2023年12月25日发(作者：连云港数学试卷填空题目)
新版北师大版九年级下册数学全册教案（全册 共84页）
目 录
1.1 锐角三角函数
第1课时 正切与坡度
第2课时 正弦与余弦
1.2 30°，45°，60°角的三角函数值
1.3 三角函数的计算
1.4 解直角三角形
1.5 三角函数的应用
1.6 利用三角函数测高
2.1 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第1课时 二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质
第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质
第3课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
第4课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
2.3 确定二次函数的表达式
2.4 二次函数与一元二次方程
第1课时 图形面积的最大值
第2课时 商品利润最大问题
2.5 二次函数与一元二次方程
第1课时 二次函数与一元二次方程
第2课时 利用二次函数求方程的近似根
3.1 圆
3.2 圆的对称性
*3.3 垂径定理
3.4 圆周角和圆心角的关系
第 1 页 共 1 页第1课时 圆周角和圆心角的关系
第2课时 圆周角和直径的关系及圆内接四边形
3.5 确定圆的条件
3.6 直线和圆的位置关系
第1课时 直线和圆的位置关系及切线的性质
第2课时 切线的判定及三角形的内切圆
*3.7 切线长定理
3.8 圆内接正多边形
3.9 弧长及扇形的面积
1．1 锐角三角函数
第1课时 正切与坡度
1．理解正切的意义，并能举例说明；(重点)
2．能够根据正切的概念进行简单的计算；(重点)
3．能运用正切、坡度解决问题．(难点)
一、情境导入
观察与思考：
某体育馆为了方便不同需求的观众，设计了不同坡度的台阶．
问题1：图①中的台阶哪个更陡？你是怎么判断的？
问题2：如何描述图②中台阶的倾斜程度？除了用∠A的大小来描述，还可以用什么方法？
方法一：通过测量BC与AC的长度算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度；
方法二：在台阶斜坡上另找一点B1，测出B1C1与AC1的长度，算出它们的比，也能说明台阶的倾斜程度．
你觉得上面的方法正确吗？
二、合作探究
探究点一：正切
【类型一】 根据正切的概念求正切值
分别求出图中∠A、∠B的正切值(其中∠C＝90°)．
第 2 页 共 2 页
由上面的例子可以得出结论：直角三角形的两个锐角的正切值互为________．
解析：根据勾股定理求出需要的边长，然后利用正切的定义解答即可．
164123解：如图①，tan∠A＝＝，tan∠B＝＝；如图②，BC＝732－552＝48，tan∠A1231644855＝，tan∠B＝.
5548因而直角三角形的两个锐角的正切值互为倒数．
方法总结：求锐角的三角函数值的方法：利用勾股定理求出需要的边长，根据锐角三角函数的定义求出对应三角函数值即可．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第1题
【类型二】 在网格中求正切值
已知：如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形的顶点上，求tan∠ADC的值．
解析：先证明△ACD≌△BCE，再根据tan∠ADC＝tan∠BEC即可求解．
解：根据题意可得AC＝BC＝12＋22＝5，CD＝CE＝12＋32＝10，AD＝BE＝5，1∴△ACD≌△BCE(SSS)．∴∠ADC＝∠BEC.∴tan∠ADC＝tan∠BEC＝.
3方法总结：三角函数值的大小是由角度的大小确定的，因此可以把求一个角的三角函数值的问题转化为另一个与其相等的角的三角函数值．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第3题
【类型三】 构造直角三角形求三角函数值
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，D为AC的中点，求tan∠ABD的值．
解析：设AC＝BC＝2a，根据勾股定理可求得AB＝22a，再根据等腰直角三角形的性质，可得DE与AE的长，根据线段的和差，可得BE的长，根据正切三角函数的定义，可得答案．
解：如图，过D作DE⊥AB于E.设AC＝BC＝2a，根据勾股定理得AB＝22a.由D为AC中点，得AD＝a.由∠A＝∠ABC＝45°，又DE⊥AB，得△ADE是等腰直角三角形，∴第 3 页 共 3 页
DE＝AE＝2a32aDE1.∴BE＝AB－AE＝，tan∠ABD＝＝.
