2023年12月16日发(作者：数学试卷分析文件有哪些)
专题05 轴对称选择题压轴练习〔解析版〕
选择填空题〔共30小题〕
1．如图,A、B是直线CD外两定点,P为直线CD上一动点,当PB﹣PA最大时,∠BPC＝40°．此时∠APC的度数为〔 〕
A．40°B．80°C．100°D．140°
【考点】轴对称﹣最短路线问题．
【专题】三角形；平移、旋转与对称；推理水平；应用意识．
【解答】解：作A关于直线CD的对称点A′,连接BA′,延长BA′与CD交于点P′,连接AP′,AA′,PA′,那么PA＝PA′,P′A′＝P′A,
∵PB﹣PA＝PB﹣PA′≤BA′,
∴当P点与P′点重合时,PB﹣PA＝P′B﹣P′A＝P′B﹣P′A′＝A′B的值最大,
∵此时,∠BPC＝∠BP′C＝40°．
∴此时∠APC＝∠AP′C＝∠A′P′C＝∠BP′C＝40°,
应选：A．
2．如图是一台球桌面示意图,图中小正方形的边长均相等,黑球放在如下图的位置,经白球撞击后沿箭头方向运动,经桌边反弹最后进入球洞的序号是〔 〕 A．①B．②C．⑤D．⑥
【考点】生活中的轴对称现象．
【解答】解：如图,求最后落入①球洞；
应选：A．
3．如图,等边△ABC,点D为线段BC上一点,以线段DB为边向右侧作△DEB,使DE＝CD,假设∠ADB＝α,∠BDE＝180°﹣2α,那么∠DBE的度数是〔 〕
A．120°﹣αB．180°﹣2αC．2α﹣90°D．α﹣60°
【考点】等边三角形的性质．
【专题】三角形；应用意识．
【解答】解：连接CE、AE,如图,
∵△ABC为等边三角形,
∴AC＝BC,∠CAB＝∠ACB＝∠ABC＝60°,
∵∠ADB＝α,∠BDE＝180°﹣2α, ∴∠ADC＝180°﹣α,∠ADE＝α+180°﹣2α＝180°﹣α,
∴∠ADC＝∠ADE,
在△ADC和△ADE中,
,
∴△ADC≌△ADE〔SAS〕,
∴AC＝AE,∠CAD＝∠EAD,
∵∠ADB＝∠ACD+∠CAD,
∴∠CAD＝α﹣60°,
∴∠CAE＝2∠CAD＝2α﹣120°,
∴∠BAE＝60°﹣〔2α﹣120°〕＝180°﹣2α,
∵AB＝AC＝AE,
∴∠ABE＝∠AEB＝〔180°﹣∠BAE〕＝[180°﹣〔180°﹣2α〕]＝α,
∴∠DBE＝∠ABE﹣∠ABC＝α﹣60°．
应选：D．
4．如图,在平面直角坐标系中,等边△OBC的边OC在x轴正半轴上,点O为原点,点C坐标为〔12,0〕,D是OB上的动点,过D作DE⊥x轴于点E,过E作EF⊥BC于点F,过F作FG⊥OB于点G．当G与D重合时,点D的坐标为〔 〕 A．〔1,〕B．〔2,2〕C．〔4,4〕D．〔8,8〕
【考点】坐标与图形性质；等边三角形的性质．
【专题】三角形．
【解答】解：如图,设BG＝x,
∵△OBC是等边三角形,
∴∠BOC＝∠B＝∠C＝60°,
∵DE⊥OC于点E,EF⊥BC于点F,FG⊥OB,
∴∠BFG＝∠CEF＝∠ODE＝30°,
∴BF＝2x,
∴CF＝12﹣2x,
∴CE＝2CF＝24﹣4x,
∴OE＝12﹣CE＝4x﹣12,
∴OD＝2OE＝8x﹣24,
当G与D重合时,OD+BG＝OB,
∴8x﹣24+x＝12,
解得x＝4,
∴OD＝8x﹣24＝32﹣24＝8,
∴OE＝4,DE＝4∴D〔4,4〕．
, 应选：C．
5．如图,Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝4,BC＝3,点P为AC边上的动点,过点P作PD⊥AB于点D,那么PB+PD的最小值为〔 〕
