、引导发现、合作探究、讨论分析、PPT等相结合。
4.信息技术（配套课件）准备：ppt课件,视频展台
2.学习目标与学习效果评价设计
学习目标
知识目标：1.能够根据三角函数测高的原理制定测量方案，能够制作测倾器并掌握测倾器测角的方法。
2.能综合应用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题。
过程目标：1.经历制作测倾器的过程，提高学生数学动手能力，并学会对所得的数据进行分析。
2.经历策划测量方案的过程，提高数学应用能力和综合分析能力。
情感目标：能够主动积极地思考，积极地投入到数学活动中去，提高数学学习的兴趣，培养不怕困难的品质，在活动中发展合作意识和科学精神。
评价内容：
1.学生掌握了测量的原理。
2.学生计算准确，以及能用符号表示计算结果。
3.学生会画图分析，利用三角函数解决数学问题。
评价方式与内容
评价方式：生评、师评相结合
3.学习重难点及突破方法
学习重点：合理制定方案，掌握用三角函数的知识计算出物体的高度。
学习难点：制作测倾器，理解测倾器的构造原理，并对测量结果进行矫正。
突破方法：分组活动、全班交流研讨。
4.教学过程
教学环节及预计时间
情境引入
(3min)
师生活动
播放《最高建筑物》视频片段
高楼大厦的高度，你能想办法测出它们的高度吗？
通过这节课的学习，相信你就行.
设计意图
吸引学生的注意力，再提出问题，引入本
节课的课题.
教师备注
- 20 -
探索新知
(3min)
（一）测量倾斜角:
问题1：如何测量倾斜角？
1、问题2：如何使用测倾器？
根据“同角的余角相等”，将“读数”与“仰角”（俯角）建立联系.
（二）掌握测量物体高度的原理
活动一：测量底部可以到达的物体的高度
所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.
分组活动、小组合作：
1.你们能设计一个方案测量底部可以到达的物体的高度吗？
2.需要用到哪些工具？（工具尽可能简单、尽可能少）
3.需要测量哪些数据？（数据尽可能方便、尽可能少）
4.根据测量数据，如何计算物体的高度？
全班交流研讨，确定方案：
如图，要测量物体MN的高度，可按下列步骤进行(出示幻灯片6、7)：
1.在测点A处安置测倾器，测得物体顶部M的仰角∠MCE＝．
2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN＝l．
3.量出测倾器的高度AC＝h（即顶线PQ成水平位置时，它与地面的距离）．
根据测量数据，你能求出物体MN的高度吗？说说你的理由.
活动二：测量底部不可以到达的物体的高度
所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.
分组活动、小组合作：
1.你们能设计一个方案测量底部可以到达的物体的高度吗？
2.需要用到哪些工具？（工具尽可能简单、尽可能少）
3.需要测量哪些数据？（数据尽可能方便、尽可能少）
4.根据测量数据，如何计算物体的高度？
全班交流研讨，确定方案：
如图，要测量物体MN的高度，可按下列步骤进行(出示幻灯片8)：
1.在测点A处安置测倾器，测得此时物体顶部M的仰角∠MCE＝．
2.在测点A与物体之间的B处安置测倾器（A，B与N在一条直线上，且A，B之间的距离可以直接测得），测得此时物体顶部M的仰角∠MDE＝．
3.量出测倾器的高度AC＝BD＝h，以及测点A，B之间的距离AB＝l．
培养学生使用工具的能力.
让学生熟悉掌握三角函数的公式，对已学知识进行巩固温习，同时提高第二课时利用数据解决问题时的能力.
通过师生共同操作，相互交流，让每一位学生真正掌握测量的原理.
探索新知
(10min)
- 21 -
典例分析
(7min)
当堂训练
(20min)
根据测量数据，你能求出物体MN的高度吗？说说你的理由(出示幻灯片9).
下表是小亮所填实习报告的部分内容，请根据数据求大楼的高.
1. 如图所示，在离上海东方明珠塔1000m的A处，用仪器测得塔顶的仰角∠BAC为25°(在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫作仰角，在水平线下方的叫作俯角)，仪器距地面高为1.7m.求上海东方明珠塔的高BD.（结果精确到1m）
2.目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°．（tan39°≈0.81）
（1）求大楼与电视塔之间的距离AC；
（2）求大楼的高度CD（精确到1米）
3.小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB＝80米．为测量居民楼与这座大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°，大厦底部B的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度．（结果保留整数）
参考数据：33
711
sin37，tan37，sin48，tan48541010进一步培养学生运用所学，解决实际应用问题的意识.
对本节知识及时进行巩固练习，培养学生学数学、用数学的能力.