22BE3方法总结：求三角函数值必须在直角三角形中解答，当所求的角不在直角三角形内时，可作辅助线构造直角三角形进行解答．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
探究点二：坡度
【类型一】 利用坡度的概念求斜坡的坡度(坡比)
堤的横断面如图．堤高BC是5米，迎水斜坡AB的长是13米，那么斜坡AB的坡度是( )
A．1∶3 B．1∶2.6 C．1∶2.4 D．1∶2
解析：由勾股定理得AC＝12米．则斜坡AB的坡度＝BC∶AC＝5∶12＝1∶2.4.故选C.
方法总结：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1∶m的形式．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题
【类型二】 利用坡度解决实际问题
已知一水坝的横断面是梯形ABCD，下底BC长14m，斜坡AB的坡度为3∶3，另一腰CD与下底的夹角为45°，且长为46m，求它的上底的长(精确到0.1m，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)．
解析：过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，根据已知条件求出AE＝DF的值，再根据坡度求出BE，最后根据EF＝BC－BE－FC求出AD.
解：过点A作AE⊥BC，过点D作DF⊥BC，垂足分别为E、F.∵CD与BC的夹角为4645°，∴∠DCF＝45°，∴∠CDF＝45°.∵CD＝46m，∴DF＝CF＝＝43(m)，∴AE2AE3＝DF＝43m.∵斜坡AB的坡度为3∶3，∴tan∠ABE＝＝＝3，∴BE＝4m.∵BC＝BE314m，∴EF＝BC－BE－CF＝14－4－43＝10－43(m)．∵AD＝EF，∴AD＝10－43≈3.1(m)．
所以，它的上底的长约为3.1m.
方法总结：考查对坡度的理解及梯形的性质的掌握情况．解决问题的关键是添加辅助线构造直角三角形．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题
三、板书设计
正切与坡度
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1．正切的概念
∠A的对边在直角三角形ABC中，tanA＝.
∠A的邻边2．坡度的概念
坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，也就是坡角的正切值．
在教学中，要注重对学生进行数学学习方法的指导．在数学学习中，有一些学生往往不注重基本概念、基础知识，认为只要会做题就可以了，结果往往失分于选择题、填空题等一些概念性较强的题目．通过引导学生进行知识梳理，教会学生如何进行知识的归纳、总结，进一步帮助学生理解和掌握基本概念、基础知识
1.1 锐角三角函数
第2课时 正弦与余弦
1．理解正弦与余弦的概念；(重点)
2．能用正弦、余弦的知识，根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角．(难点)
一、情境导入
如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m，他的相对位置升高了5m.
如果他沿着该斜坡行走了20m，那么他的相对位置升高了多少？行走了am呢？
在上述情形中，小明的位置沿水平方向又分别移动了多少？
根据相似三角形的性质可知，当直角三角形的一个锐角的大小确定时，它的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值也就确定了．
二、合作探究
探究点：正弦和余弦
【类型一】 直接利用定义求正弦和余弦值
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，求sinA，cosA.
解析：利用勾股定理求出AC，然后根据正弦和余弦的定义计算即可．
BC5AC12解：由勾股定理得AC＝AB2－BC2＝132－52＝12，sinA＝＝，cosA＝＝.
AB13AB13方法总结：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为第 5 页 共 5 页
对边比邻边，熟记三角函数的定义是解决问题的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第1题
【类型二】 已知一个三角函数值求另一个三角函数值
3如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，AD＝BC＝5，cos∠ADC＝，求5sinB的值．
3解析：先由AD＝BC＝5，cos∠ADC＝及勾股定理求出AC及AB的长，再由锐角三角5函数的定义解答．
3解：∵AD＝BC＝5，cos∠ADC＝，∴CD＝3.在Rt△ACD中，∵AD＝5，CD＝3，∴5AC＝AD2－CD2＝52－32＝4.在Rt△ACB中，∵AC＝4，BC＝5，∴AB＝AC2＋BC2＝AC444142＋52＝41，∴sinB＝＝＝ .
AB4141方法总结：在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义，分清它们的边角关系，结合勾股定理是解答此类问题的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题
【类型三】 比较三角函数的大小
sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是( )
A．tan70°＜cos70°＜sin70°
B．cos70°＜tan70°＜sin70°
C．sin70°＜cos70°＜tan70°
D．cos70°＜sin70°＜tan70°
解析：根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又cos70°＝sin20°，锐角的正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞sin20°＝cos70°.故选D.