A．B．C．5D．
【考点】轴对称﹣最短路线问题．
【专题】作图题；证实题；数形结合；几何直观；推理水平．
【解答】解：作点B关于AC的对称点B’,过点B’作B’D⊥AB于点D,交AC于点P,点P即为所求作的点,此时DP+PB有最小值,连接AB’,根据对称点可知：BP＝B’P,
Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝4,BC＝3中,
AB＝＝＝5,
∵AC＝AC,∠ACB＝∠ACB’＝90°
∴△ABC≌△AB’C,
∴S△ABB\'＝S△ABC+S△AB\'C＝2S△ABC,
∵S△ABB\'＝×AB×B\'D,
∴×AB×B\'D＝2S△ABC, ∴×5×B\'D＝2××4×3
∴B\'D＝,
DP+PB＝DP+B\'P＝,
应选：B．
6．如图,在四边形ABCD中,DA⊥AB．DA＝6cm,∠B+∠C＝150°．CD与BA的延长线交于E点,A刚好是EB中点,P、Q分别是线段CE、BE上的动点,那么BP+PQ最小值是〔 〕
A．12B．15C．16D．18
【考点】轴对称﹣最短路线问题．
【专题】三角形．
【解答】解：如图,作点B关于CE的对称点F,连接BF,EF,那么EB＝EF,
∵∠B+∠C＝150°,
∴∠BEC＝30°,
∴∠BEF＝60°,
∴△BEF是等边三角形,
连接BP,PF,PQ,那么BP＝FP,
∴BP+QP＝FP+PQ, ∴当F,P,Q在同一直线上且FQ⊥EB时,BP+PQ的最小值为FQ的长,
此时,Q为EB的中点,故与A重合,
∵DA⊥AB．DA＝6cm,
∴AE＝6cm,
∴Rt△QEF中,FQ＝AE＝18,
∴BP+PQ最小值值为18,
应选：D．
7．如图,点C、D在线段AB的同侧,CA＝4,AB＝12,BD＝9,M是AB的中点,∠CMD＝120°,那么CD长的最大值是〔
A．16B．19C．20D．21
【考点】线段的性质：两点之间线段最短；轴对称的性质．
【专题】三角形；几何直观．
【解答】解：如图,作点A关于CM的对称点A′,点B关于DM的对称点B′．
∵∠CMD＝120°,
∴∠AMC+∠DMB＝60°,
∴∠CMA′+∠DMB′＝60°,
∴∠A′MB′＝60°,
〕 ∵MA′＝MB′,
∴△A′MB′为等边三角形
∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝4+6+9＝19,
∴CD的最大值为19,
应选：B．
8．如图,以平面镜AD和DC为两个侧面的一个黑盒子的另一个侧面BC上开有一个小孔P,一位观察者在盒外沿与BC平行方向走过时,那么通过小孔能几次看到光源S所发出的光线〔 〕
A．1次B．2次C．3次D．4次
【考点】生活中的轴对称现象．
【解答】解：有4条：分别是：由S发出的线SP；
由S发出,经过AD反射直接通过P的光线；
由S发出,经过CD反射直接通过P的光线；
由S发出,经过CD反射再经过AD反射通过P的光线．
应选：D．
9．如图,在等边三角形ABC中,在AC边上取两点M、N,使∠MBN＝30°．假设AM＝m,MN＝x,CN＝n,那么以x,m,n为边长的三角形的形状为〔 〕 A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．随x,m,n的值而定
【考点】等边三角形的性质．
【专题】三角形；几何直观；推理水平．
【解答】解：将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°,