课堂小结
(2min)
到目前为止，你有哪些测量物体高度的方法？
通过对本节课所学内容的归纳、总结，鼓励学生结合本节
课的学习谈自己的收获与感想。
5.板书设计
（一）测量倾斜角
以到达的物体的
利用三角函数测高
活动一：测量底部可以到达的物体的高度 活动二：测量底部不可高度
6.教学反思与改进
- 22 -
08《利用三角函数测高》（二）教学设计
课题基本信息
课题
学科
版本
数学
北师大版
利用三角函数测高（二）
年级
九年级
单元
第一章
下册
册别
备课人员信息
主备者姓名
学科备课组长
主备者单位
年级备课组长
1.教学背景分析
1.教材内容分析：本节课为活动课，活动一：测量倾斜角；活动二：测量底部可以到达的物体的高度；活动三：测量底部不可以到达的物体的高度.因此本节课采用活动的形式，先在课堂上讨论、设计方案，然后进行室外的实际测量，活动结束时，要求学生写出活动报告。
2.学生情况分析：学生已经具备了初步的利用直角三角形边角关系的知识解决实际问题的能力；
学生已经养成了分组活动、小组合作、全班交流研讨的习惯。
3.教学方式与教学手段：引导、合作探究、讨论分析、实践活动。
4.信息技术（配套课件）准备：视频展台
2.学习目标与学习效果评价设计
学习目标
知识目标：1.能够对所得的数据进行分析，能够对仪器进行调整和对测量的结果进行矫正，从而得出符合实际的结果。
2.能综合应用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题。
过程目标：1.经历策划测量方案、自制仪器并能运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程。
情感目标：能够主动积极地思考，积极地投入到数学活动中去，提高数学学习的兴趣，培养不怕困难的品质，在活动中发展合作意识和科学精神。
评价内容：
1.会制作侧倾器
2.会进行实地测量
3.会进行数据分析及撰写活动报告
4.积极参与小组活动，为小组出谋划策，勇于克服困难.
评价方式与内容
评价方式：生评、师评相结合
3.学习重难点及突破方法
学习重点：合理制定方案，掌握用三角函数的知识计算出物体的高度.
学习难点：制作测倾器，理解测倾器的构造原理，并对测量结果进行矫正.
突破方法：分组讨论，实践操作
4.教学过程
教学环节及预计时间
课前准备
师生活动
学生根据教师的讲解及要求，在本节活动
课之前完成测倾器制作，小组合作完成。
设计意图
教师备注
- 23 -
方案策划
(2min)
活动内容：
1、活动分组：6人一组，分工合作（组长A、器材管理员B、测量员C、记录员D、计算员E、复核员F）
2、小组根据需要测量的对象的实际情况，先讨论研究测量方案及具体的操作步骤，分别讨论底部可以到达的物体的高度（学校的的国旗）、底部不可以到达的物体的高度（围墙外的居民楼）各需要测量哪些数据.
明确活动任务，根据方案实施测量计划，确保活动能够组织有序，高效完成测量工作.事前预
“算”测量数据，为解决实际问题提前热身.
撰写报告
(35min)
培养学生的动手能力，明确分工，培养学生的团结合作能力.
成果展示(5min)
利用视频站台展示学生活动成果，师生对成果进行共同点评
（1）到目前为止，你有哪些测量物体高度的方法？
（2）如果一个物体的高度已知或容易测量，那么如何测量某测点到该物体的水平距离？
课堂小结
(3min)
进行系统汇总，总结方法，形成技能，提
高学生的学习效率。
5.板书设计
利用三角函数测高
活动一：测量底部可以到达的物体的高度 活动二：测量底部不可以到达的物体的高度
MNMENEltanh
MNMENEtantanh
tantan6.教学反思与改进
- 24 -
《利用三角函数测高》活动报告（参考）
课题
测量示意图
测量项目
测得数据
计算过程
第一次
第二次
平均值
活动感受
负责人及参加人员
计算者和复核者
指导教师审核意见
备注
- 25 -
09《直角三角形边和角的关系总复习》（一）教学设计
课题基本信息
课题
学科
版本
数学
北师大版
《直角三角形边和角的关系总复习》（一）
年级
九年级
单元
第一章
下册
册别
备课人员信息
主备者姓名
学科备课组长
主备者单位
年级备课组长
1.教学背景分析
1.教材内容分析：本节是北师大版九年级下册第一章的内容，这一课时主要包括4个考点： 锐角三角函数的概念（主要是正弦、余弦和正切的概念），特殊角的三角函数值相关计算以及利用锐角三角函数解直角三角形等内容。锐角三角函数的概念既是本章的难点，也是学习本章的关键。难点在于，锐角三角函数的概念反映了角度与数值之间对应的函数关系，这种角与数之间的对应关系，以及用含有几个字母的符号sinA、cosA、tanA表示函数等，学生过去没有接触过，因此对学生来讲有一定的难度。至于关键，因为只有正确掌握了锐角三角函数的概念，才能真正理解直角三角形中边、角之间的关系，从而才能利用这些关系解直角三角形.