方法总结：当角度在0°<∠A<90°间变化时，0
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题
【类型四】 与三角函数有关的探究性问题
在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC边(除端点外)上的一点，设∠ADC＝α，∠B＝β.
(1)猜想sinα与sinβ的大小关系；
(2)试证明你的结论．
解析：(1)因为在△ABD中，∠ADC为△ABD的外角，可知∠ADC＞∠B，可猜想sinα＞sinβ；(2)利用三角函数的定义可求出sinα，sinβ的关系式即可得出结论．
解：(1)猜想：sinα＞sinβ；
(2)∵∠C＝90°，∴sinα＝ACACACAC ，sinβ＝ .∵AD＜AB，∴＞，即sinα＞sinβ.
ADABADAB第 6 页 共 6 页
方法总结：利用三角函数的定义把两角的正弦值表示成线段的比，然后进行比较是解题的关键．
【类型五】 三角函数的综合应用
如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB＝cos∠DAC.
(1)求证：AC＝BD；
12(2)若sinC＝，BC＝36，求AD的长．
13解析：(1)根据高的定义得到∠ADB＝∠ADC＝90°，再分别利用正切和余弦的定义得ADADADAD到tanB＝，cos∠DAC＝，再利用tanB＝cos∠DAC得到＝，所以AC＝BD；(2)BDACBDACAD12在Rt△ACD中，根据正弦的定义得sinC＝＝，可设AD＝12k，AC＝13k，再根据勾股AC13定理计算出CD＝5k，由于BD＝AC＝13k，于是利用BC＝BD＋CD得到13k＋5k＝36，解得k＝2，所以AD＝24.
(1)证明：∵AD是BC上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ABD中，tanB＝ADADAD在Rt△ACD中，cos∠DAC＝.∵tanB＝cos∠DAC，∴＝，∴AC＝BD；
ACBDACAD12(2)解：在Rt△ACD中，sinC＝＝.设AD＝12k，AC＝13k，∴CD＝AC2－AD2＝AC135k.∵BD＝AC＝13k，∴BC＝BD＋CD＝13k＋5k＝36，解得k＝2，∴AD＝12×2＝24.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题
三、板书设计
正弦与余弦
1．正弦的定义
2．余弦的定义
3．利用正、余弦解决问题
本节课的教学设计以直角三角形为主线，力求体现生活化课堂的理念，让学生在经历“问题情境——形成概念——应用拓展——反思提高”的基本过程中，体验知识间的内在联系，让学生感受探究的乐趣，使学生在学中思，在思中学．在教学过程中，重视过程，深化理解，通过学生的主动探究来体现他们的主体地位，教师是通过对学生参与学习的启发、调整、激励来体现自己的引导作用，对学生的主体意识和合作交流的能力起着积极作用.
AD，BD1.2 30°，45°，60°角的三角函数值
1．经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义；第 7 页 共 7 页
(重点)
2．能够进行30°，45°，60°角的三角函数值的计算；(重点)
3．能够根据30°，45°，60°角的三角函数值说出相应锐角的大小．(难点)
一、情境导入
在直角三角形中(利用一副三角板进行演示)，如果有一个锐角是30°(如图①)，那么另一个锐角是多少度？三条边之间有什么关系？如果有一个锐角是45°呢(如图②)？由此你能发现这些特殊锐角的三角函数值吗？
二、合作探究
探究点一：30°，45°，60°角的三角函数值
【类型一】 利用特殊角的三角函数值进行计算
计算：
(1)2cos60°·sin30°－ 6sin45°·sin60°；
sin30°－sin45°(2).
cos60°＋cos45°解析：将特殊角的三角函数值代入求解．
1－2112313解：(1)原式＝2××－6××＝－＝－1；(2)原式＝2222221＋2方法总结：解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题
【类型二】 已知三角函数值求角的取值范围
2若cosα＝，则锐角α的大致范围是( )
3A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°
C．45°＜α＜60° D．0°＜α＜30°
解析：∵cos30°＝321122，cos45°＝，cos60°＝，且＜＜，∴cos60°＜cosα＜22223222＝22－3.
22cos45°，∴锐角α的范围是45°＜α＜60°.故选C.