∵∠MBN＝30°,
∴∠ABM+∠CBN＝30°,
∴∠NBH＝∠CBH+∠CBN＝30°,
∴∠NBM＝∠NBH,
∵BM＝BH,BN＝BN,
∴△NBM≌△NBH,
∴MN＝NH＝x,
∵∠BCH＝∠A＝60°,CH＝AM＝n, ∴∠NCH＝120°,
∴x,m,n为边长的三角形△NCH是钝角三角形,
应选：C．
10．如图,△ABC中,AC＝DC＝3,BD垂直∠BAC的角平分线于D,E为AC的中点,那么图中两个阴影局部面积之差的最大值为〔 〕
A．1.5B．3C．4.5D．9
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【解答】解：延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．
∵AD⊥BH,
∴∠ADB＝∠ADH＝90°,
∴∠ABD+∠BAD＝90°,∠H+∠HAD＝90°,
∵∠BAD＝∠HAD,
∴∠ABD＝∠H,
∴AB＝AH,∵AD⊥BH, ∴BD＝DH,
∵DC＝CA,
∴∠CDA＝∠CAD,
∵∠CAD+∠H＝90°,∠CDA+∠CDH＝90°,
∴∠CDH＝∠H,
∴CD＝CH＝AC,
∵AE＝EC,
∴S△ABE＝S△ABH,S△CDH＝S△ABH,
∵S△OBD﹣S△AOE＝S△ADB﹣S△ABE＝S△ADH﹣S△CDH＝S△ACD,
∵AC＝CD＝3,
∴当DC⊥AC时,△ACD的面积最大,最大面积为×3×3＝．
应选：C．
11．边长为a的等边三角形,记为第1个等边三角形,取其各边的三等分点,顺次连接得到一个正六边形,记为第1个正六边形,取这个正六边形不相邻的三边中点,顺次连接又得到一个等边三角形,记为第2个等边三角形,取其各边的三等分点,顺次连接又得到一个正六边形,记为第2个正六边形〔如图〕,…,按此方式依次操作,那么第6个正六边形的边长为〔 〕
A．B．C．D．
【考点】等边三角形的判定与性质．
【专题】压轴题；规律型．
【解答】解：连接AD、DF、DB． ∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴∠ABC＝∠BAF＝∠AFE,AB＝AF,∠E＝∠C＝120°,EF＝DE＝BC＝CD,
∴∠EFD＝∠EDF＝∠CBD＝∠BDC＝30°,
∵∠AFE＝∠ABC＝120°,
∴∠AFD＝∠ABD＝90°,
在Rt△ABD和RtAFD中
∴Rt△ABD≌Rt△AFD〔HL〕,
∴∠BAD＝∠FAD＝×120°＝60°,
∴∠FAD+∠AFE＝60°+120°＝180°,
∴AD∥EF,
∵G、I分别为AF、DE中点,
∴GI∥EF∥AD,
∴∠FGI＝∠FAD＝60°,
∵六边形ABCDEF是正六边形,△QKM是等边三角形,
∴∠EDM＝60°＝∠M,
∴ED＝EM,
同理AF＝QF, 即AF＝QF＝EF＝EM,
∵等边三角形QKM的边长是a,
∴第一个正六边形ABCDEF的边长是a,即等边三角形QKM的边长的,
过F作FZ⊥GI于Z,过E作EN⊥GI于N,
那么FZ∥EN,
∵EF∥GI,
∴四边形FZNE是平行四边形,
∴EF＝ZN＝a,
∵GF＝AF＝×a＝a,∠FGI＝60°〔已证〕,
∴∠GFZ＝30°,
∴GZ＝GF＝a,
同理IN＝a,
∴GI＝a+a+a＝a,即第二个等边三角形的边长是×a；