2.学生情况分析：面临中考的九年级学生的思维活跃，接受能力较强，具备了很高的数学探究活动经历和应用数学的意识。并且学生已经掌握锐角三角函数的基础知识，能运用锐角三角函数知识解决问题，有一定的解题能力，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础.
3.教学方式与教学手段：采用合作探究、讨论分析、PPT等相结合.
4.信息技术（配套课件）准备：ppt课件,视频展台
2.学习目标与学习效果评价设计
学习目标
知识目标：1.理解锐角三角函数的定义，能运用相关知识解直角三角形，2.运用数形结过程目标：经历解直角三角形有关知识解决实际应用问题的过程，提升分析问题、解决问题的能力。
情感目标：通过本章知识的复习，体会转化思想和数形结合思想在解决数学问题中的广泛应用，深刻理解用数学方法解决实际问题的重要性和必要性。
评价内容：
相关的计算；
2.学生会利用转化、数形结合思想、分类讨论思想解决数学问题.
评价方式与内容
评价方式：生评、师评相结合
合思想、分类讨论思想和转化思想解决问题。 1.学生能准确说出正弦、余弦、正切的含义，并能解决一些锐角三角函数
3.学习重难点及突破方法
学习重点：锐角三角函数的概念和直角三角形的解法.
学习难点：灵活运用转化思想和数形结合思想解决数学问题.
突破方法：多让学生讲，让学生自己分析交流探讨，找到突破口，最后师生再一起总结解题方法.
4.教学过程
教学环节及预计时间
师生活动
设计意图
教师备注
课前准备
让学生以比赛选手身份展示自己复习教师提前一天布置学生对本章知识进行成果，有效地明确其复习整理，本课进行成果展示，比一比，身份——你是本课谁更优秀.
的主人，一定要参与其中，为提高课堂效
- 26 -
益打下基础.
考点1 锐角三角函数的定义
sinA = cosA=
tanA=
考点2 特殊角的三角函数值
特殊角的三角函数值及其应用，同学们应牢记下表：
考点3 解直角三角形
1、解直角三角形的定义：在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角．由这些元素中的一些已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形.
2、解直角三角形的常用关系
在Rt△ABC中，∠C＝90°，则：
22(1)三边关系：a＋b＝________；
(2)两锐角关系：∠A＋∠B＝________；
(3)边与角关系：sinA＝cosB＝________，
cosA＝sinB＝________，tanA＝________；
22(4)sinA＋cosA＝1
3、解直角三角形的题目类型
(1)已知斜边和一个锐角；
(2)已知一直角边和一个锐角；
(3)已知斜边和一直角边(如已知c和a)；
(4)已知两条直角边a、b.
考点一 求三角函数的值
例1 在△ABC中，∠C＝C考点聚焦
(5min)
三道简单题拉开复习的序幕，试题覆盖本章最基本知识——特殊角三角函数
值、三角函数定义。难度很小，正确率可大大提升，让学生自信地复习下去.
考点讲练
(25min)
数形结合思想、B分类讨论思想的正确使用一直是学生A的难点，正因为是难点，才需多练.
490°，sinA＝，则tanB
5
＝( )
例2如图所示，△ABC的
顶点是正方形网格的格点，则sinA的值
为( )
DA
O
C
B
变式一：如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这
些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点O，
则cos∠BOD=________.
变式二：如图所示的网格中的每个小正
方形的边长都是1，△ABC 每个顶点都在
网格的交点处，则tanA=________.
- 27 -
考点二 特殊角的三角函数值
练习：在△ABC中，
若cosA1tanB302那么△ABC的形状是________.
考点三 解直角三角形
例4 路边路灯的灯柱BC垂直于地面，灯杆BA的长为2米，灯杆与灯柱BC成120°，锥形灯罩的轴线AD与灯竿AB垂直，且灯罩轴线AD正好通过道路路面的中心线(D在中心线上)．已知点C与点D之间的距离为12米，求灯柱BC的高．(结果保留根号)
练习：如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC=
例3计算：2cos30tan45(1tan60)2道小题，不难不易，具有典型性、示范性，再次检查学生掌握基本知识情况.
本题接近学生实际生活，设计新颖，考查解直角三角形的实际应用。同时，充分体现了方程思想在解直角三角形问题中的应用，是中考命题的热点，中考题并不可怕，师生互动后也能顺利解决，让学生产生“不过如此”的感觉.
23 ，求：（1）DC的长；
5 （2）sinB的值．
1.（北海中考）如图，已知正方形ABCDE的边长为4，对角线ACAD与BD相交于点O，点EA\'在DC边的延长线上，若∠CAE=15°，则BCAE=________.
BA2.（江西中考）如图，矩形纸片ABCD，长AD=8cm，O宽AB=4cm,折叠纸片，使EC折痕经过点B，交AD边D于点E，点A落在点A\'处，展平后得到折痕BE，同时得到线段BA\'，EA’，不再添加其他线段.当图中存在30°角时，AE的长为________.