方法总结：解决此类问题要熟记特殊角的三角函数值和三角函数的增减性．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第9题
【类型三】 已知三角函数值，求角度
根据下列条件，确定锐角α的值：
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(1)cos(α＋10°)－(2)tan2α－(3＝0；
233＋1)tanα＋＝0.
33解析：(1)根据特殊角的三角函数值来求α的值；(2)用因式分解法解关于tanα的一元二次方程即可．
解：(1)cos(α＋10°)＝＝0，(tanα－1)(tanα－333，α＋10°＝30°，∴α＝20°；(2)tan2α－(＋1)tanα＋23333)＝0，tanα＝1或tanα＝，∴α＝45°或α＝30°.
33方法总结：熟记特殊角的三角函数值以及将“tanα”看作一个未知数解方程是解决问题的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第8题
探究点二：特殊角的三角函数值的应用
【类型一】 特殊角的三角函数值与其他知识的综合
已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tanA)2＋|sinB－3|＝0，试判断△ABC的形状．
2解析：根据非负性的性质求出tanA及sinB的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论．
解：∵(1－tanA)2＋|sinB－33|＝0，∴tanA＝1，sinB＝，∴∠A＝45°，∠B＝60°，22∠C＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABC是锐角三角形．
方法总结：一个数的绝对值和偶次方都是非负数，当几个数或式的绝对值或偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题
【类型二】 利用特殊角的三角函数值求三角形的边长
如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，若AC＝3，求线段AD的长．
解析：首先根据直角三角形的性质推出∠BAC的度数，再求出∠CAD＝30°，最后根据特殊角的三角函数值求出AD的长度．
解：∵△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°.∵AD是△ABC的角平分AC2线，∴∠CAD＝30°，∴在Rt△ADC中，AD＝＝3×＝2.
cos30°3方法总结：解决此题的关键是利用转化的思想，将已知和未知元素化归到一个直角三角形中，进行解答．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题
【类型三】 构造三角函数模型解决问题
要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算．作Rt△ABC，使∠C第 9 页 共 9 页
AC1＝90°，斜边AB＝2，直角边AC＝1，那么BC＝3，∠ABC＝30°，∴tan30°＝＝＝BC33.在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，探究tan15°与tan75°的值．
3
解析：根据角平分线的性质以及勾股定理首先求出CD的长，进而得出tan15°＝BCtan75°＝.
CD解：作∠B的平分线交AC于点D，作DE⊥AB，垂足为E.∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴CD＝DE.设CD＝x，则AD＝1－x，AE＝2－BE＝2－BC＝2－3.在Rt△ADE23－3中，DE2＋AE2＝AD2，x2＋(2－3)2＝(1－x)2，解得x＝23－3，∴tan15°＝＝2－3，3BC3tan75°＝＝＝2＋3.
CD23－3CD，BC
方法总结：解决问题的关键是添加辅助线构造含有15°和75°的直角三角形，再根据三角函数的定义求出15°和75°的三角函数值．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
三、板书设计
30°，45°，60°角的三角函数值
1．特殊角的三角函数值
sinα
cosα
tanα
30°
1
23
23
345°
2
22
21
60°
3
21
23
2.应用特殊角的三角函数值解决问题
课程设计中引入非常直接，由三角板引入，直击课题，同时也对前两节学习的知识进行了整体的复习，效果很好．设计引题开门见山，节省了时间，为后面的教学提供了方便．在讲解特殊角三角函数值时也很细，可以说前部分的教学很成功，学生理解的很好.
1.3 三角函数的计算
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1．熟练掌握用科学计算器求三角函数值；(重点)
2．初步理解仰角和俯角的概念及应用．(难点)
一、情境导入
如图①和图②，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．如果楔子斜面的倾斜角为10°，楔子沿水平方向前进5cm(如箭头所示)．那么木桩上升多少厘米？
观察图②易知，当楔子沿水平方向前进5cm，即BN＝5 cm时，木桩上升的距离为PN.