a,与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似,可求出第二个正六边形的边长是同理第第三个等边三角形的边长是边形的边长是××a；
×a,与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似,可求出第三个正六同理第四个等边三角形的边长是××a,第四个正六边形的边长是×××a；
第五个等边三角形的边长是×××a,第五个正六边形的边长是××××a；
第六个等边三角形的边长是××××a,第六个正六边形的边长是×××××a,
即第六个正六边形的边长是×a, 应选：A．
12．如图,平面直角坐标系中△AOB是等边三角形,假设A点坐标为〔﹣2,4〕,那么点B的坐标为〔 〕
A．〔2C．〔﹣1,2+,〕B．〔〕D．〔,+1〕
,〕
【考点】坐标与图形性质；等边三角形的性质．
【专题】三角形．
【解答】解：作OC⊥OA交AB的延长线于C,作AE⊥x轴于E,CF⊥x轴于F．
∵A〔﹣2,4〕,
∴AE＝4,OE＝2,OA＝2在Rt△AOC中,OC＝,
OA＝2,
∵∠AOE+∠COF＝90°,∠COF+∠OCF＝90°,
∴∠AOE＝∠OCF, ∵∠AEO＝∠CFO＝90°,
∴△AOE∽△OCF,
∴＝＝,
∴CF＝2∴C〔4,OF＝4,2〕,
,
∵AC＝2OA,AB＝AO,
∴AB＝BC,
∴B〔2﹣1,2+〕,
应选：A．
13．在平面直角坐标系中,长为2的线段CD〔点D在点C右侧〕在x轴上移动,A〔0,2〕,B〔0,4〕,连接AC,BD,那么AC+BD的最小值为〔 〕
A．2B．2C．6D．3
【考点】坐标与图形性质；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；应用意识．
【解答】解：设C〔m,0〕,
∵CD＝2,
∴D〔m+2,0〕,
∵A〔0,2〕,B〔0,4〕, ∴AC+BD＝+,
∴要求AC+BD的最小值,相当于在x轴上找一点P〔n,0〕,使得点P到M〔0,2〕和N〔﹣2,4〕的距离和最小,
如图1中,作点M关于x轴的对称点Q,连接NQ交x轴于P′,连接MP′,此时P′M+P′N的值最小,
∵N〔﹣2,4〕,Q〔0,﹣2〕
P′M+P′N的最小值＝P′N+P′Q＝NQ＝＝2,
∴AC+BD的最小值为2应选：B．
．
14．△ABC中,∠ABC＝97.5°,P、Q两点在AC边上,PB＝2,BQ＝3,PQ＝,假设点M、N分别在边AB、BC上,当四边形PQNM的周长最小时,〔MP+MN+NQ〕2的值为〔 〕
A．18+8B．24+8C．22+6D．31+
【考点】轴对称﹣最短路线问题．
【专题】证实题．
【解答】解：如图,作点P关于AB的对称点P′,点Q关于BC的对称点Q′,连接P′Q′交AB于M,交BC于N,此时四边形PQNM的周长最小．作PH⊥BQ于H． ∴PH2＝PB2﹣BH2＝PQ2﹣HQ2,
∴22﹣BH2＝〔解得BH＝,
〕2﹣〔3﹣BH〕2,
∴PH2＝4﹣2＝2,
∴PH＝,
, ∴PH＝BH＝∴∠PBQ＝45°,
∵∠ABP＝∠ABP′,∠CBQ＝∠CBQ′,
∴∠P′BQ′＝2〔∠ABC﹣∠PBQ〕+∠PBQ＝2∠ABC﹣∠PBQ＝150°,
作Q′K⊥P′B于K．
在Rt△BKQ′中,∠KBQ′＝30°,BQ′＝BQ＝3∴KQ′＝,BK＝,
,
在Rt△P′Q′K中,KP′＝2+,KQ′＝,
∴P′Q′2＝〔2+〕2+〔〕2＝22+6,
∴〔MP+MN+NQ〕2P′Q′2＝22+6应选：C．
．