中考链接
(13min )
巩固所学知识，加深对概念的理解和运用,链接中考，感受中考命方向.
教师提问：“通过本节课的学习，有什么课堂小结(2min ) 收获？”学生可以自由发挥，只要有收获就行．
学生自己总结受益，他人也受益，同学之间还可以取长补短，
体现学生是学习的主体.
5.板书设计
直角三角形边和角的关系
1.锐角三角函数的定义
2.特殊角的三角函数值 江西中考题分析
3.解直角三角形
6.教学反思与改进
- 28 -
10《直角三角形边和角的关系总复习》（二）教学设计
课题基本信息
课题
学科
版本
数学
北师大版
《直角三角形边和角的关系总复习》（二）
年级 九年级
册别
备课人员信息
主备者姓名
学科备课组长
主备者单位
年级备课组长
1.教学背景分析
1.教材内容分析：本节承接上一节复习课，主要复习两个知识点：三角函数的运用、利用三角函数测高。在中考中，统一为解直角三角形.
单元 第一章
下册
2.学生情况分析：面临中考的九年级学生的思维活跃，接受能力较强，具备了很高的数学探究活动经历和应用数学的意识。并且学生已经掌握锐角三角函数的基础知识，能运用锐角三角函数知识解决问题，有一定的解题能力，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础。
3.教学方式与教学手段：采用合作探究、讨论分析、PPT等相结合。
4.信息技术（配套课件）准备：ppt课件,视频展台
2.学习目标与学习效果评价设计
学习目标
知识目标：1.使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，能运用解直角三角形的方法解决问题；2.认识仰角、俯角等概念，学会综合运用所学知识解决实际题。
过程目标：经历解直角三角形的实际应用，运用转化思想，学会把实际问题转化为数学问题来解决，培养学生分析问题、解决问题的能力。
情感目标：渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识。
评价内容：
1.学生能准确说出仰角、俯角、方向角，坡度、坡角这5个名词的含义，并能举例说明.
2.学生会把实际问题转化为数学模型来解决，能构造出合适的辅助线解决实际问题.
3.学生在课堂活动中能够积极参与，思考，交流。
评价方式与内容
评价方式：生评、师评相结合
3.学习重难点及突破方法
学习重点：将实际问题中的数量关系归结为解直角三角形元素之间的关系，从而利用所学的知识解决实际问题.
学习难点：将实际问题转化为数学模型
突破方法：多让学生讲，让学生自己分析交流探讨，找到突破口，最后师生再一起总结解题方法.
4.教学过程
教学环节及预计时间
师生活动
1.什么是解直角三角形？
复习引入
(3min)
2.直角三角形的边边、角角、边角之间有哪些关系？
3.怎样解直角三角形？
- 29 -
设计意图
为下面应用解直角三角形知打下基础，
并引出课题.
教师备注
考点4 三角函数的应用
1.仰角和俯角
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
2.方向角
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于900的角,叫做方向角.如图所示：
3. 坡角
（1）坡角
（2）坡度（或坡比）：坡度通常写成1∶m的形式，如1∶6.
（3）坡度与坡角的关系：坡度等于坡角的正切值，即考点聚焦
(5min )
tanh
l继续复习本章考点，
明确中考考查方向.
4.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
考点5 利用三角函数测高
1. 测量底部可以到达的物体的高度
2. 测量底部不可以到达的物体的高度
考点四 三角函数的应用
（类型一 背靠背型）如图某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB，已知观测点C到旗杆的距离（即CE的长）为8米，测得旗杆顶的仰角∠ECA为30°，旗杆底部的俯角∠ECB为45 °，则旗杆AB的高度是多少米?
（类型二 抱子型）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B、F、C在一条直线上）
（1）求办公楼AB的高度；
（2）若要在A，E之间挂一些
通过学生亲自探究实际问题，初步领会把实际问题转化为数学问题的方法，培养学生用数学的能力.
考点讲练
(15min)
- 30 -
彩旗，
请你求出A，E之间的距离.
（参考数据：816
3152
sin22，cos22，tan22）
51.（2019•江西）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B﹣A﹣O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO＝6.8cm，CD＝8cm，AB＝30cm，BC＝35cm．（结果精确到0.1）．
（1）如图2，∠ABC＝70°，BC∥OE．
①填空：∠BAO＝ °．
②求投影探头的端点D到桌面OE的距离．
（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求∠ABC的大小．
（参考数据：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60）
2.（2020•江西）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝120mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（结果保留小数点后一位）
（1）若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离；
（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，√3≈1.732）
教师提问：“通过本节课的学习，有什么注重方法，形成技课堂小结(2min ) 收获？”学生可以自由发挥，只要有收获能，提高学生的学习就行． 效率.
中考链接
(20min )
巩固所学知识，加深对概念的理解和运用,链接中考，感受中考考查方向.