在Rt△PBN中，∵tan10°＝PN，∴PN＝BNtan10°＝5tan10°(cm)．
BN那么，tan10°等于多少呢？
对于不是30°，45°，60°这些特殊角的三角函数值，可以利用科学计算器来求．
二、合作探究
探究点一：利用科学计算器解决含三角函数的计算问题
【类型一】 已知角度，用计算器求三角函数值
用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)：
(1)sin47°； (2)sin12°30′；
(3)cos25°18′； (4)sin18°＋cos55°－tan59°.
解析：熟练使用计算器，对计算器给出的结果，根据题目要求用四舍五入法取近似值．
解：根据题意用计算器求出：
(1)sin47°≈0.7314；
(2)sin12°30′≈0.2164；
(3)cos25°18′≈0.9041；
(4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817.
方法总结：解决此类问题关键是熟练使用计算器，使用计算器时要注意按键顺序．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题
【类型二】 已知三角函数值，用计算器求锐角的度数
已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角∠A，∠B的度数(结果精确到0.1°)：
(1)sinA＝0.7，sinB＝0.01；
(2)cosA＝0.15，cosB＝0.8；
(3)tanA＝2.4，tanB＝0.5.
解析：熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据题目要求用四舍五入取近似值．
第 11 页 共 11 页
解：(1)由sinA＝0.7，得∠A≈44.4°；由sinB＝0.01，得∠B≈0.6°；
(2)由cosA＝0.15，得∠A≈81.4°；由cosB＝0.8，得∠B≈36.9°；
(3)由tanA＝2.4，得∠A≈67.4°；由tanB＝0.5，得∠B≈26.6°.
方法总结：解决此类问题关键是熟练使用计算器，在使用计算器时要注意按键顺序．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题
【类型三】 利用计算器比较三角函数值的大小
(1)通过计算(可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：
①sin30°________2sin15°cos15°；
②sin36°________2sin18°cos18°；
③sin45°________2sin22.5°cos22.5°；
④sin60°________2sin30°cos30°；
⑤sin80°________2sin40°cos40°.
猜想：已知0°＜α＜45°，则sin2α________2sinαcosα；
(2)如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2α，请根据提示，利用面积方法验证(1)中提出的猜想．
解析：(1)利用计算器分别计算①至⑤各式中左边与右边的值，比较大小；(2)通过计算△ABC的面积来验证．
解：(1)①＝ ②＝ ③＝ ④＝ ⑤＝ 猜想：＝
(2)已知0°＜α＜45°，则sin2α＝2sinαcosα.
证明：S△ABC＝α.
方法总结：本题主要运用了面积法，通过用不同的方法表示同一个三角形的面积，来得到三角函数的关系，此种方法在后面的学习中会经常用到．
探究点二：利用三角函数解决实际问题
【类型一】 非特殊角三角函数的实际应用
11AB·sin2α·AC，S△ABC＝×2ABsinα·ACcosα，∴sin2α＝2sinαcos22
如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC＝10千米，∠CAB＝25°，∠CBA＝45°.因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．
(1)求改直后的公路AB的长；
(2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确到0.1)?
解析：(1)过点C作CD⊥AB于D，根据AC＝10千米，∠CAB＝25°，求出CD、AD，根据∠CBA＝45°，求出BD、BC，最后根据AB＝AD＋BD列式计算即可；(2)根据(1)可知AC、BC的长度，即可得出公路改直后该段路程比原来缩短的路程．
解：(1)过点C作CD⊥AB于点D，∵AC＝10千米，∠CAB＝25°，∴CD＝sin∠CAB·AC＝sin25°×10≈0.42×10＝4.2(千米)，AD＝cos∠CAB·AC＝cos25°×10≈0.91×10＝9.1(千第 12 页 共 12 页
米)．∵∠CBA＝45°，∴BD＝CD＝4.2(千米)，BC＝CD4.2＝≈5.9(千米)，∴ABsin∠CBAsin45°＝AD＋BD＝9.1＋4.2＝13.3(千米)．所以，改直后的公路AB的长约为13.3千米；
(2)∵AC＝10千米，BC＝5.9千米，∴AC＋BC－AB＝10＋5.9－13.3＝2.6(千米)．所以，公路改直后该段路程比原来缩短了约2.6千米．
方法总结：解决问题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用三角函数关系求出有关线段的长．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第9题
【类型二】 仰角、俯角问题
如图，课外数学小组要测量小山坡上塔的高度DE，DE所在直线与水平线AN垂直．他们在A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿着射线AN方向前进50米到达B处，此时测得塔尖D的仰角∠DBN＝61.4°，小山坡坡顶E的仰角∠EBN＝25.6°.现在请你帮助课外活动小组算一算塔高DE大约是多少米(结果精确到个位)．
解析：根据锐角三角函数关系表示出BF的长，进而求出EF的长，得出答案．
解：延长DE交AB延长线于点F，则∠DFA＝90°.∵∠A＝45°，∴AF＝DF.设EF＝x，EFDF50＋2x∵tan25.6°＝≈0.5，∴BF＝2x，则DF＝AF＝50＋2x，故tan61.4°＝＝＝1.8，BFBF2x解得x≈31.故DE＝DF－EF＝50＋31×2－31＝81(米)．
所以，塔高DE大约是81米．
方法总结：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
三、板书设计
三角函数的计算
1．已知角度，用计算器求三角函数值
2．已知三角函数值，用计算器求锐角的度数
3．仰角、俯角的意义
本节课尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学的每一个细节，让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，舍得把课堂让给学生，尽最大可能在课堂上投入更多的情感因素，丰富课堂语言，使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下课后多反思，做好反馈工作，不断总结得失，不断进步．只有这样，才能真正提高课堂教学效率，提高成绩.