15．如图,∠ABC＝30°,点D、E分别在射线BC、BA上,且BD＝2,BE＝4,点M、N分别是射线BA、BC上的动点,当DM+MN+NE最小时,〔DM+MN+NE〕2的值为〔 〕
A．20B．26C．32D．36
【考点】轴对称﹣最短路线问题．
【专题】三角形．
【解答】解：如图,作点D关于BA的对称点G,作点E关于BC的对称点H,连接GH交AB有M,交BC有N,连接DM、EN,此时DM+MN+NE的值最小．
根据对称的性质可知：BD＝BG＝2,BE＝BH＝4,DM＝GM,EN＝NH,
∴DM+MN+NE的最小值为线段GH的长,
∵∠ABC＝∠GBM＝∠HBC＝30°,
∴∠HBG＝90°,
∴GH2＝BG2+BH2＝20,
∴当DM+MN+NE最小时,〔DM+MN+NE〕2的值为20,
应选：A．
16．在△ABC中,∠A＝45°,AC＝8,BD⊥AC,BD＝6,点E为边BC上的一个动点．E1,E2分别为点E关于直线AC,AB的对称点,连接E1E2,那么线段E1E2长度的最小值是 6 ． 【考点】三角形的面积；轴对称的性质．
【专题】三角形；平移、旋转与对称；推理水平．
【解答】解：如图,连接AE．
∵BD⊥AC,
∴∠ADB＝90°,
∵∠BAC＝45°,
∴∠DAB＝∠DBA＝45°,
∴AD＝BD＝6,
∵E,E2关于AB对称,E,E1关于AC对称,
∴∠EAB＝∠E2AB,∠EAC＝∠CAE1,AE＝AE2＝AE2
∴∠E2AE1＝90°,
∴△AE1E2是等腰直角三角形,
∴E2E1＝AE1＝AE, ∴AE最小时,E1E2的值最小,
根据垂线段最短可知,AE与AD重合时,AE的值最小,最小值＝6,
∴E1E2的最小值为6故答案为：6．
．
17．如图,在△ABC中,∠A＝75°,∠C＝45°,BC＝4,点M是AC边上的动点,点M关于直线AB、BC的对称点分别为P、Q,那么线段PQ长的取值范围是 ．
【考点】轴对称的性质．
【专题】平移、旋转与对称．
【解答】解：∵∠A＝75°,∠C＝45°,
∴∠ABC＝180°﹣75°﹣45°＝60°,
连接BP、BQ、BM,过点B作BD⊥PQ于点D,如下图．
∵点M关于直线AB、BC的对称点分别为P、Q,
∴BP＝BQ＝BM,∠PBA＝∠MBA,∠MBC＝∠QBC,
∴∠PBQ＝120°,
∵PB＝BQ,
∴∠BPQ＝∠BQP＝30°,
∴cos30°＝＝,
∴PD＝PB,
∵BC＝4,∠C＝45°,
∴2≤BM≤4,
∵BM＝PB,
∴2∴2≤PB≤4,
≤PD≤4×,即≤PD≤2,
∵PQ＝2PD,
∴2≤PQ≤4．
≤PQ≤4． 故答案为：218．如图,分别以△ABC的边AB,AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE,∠BAC＝150°,线段BD与CE相交于点O,连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；③OA平分∠BOC；④2EA＝ED；⑤BP＝EQ．其中正确的结论个数为 3 ．
【考点】轴对称的性质．
【专题】图形的全等；平移、旋转与对称；应用意识．
【解答】解：∵△ABD和△ACE是△ABC的轴对称图形,
∴∠BAD＝∠CAE＝∠BAC,AB＝AE,AC＝AD, ∴∠EAD＝3∠BAC﹣360°＝3×150°﹣360°＝90°,故①正确；
∴∠ABE＝∠CAD＝〔360°﹣90°﹣150°〕＝60°,
由翻折的性质得,∠AEC＝∠ABD＝∠ABC,
又∵∠EPO＝∠BPA,
∴∠BOE＝∠BAE＝60°,故②正确；