5.板书设计
直角三角形边和角的关系（二）
1.锐角三角函数的应用相关概念 中考题分析
2.经典模型分析
（1）背靠背型（2）抱子型
6.教学反思与改进
- 31 -
11《二次函数》教学设计
课题
学科
版本
主备者姓名
学科备课组长
数学
北师大版
课题基本信息
二次函数
年级 九年级
册别
备课人员信息
主备者单位
年级备课组长
1.教学背景分析
1.教材内容分析：本节通过对具体情境的分析，概括出二次函数的表达形式，明确二次函数的概念.通过例题和学生列举的实例可以丰富对二次函数的认识，理解二次函数的意义。
单元
下册
第三章
2.学生情况分析：函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律的基础上抽象出的重要的数学概念，是研究现实世界变化规律的重要数学模型.学生曾在七年级下册、八年级上册学习过“变量之间的关系”和“一次函数”和九年级上册学习过“反比例函数”等内容，对函数已经有了深刻的认识，在此基础上讨论二次函数及其性质可以进一步领悟函数的概念并积累研究函数性质的方法及用函数观点处理实际问题的经验，这对后继学习会产生积极影响。
3.教学方式与教学手段：教师引导——自主探究——合作交流。
4.信息技术（配套课件）准备：ppt课件
2.学习目标与学习效果评价设计
学习目标
评价方式与内容
1. 理解掌握二次函数的概念和一般形式。
2.会利用二次函数的概念解决问题。
3.会列二次函数表达式解决实际问题。
1、能结合具体例子，发现归纳出两个变量之间的关系。
2、能说出二次函数的表达式及限制条件。
3、能辨析区分一个函数是不是二次函数。
3.学习重难点及突破方法
学习重点：理解掌握二次函数的概念和一般形式，并作出正确的判断。
学习难点：能用数学符号表示简单变量之间的二次函数关系。
突破方法：引导学生用类比的思想，用已有的知识经验归纳总结出新知、内化新知、巩固应用新知。
4.教学过程
教学环节及预计时间
师生活动
引导学生复习函数的概念
设计意图 教师备注
课前准备
（3分钟）
创设问题情境，引入新课
（15分钟）
函数是对初中生来说是较抽及已经学习过的几种函数： 一次函数y=kx+b
象的概念，从学生已有的知识（其中k、b是常数，且k≠0）
经验出发，学习新的内容，注重 正比例函数y＝kx （k是不为0的常数）
知识之间的联k反比例函数y= （k是不为0的常数）
系，调动学生学x习的积极性与
主动性。
问题1：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结此处提问时先600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,由学生思考哪但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树些是变量，等学所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一生思考并回答棵树,平均每棵树就会少结5个橙子. 后再提问哪些(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪是自变量。探究些是因变量？(2)假设果园增种x棵橙子树,那么橙子的数量与
- 32 -
果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？(3)如果要使得果园橙子的总产量为60320个,那么应该增种多少棵橙子树？(4)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式.
问题2 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为
--- .
问题3 某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗.你能列出矩形水面的面积关于矩形水面的边长的关系式吗？
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数。
归纳总结（10分钟）
①yax
(a0,b0,c0)。
②yaxc
(a0,b0,c0)。
③yaxbx(a0,b0,c0)
。例1 下列函数中，哪些是二次函数？
222橙子树之间的关系、及用关系式表示这一关系的过程，为引出二次函数的概念作铺垫。
x＋12；(3)s＝3－2t；通过两个例题x的解决，加深学例题讲解（5分钟）
2生对二次函数(4)y＝－2x.
2例2 函数y＝(m＋2)xm－2是x的二次函数，求概念的理解.