1.4 解直角三角形
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1．正确运用直角三角形中的边角关系解直角三角形；(重点)
2．选择适当的关系式解直角三角形．(难点)
一、情境导入
如图，美丽的徒骇河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河大道和风景带成为该市的一道新景观．在数学课外实践活动中，小亮在河西岸滨河大道一段AC上的A，B两点处，利用测角仪分别对东岸的观景台D进行了测量，分别测得∠DAC＝60°，∠DBC＝75°.又已知AB＝100米，根据以上条件你能求出观景台D到徒骇河西岸AC的距离吗？
二、合作探究
探究点：解直角三角形
【类型一】 利用解直角三角形求边或角
已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对应边分别为a、b、c，按下列条件解直角三角形．
(1)若a＝36，∠B＝30°，求∠A的度数和边b、c的长；
(2)若a＝6，b＝6，求∠A、∠B的度数和边c的长．
解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形．
a解：(1)在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，a＝36，∴∠A＝90°－∠B＝60°，＝cosB，ca3611即c＝＝＝243，∴b＝c＝×243＝123；
cosB2232(2)在Rt△ABC中，∵a＝6，b＝6，∴c＝62，∠A＝∠B＝45°.
方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第6题
【类型二】 构造直角三角形解决长度问题
一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝122，试求CD的长．
解析：过点B作BM⊥FD于点M，求出BM与CM的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝60°，利用解直角三角形解答即可．
解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝122，第 14 页 共 14 页
∴BC＝AC＝122.∵AB∥CF，∴BM＝sin45°BC＝122×2＝12，CM＝BM＝12.在△EFD2BM中，∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，∴MD＝＝43，∴CD＝CM－MDtan60°＝12－43.
方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第7题
【类型三】 构造直角三角形解决面积问题
在△ABC中，∠B＝45°，AB＝2，∠A＝105°，求△ABC的面积．
解析：过点A作AD⊥BC于点D，根据勾股定理求出BD、AD的长，再根据解直角三角形求出CD的长，最后根据三角形的面积公式解答即可．
解：过点A作AD⊥BC于点D，∵∠B＝45°，∴∠BAD＝45°，∴AD＝BD＝2AB＝22AD×2＝1.∵∠A＝105°，∴∠CAD＝105°－45°＝60°，∴∠C＝30°，∴CD＝2tan30°＝3＋1111＝3，∴S△ABC＝(CD＋BD)·AD＝×(3＋1)×1＝.
22233方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第7题
三、板书设计
解直角三角形
1．解直角三角形的概念
2．解直角三角形的基本类型及其解法
3．解直角三角形的简单应用
本节课的设计，力求体现新课程理念．给学生自主探索的时间，给学生宽松和谐的氛围，让学生学得更主动、更轻松，力求在探索知识的过程中，培养探索能力、创新能力、合作能力，激发学生学习数学的积极性、主动性.
1.5 三角函数的应用
1．通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解决问题过程中的作用；(重点)
2．能够建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．(难点)
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