∵△ACE≌△ADB,
∴S△ACE＝S△ADB,BD＝CE,
∴BD边上的高与CE边上的高相等,
即点A到∠BOC两边的距离相等,
∴OA平分∠BOC,故③正确；
只有当AC＝AB时,∠ADE＝30°,才有EA＝ED,故④错误；
在△ABP和△AEQ中,∠ABD＝∠AEC,AB＝AE,∠BAE＝60°,∠EAQ＝90°,
∴BP＜EQ,故⑤错误；
综上所述,结论正确的选项是①②③．
故答案为3．
19．：△ABC是三边都不相等的三角形,点P是三个内角平分线的交点,点O是三边垂直平分线的交点,当P、O同时在不等边△ABC的内部时,那么∠BOC和∠BPC的数量关系是：∠BOC＝ 4∠BPC﹣360° ．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理水平． 【解答】解：∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,
∴∠PBC＝∠ABC,∠PCB＝∠ACB,
∴∠BPC＝180°﹣〔∠PBC+∠PCB〕
＝180°﹣〔 ∠ABC+∠ACB〕
＝180°﹣〔∠ABC+∠ACB〕
＝180°﹣〔180°﹣∠BAC〕
＝90°+∠BAC,
即∠BAC＝2∠BPC﹣180°；
如图,连接AO．
∵点O是这个三角形三边垂直平分线的交点,
∴OA＝OB＝OC,
∴∠OAB＝∠OBA,∠OAC＝∠OCA,∠OBC＝∠OCB,
∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB,∠AOC＝180°﹣2∠OAC,
∴∠BOC＝360°﹣〔∠AOB+∠AOC〕
＝360°﹣〔180°﹣2∠OAB+180°﹣2∠OAC〕,
＝2∠OAB+2∠OAC
＝2∠BAC
＝2〔2∠BPC﹣180°〕
＝4∠BPC﹣360°,
故答案为：4∠BPC﹣360°． 20．如图,正方形ABCD的边长为5,l是过点A的任意一条直线,点M是点D关于直线l的对称点．连接CM,那么线段CM长度的最大值是 5+5 ．
【考点】轴对称的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；应用意识．
【解答】解：如图,连接AC,AM．
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠D＝90°,AD＝CD＝5,
∴AC＝5,
∵D,M关于直线l对称,
∴AM＝AD＝5,
∵CM≤AC+AM＝5∴CM的最大值为5+5,
+5．
21．如图是一个可调节花盆支架,外围是一个圆形框架,如图1,支架AC,BD的长度均为14cm,端点C,D固定在花盆圆形套圈的直径两端,端点A,B可在外围圆形框架上移动,整个花盆支架始终成轴对称,花盆高EF＝15cm,圆形套圈的直径CD＝20cm,且EF被CD平分为上下比为1：2,当端点A,B向上调节至最高时,AC,BD和CD同一直线上〔如图2所示〕,此时,花盆底到圆形框架最低点的距离为FG＝6cm,那么圆形框架的半径为 26 cm,为了整体美观要求,花盆底到圆形框架最低点的距离FG要最大,那么此时FG为 〔16﹣2〕 cm．
【考点】轴对称的性质．
【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；应用意识．
【解答】解：如图2中,设圆心为O,连接OG,交花盆的上底于E,交花盆的下底于F,交AB于T．连接OA,设OA＝OG＝r．