(1)y＝3(x－1)＋1；(2)y＝2
m的值．
圆的半径是1 cm，假设半径增加x cm时，圆的巩固练习
（12分钟）
通过“随堂练2面积增加y cm.(1)写出y与x之间的关系式；
习”和习题，学生进一步明确(2)当圆的半径分别增加1 cm，2 cm，2 cm时，二次函数的概圆的面积增加多少？
念和进一步体【当堂训练】1．课本P30随堂练习2．课本P30会二次函数所描述的关系。
习题2.1
5.板书设计
二次函数
二次函数的概念
一般形式 例题
学生活动区域
6.教学反思与改进
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12《二次函数的图象与性质》（一）教学设计
课题基本信息
课题
学科
版本
主备者姓名
学科备课组长
数学
北师大版
二次函数的图象与性质（一）
年级 九年级
册别
备课人员信息
主备者单位
年级备课组长
1.教学背景分析
1. 教材内容分析：本节内容主要是作函数y=ax的图象,通过图研究y=ax的开口方向,对称轴，顶点坐标等其22单元 第三章
下册
他性质。本课是在学生掌握了二次函数的概念下对二次函数y=ax的图象与性质进一步的研究,通过作出二次函数的2图象来研究它的性质，通过这节的学习,学生将握函数y=ax的图象与性质,是进一步学二次函数的基础,二次函数的图象与性质是初中阶段所学的有关函数知识的重要内容之一。
22. 学生情况分析：在初二，学生进行了列表、画图等操作活动，引导了学生积极动手、动口、动脑来进行归纳整理；学生已初步具备自已通过画图，直观地探索二次函数图象和性质的方法。
3.教学方式与教学手段：教师引导——自主探究——合作交流。
4. 信息技术（配套课件）准备：ppt课件
2.学习目标与学习效果评价设计
学习目标
1.知道二次函数的图象是一条抛物线。
222．会画二次函数y=x与y=-x的图象。
223．掌握二次函数y=x与y=-x的性质，并会灵活应用。
2评价方式与内容
1.会用描点法画y=x函数的图象。
2.知道二次函数的图象是一条抛物线。
23.结合y=ax图象初步理解抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，及y随x的变化情况。
3.学习重难点及突破方法
学习重点：会画y=ax2的图象，理解其性质。
学习难点：描点法画y=ax2的图象，体会数与形的相互联系。
突破方法：有“一次函数”画图象的基础，在画图象的基本方法上学生问题不会太大，但教师应结合列表的数据引导学生对抛物线图象大致趋势的理解.学生在结合图象观察、体会性质时会有一些困难，教师应大胆让学生自己发现归纳，鼓励学生讨论交流.通过学生间相互的取长补短最终能突破重难点。
4.教学过程
教学环节及预计时间
师生活动
为了进一步研究上节课提出的两个问题，就需研究二次函数的性质.我们知道形如y=ax2设计意图
激发学生学习本节课内容的兴趣，让学生利用类比的方法完成本节课的内容。
教师备注
而研究函数的主要工复习引入（3分钟）
+bx+c(a≠0)叫二次函数，具是利用函数的图象.因此，我们这节课先研究最简单的形如y=ax的图象与性质.
2
- 34 -
合作探究,发现和验证（15分钟）
1.画二次函数y=x(a≠0)的图象.
2.画二次函数y=-x(a≠0)的图象。
22这一环节是本节课的主要内容，教师引导学生一步步完成函数图像，让学生边做边总结。
引导学生观察图像，区别y=x与y=-x的图象，总结y=-x的图像的特征和性质。
222
总结梳理 内化目标（12分钟）
通过作图、比较，总结y=ax(a≠0)的图象性质.
2
1.不画图象说出y=-4x,y=22252x，y=-x的32顶点坐标、对称轴、开口方向及x＜0时y随x的变化情况.
2.写一个顶点在原点，开口向下的二次函数关系式______________.
3.若y=kx，当x＞0时，y随x的减小而减小,巩固练习（12分钟）
则k的取值范围为_____.
4.若抛物线的图象与y=-3x的图象关于x轴轴对称，则该抛物线对应的函数关系式为______________.
5.y=-222巩固本节课所学内容
12x的图象上有两点(x1，y1),(x2，y2),若x1＜x2＜0，则y1____y2(填＞、＜或巩固本节课所学内容
总结（3分钟）
=).
学生将今天课堂所画的所有图象再观察一遍，结合图象总结抛物线的顶点、对称轴、开口方向及基本性质.(注意分类思想的渗透)
5.板书设计
二次函数y＝x和y＝－x的图象与性质
221．二次函数y＝x和y＝－x的图象的画法及特点
222．二次函数y＝x和y＝－x的图象的性质
223．二次函数y＝x和y＝－x的应用
226.教学反思与改进
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13《二次函数的图象与性质》（二）教学设计
课题
学科
版本
主备者姓名
学科备课组长
课题基本信息
二次函数的图象与性质（二）
数学 年级 九年级 单元 第三章
北师大版 册别 下册
备课人员信息
主备者单位
年级备课组长
1.教学背景分析
1.教材内容分析：在此之前，学生已掌握一次函数和反比例函数的图像和性质，并刚刚学习了二次函数的基本概念，能利用描点法画抛物线的图象；对于抛物线的图象形状、开口方向、对称轴、顶点坐标有所了解；能够根据图象认识和理解二次函数的性质。
2yax2.学生情况分析：学生在上节课经历利用描点法画抛物线的图象的活动过程，因此对于画二次函数和yax2c的图象不会存在太大问题；由于二次函数的图象比较直观，因此在分析两个或者多个二次函数的图象形状、开口方向、对称轴、顶点坐标时，也有了上一课时的活动基础。
3.教学方式与教学手段：教师引导——自主探究——合作交流。
4.信息技术（配套课件）准备：ppt课件
2.学习目标与学习效果评价设计
学习目标
1.会画二次函数y=ax和y=ax+c的图象。
222.掌握二次函数y=ax和y=ax+c的性质并会应用。
223.比较函数y=ax与y=ax+c的联系。
22评价方式与内容
1.会用描点法作y＝ax2和y＝ax2＋c(a≠0)的图象。
2.对比图像能说出它们与y＝x2的异同。
3.能够通过观察、分析、操作,交流、研讨等一起探讨其性质。
3.学习重难点及突破方法
学习重点：掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的性质并会应用。
学习难点：会画二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象。
突破方法：在学生自己动手画图象的过程中，让学生自己发现，归纳，提炼，鼓励学生讨论，交流.通过学生间相互的取长补短最终能突破重难点。
4.教学过程
教学环节及预计时间
师生活动 设计意图
首先用问题作为切入点，引出新知.学生会根据已有的知识储备轻松得出结果，这样问题就出来了，我们用列表，描点，连线的方法画出二次函数的图像，那么，是不是只有二次22函y＝x与y＝-x两种呢？从而自然而教师备注
1、什么是二次函数？二次函数y＝x22与y=-x的图象一样吗？它们有什么相同复习旧知，引入新知（4分钟）
点？不同点？
2.二次函数是否只有y＝x与y＝-x这两种呢?有没有其他形式的二次函数？
22
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然的引出数学活动
让学生画完整的二次函数图象，然在平面直角坐标系中作二次函数y=2x2
y=x2新课讲解（18分钟）
和y＝后用自己的语言进
12行描述图象的性质，x的图象．观察它们的图象有什么初步体验二次函数2相同和不同？
yax2的系数a对图象的影响.
2在同一直角坐标系内画函数y＝2x+1的图象.
巩固练习（12分钟）
1）同桌之间，一个列表，一个描点，然后用彩笔连线.
2）教师巡视，指导画法.
3）展示好的作品（以做探讨，研究性质之用）.
2二次函数y＝2x+1的图象与二次函数y=2x的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
1.通过刚才画的函数y＝2x+1的图象拓展提升（11分钟）
与函数y=2x的图象，比较它们的图形特点．(从轴对称图形、开口方向、对称轴和顶点坐标方面比较)
2.在同一直角坐标系内画函数y＝2x-1的图象，也比较它们的图形特点．(从轴对称图形、开口方向、对称轴和顶点坐标方面比较)
2222对二次函数性质的巩固与拓展，从图象直观理解函数之间（a相同）的平移关系，培养学生的动态思维.
引导学生通过表格上函数值的变化让学生猜想函数图象的位置变化，再结合图象，从图象直观理解函数之间（相同）的平移关系，掌握图象的平移规律，培养学生的动态思维.
5.板书设计
二次函数y＝ax和y＝ax＋c的图象与性质
21．二次函数y＝ax的图象与性质
22．二次函数y＝ax＋c的图象与性质
223．二次函数y＝ax和y＝ax＋c的应用
22
6.教学反思与改进
- 37 -
14《二次函数的图象与性质》（三）教学设计
课题基本信息
课题
学科
版本
数学
北师大版
二次函数的图象与性质
年级 九年级
册别
备课人员信息
主备者姓名
学科备课组长
主备者单位
年级备课组长
1.教学背景分析
1.教材内容分析：
学生在前几节课中，已学习过了二次函数的概念和函数、函数的图象和性质，学生在此过程中，已学会用列表、描点的方法作出二次函数的图象，并积累了如何从图象的角度研究函数性质的经验.另外，学生在初二学过图形平移变换的知识，这些知识储备为本节课的学习奠定了良好的基础，使学生具备了掌握本节知识的基本技能.因此，在本节课中，他们可以联系初二已学图形平移变换知识，运用图象变换的观点把二次函数的图象经过一定的平移变换，从特殊到一般，得到二次函数的图象和性质。
单元 第三章
下册
2.学生情况分析：在上两节课，学生进行了列表、画图等操作活动，引导了学生积极动手、动口、动脑来进行归纳整理；学生已初步具备自已通过画图，直观地探索二次函数图象和性质的方法.在本节课中,学生可以继续沿用上节课的活动经验来进一步探索二次函数的图象和性质。
3.教学方式与教学手段：教师引导——自主探究——合作交流。
4.信息技术（配套课件）准备：ppt课件
2.学习目标与学习效果评价设计
学习目标
1.会画二次函数y=a(x-h)和y＝a(x-h) +k的图象。
2222评价方式与内容
1．能够作出函数y=a(x-h) 和y＝a(x-h) +k的图象。
2．能够正确说出y=a(x-h) +k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
2222.掌握二次函数y=a(x-h)和y＝a(x-h) +k 3. 能够通过观察、分析、操作,交流、研讨等探讨其性质。
的性质。
3. 比较函数y=ax 与 y=a(x-h)和y＝a(x-h) +k的联系。
222
3.学习重难点及突破方法
学习重点：掌握二次函数y=a(x-h)2和y＝a(x-h)2 +k的性质。
学习难点：会画二次函数y=a(x-h)2和y＝a(x-h)2 +k的图象。
突破方法：在学生自己动手画图象的过程中，让学生自己发现，归纳，提炼，鼓励学生讨论，交流.