由题意AB＝AC+CD+BD＝14+20+14＝48〔cm〕,FG＝6cm,TF＝EF＝10〔cm〕,
∴TG＝TF+FG＝16〔m〕．
在Rt△AOT中,∵OA2＝OT2+AT2,
∴r2＝〔r﹣16〕2+242,
解得r＝26．
如图1中,连接OG交CD于T,连接OC,OB, 观察图象可知：当,O,C,A共线,O,D,B共线时,OC＝OD＝26﹣14＝12最小,此时OE的值最小,FG的值最大,
在Rt△OCT中,CT＝10,OC＝12,
∴OT＝＝＝2〔cm〕,
∵TF＝EF＝10〔cm〕,
∴FG＝OG﹣OT﹣TF＝26﹣2故答案为26,〔16﹣2〕．
﹣10＝〔16﹣2〕cm．
22．O点是△ABC的边AB、AC的垂直平分线的交点,P点是∠ABC、∠ACB的平分线的交点,假设3∠BOC＝2∠BPC,那么∠BAC＝ 36°或〔〕° ．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】分类讨论；三角形．
【解答】解：分两种情况：
①如下图,当O在△ABC内部时,连接AO,
∵O点是△ABC的边AB、AC的垂直平分线的交点,
∴AO＝BO＝CO,
∴∠ABO＝∠BAO,∠ACO＝∠CAO,
∴∠BOC＝∠ABO+∠BAO+∠ACO+∠CAO＝2∠BAC,
∵P点是∠ABC、∠ACB的平分线的交点,
∴∠PBC＝∠ABC,∠PCB＝∠ACB,
∴∠BPC＝180°﹣〔∠PBC+∠PCB〕 ＝180°﹣〔∠ABC+∠ACB〕
＝180°﹣〔180°﹣∠BAC〕
＝90°+∠BAC,
又∵3∠BOC＝2∠BPC,
∴3×2∠BAC＝2〔90°+∠BAC〕,
解得∠BAC＝36°；
②如下图,当O在△ABC外部时,连接AO,
∵O点是△ABC的边AB、AC的垂直平分线的交点,
∴AO＝BO＝CO,
∴∠ABO＝∠BAO,∠ACO＝∠CAO,
∴四边形ABOC中,∠BOC＝360°﹣∠ABO﹣∠BAO﹣∠ACO﹣∠CAO＝360°﹣∵P点是∠ABC、∠ACB的平分线的交点,
∴∠PBC＝∠ABC,∠PCB＝∠ACB,
∴∠BPC＝180°﹣〔∠PBC+∠PCB〕
＝180°﹣〔∠ABC+∠ACB〕
＝180°﹣〔180°﹣∠BAC〕
＝90°+∠BAC,
又∵3∠BOC＝2∠BPC,
∴3×〔360°﹣2∠BAC〕＝2〔90°+∠BAC〕,
解得∠BAC＝〔〕°,
2∠BAC, 故答案为：36°或〔〕°．
23．如图,在正方形ABCD中,有面积为4的正方形EFGH和面积为2的正方形PQMN,点E、F、P、Q分别在边AB、BC、CD、AD上,点M、N在边HG上,且组成的图形为轴对称图形,那么正方形ABCD的面积为 + ．
【考点】轴对称图形．
【专题】矩形 菱形 正方形．
【解答】解：如图,连接BD,交PQ于R,交HG于S,交EF于K,
∵正方形ABCD中,有面积为4的正方形EFGH和面积为2的正方形PQMN,
∴EH＝EF＝2,MQ＝QP＝,
又∵组成的图形为轴对称图形,
∴BD为对称轴, ∴△BEF、△DPQ为等腰直角三角形,四边形EKSH、四边形MSRQ为矩形,
∴EK＝BK＝EF＝1,DR＝QR＝PQ＝,KN＝EH＝2,RS＝MQ＝,
∴BD＝1+2++＝3+,
∴正方形ABCD的面积＝BD2＝×〔3+〕2＝+,
故答案为：+．
24．如图,在△ABC中,AB＝AC,AB的中垂线交AB于点D,交BC的延长线于点E,交AC于点F,假设∠A＝50°,AB+BC＝6,那么△BCF的周长＝ 6 ,∠EFC＝ 40 度．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【解答】解：如图：DF垂直且平分AB⇒AF＝BF,AD＝BD,∠A＝∠ABF＝50°,∠ADF＝90°