通过学生间相互的取长补短最终能突破重难点。
4.教学过程
- 38 -
教学环节及预计时间
师生活动
二次函数y设计意图 教师备注
12x3的开口方向-2 ，对称轴 ，顶点坐标 .
二次函数y2x3它图象可以由
的图象向 平移 个单位得到.
把函数y3x的图象向下平移2个单位可得到函数__________的图象.
提出问题,引入新课（5分钟）
2、提出问题：我们已学习过两种类型的二22yaxyaxc，知道它次函数，与22复习前两节课内容，唤醒学生的记忆，并
提出问题，为下面的教学作准备.
们都是轴对称图形，对称轴是y轴，顶点2yaxc的图象是函都是原点．还知道2yax数的图象经过上下移动得到的，2yax那么如果将函数的图象左右移动呢?它左右移动后又会得到什么样的函数形式，它又有哪些性质呢?本节课我们就来研究有关问题．
21. 二次函数y2(x1)的图象与二次2函数y2x的图象有什么关系？它的开通过填表、画图等活动，在帮助学生获取感性材料的同时，促使他们积极思考、探索、发现规律，揭示结论.
先猜测，培养学生的合情推理能力和分析能力，再画图验
口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？
合作探究,发现2. 结合初二图形变换的知识，能否用移和验证（17分钟）
动的观点说明函数x与(x1)的图象之间的关系呢?
3.猜一猜：y2(x1)的图象是怎么样2的？它的图象与y2x的图象之间有什2
22证，亲身经历探索函数性质的过程.
么样的关系？画图验证一下！
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先让学生合情推理，再画图验证，培养学生的合情推理能力和分析能力，有利于ya(xh)2k
启发引导,形成(1)a的符号决定抛物线的开口方向
结论（15分钟）
(2)对称轴是直线x=h
(3)顶点坐标是(h,k)
培养学生的数学直觉和感悟能力.利用图象,直观地研究二次函数的性质,可以培养学生用数形结合的方法思考,积累研究函数性质的经验.最后,总结规律.
总结:目前为止，二次函数图象我们共研究巩固提高（8分钟）
了哪些类型？从解析式来看，它们之间的关系是什么？从图象来看，它们有什么关系？
进一步巩固学生所学内容，根据学生的检测情况调整下一步的教学.
5.板书设计
二次函数y＝a(x－h)的图象与性质
1．二次函数y＝a(x－h)的图象与性质
2．二次函数y＝a(x－h)的图象与y＝ax的图象的关系
3. 二次函数y＝a(x－h)＋k的图象与性质
4. 二次函数y＝a(x－h)＋k的图象与y＝ax的图象的关系
5．二次函数y＝a(x－h)＋k的图象的应用
22222222
6.教学反思与改进
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15《 二次函数的图象与性质》（四）教学设计
课题基本信息
课题
学科
版本
主备者姓名
学科备课组长
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
数学
北师大版
备课人员信息
1.教学背景分析
1.教材内容分析：本节课通过实际问题的引入让学生体会建立顶点式y=a(x-h)+k形式的必要性，能够利用二2年级 九年级 单元
册别
主备者单位
年级备课组长
第三章
下册
次函数顶点式解决实际问题，鼓励学生利用类比、数形结合思想等方法探究数学问题，认识到数学知识来源于实践，又能指导实践。
2.学生情况分析：已经能够正确说出y=ax 、y=ax+c 、y=a(x-c) 、y=a(x-h)+k（其中a≠0）图象的开口方2向、增减性、对称轴和顶点坐标，特别是对y=a(x-h)+k形式的函数的图象的性质有了一定的理解与掌握。
2、2223.教学方式与教学手段：教师引导——自主探究——合作交流。
4.信息技术（配套课件）准备：ppt课件
2.学习目标与学习效果评价设计
学习目标
评价方式与内容
1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)+k。
2221.能类比一元二次方程的概念和解法、理解二次方程的有关概念及解二次方程的关键是降2.能用配方法推导出求根公式,掌握解一元次程的三种方法能把实际问题转化成数学模型。
3.能够通过观察、分析、操作,交流、研讨等探讨其性质。
2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax＋bx＋c的顶点坐标、对称轴。
次。
3.学习重难点及突破方法
学习重点：会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴。
学习难点：会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k
突破方法：在学生自己动手用配方法推导出求根公式的过程中，让学生自己发现，归纳，提炼，其次利用板书突出重点。
4.教学过程
教学环节及预计时间
师生活动
1.你能说出函数y＝－4(x－2)＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
提出问题,引入新课（7分钟）
2．函数y＝－4(x－2)＋1图象与函数y＝－4x的图象有什么关系?
3．函数y＝－4(x－2)＋1具有哪些性质?
4．不画出图象，你能直接说出函数y＝－
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2222设计意图 教师备注
复习前四节课内容，唤醒学生的记忆，并提出问题，为下面的教学作准备.
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