∠EFC＝180°﹣∠A﹣∠ADF＝40°〔对角相等〕
由于AB+BC＝6,AB＝AC＝BF+FC
故周长△BCF＝FC+BF+BC＝6．
故填6；40°．
25．四边形ABCD中,∠DAB＝120°,点B在CD垂直平分线上,点F在边AB上,且与点D关于直线AC对称,假设AF＝3,FB＝2,那么EC＝ ． 【考点】线段垂直平分线的性质；轴对称的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【解答】解：如图,过B作BG⊥AC于点G,BH⊥AD于点H,
∵∠DAB＝120°,点F与点D关于直线AC对称,
∴∠DAE＝∠FAE＝60°,AC⊥DF,∠BAH＝60°,∠ABH＝30°,
又∵AF＝3,FB＝2,
∴AH＝AB＝,BH＝,AD＝AF＝3,
∴Rt△BDH中,BD＝＝7,
又∵点B在CD垂直平分线上,
∴BC＝BD＝7,
∵Rt△ABG中,∠ABG＝90°﹣60°＝30°,
∴AG＝AB＝,BG＝,
∴Rt△BCG中,CG＝＝,
∴AC＝AG+CG＝8,
又∵Rt△AEF中,∠AFE＝90°﹣60°＝30°,
∴AE＝AF＝,
∴CE＝AC﹣AE＝8﹣＝． 故答案为：．
26．如图,在Rt△ABC中,∠A＝30°,点D为AB的中点,点E为线段AC上一个动点,连接DE,点F为点B关于DE的对称点,连接BE,EF,DF,假设BC＝2,当△DEF与△DEA的重合局部的面积为△EAB面积的 ．
时,AE的长为 2
【考点】轴对称的性质．
【专题】平移、旋转与对称．
【解答】解：设AC与DF交点于G．
∵点D为AB的中点,
∴S△EDA＝S△EDB＝S△EAB,
∵S△EDG＝S△EAB,
∴S△EDG＝S△EDA,
∴S△EDG＝S△GDA,GE＝GA
∵点F为点B关于DE的对称点,
∴S△EDF＝S△EDB,
∴S△EDF＝S△EDA, ∴S△EGF＝S△GDA,
又∵S△EDG＝S△GDA,
∴S△EDG＝S△EGF,
∴GD＝GF,
又GE＝GA
∴四边形ADEF为平行四边形,
∴EF∥AD,EF＝AD,
∵点D为AB的中点,即AD＝BD,
∴EF＝BD,
∴四边形BEFD为平行四边形,
又BE＝EF,
四边形BEFD为菱形,
∴BE＝BD
∵∠A＝30°,BC＝2,
∴BA＝2BC＝4,BD＝2,
∴BE＝BD＝2,
∴BE＝BC,即点C、E重合,
∴AE＝BC＝2．
．
故答案为2
27．如图,在△ABC中,∠ACB＝45°,点D、A关于直线BC对称,DE⊥AB于点E,CF∥AD,交射线ED于点F,DG⊥CF于点G,假设GF＝AD,S△ABC＝14,那么线段BE的长为 ．
【考点】平行线的性质；轴对称的性质．
【专题】三角形．
【解答】解：如图,连接CD,
由D、A关于直线BC对称,可得AC＝DC,BC⊥AD,∠ACB＝∠DCB＝45°,
∵CF∥AD,
∴CF⊥BC,即∠BCG＝90°＝∠ACD,
∴∠ACB＝∠DCF＝45°,
又∵∠E＝90°＝∠BCF,
∴∠F+∠CBE＝180°,
又∵∠ABC+∠CBE＝180°,
∴∠ABC＝∠F,
∴△ABC≌△DFC〔AAS〕,
∴AB＝DF,
设AD＝8x,那么FG＝3x,AC＝DC＝4∴Rt△CDG中,DG＝CG＝4x,
又∵S△ABC＝S△DFC＝14,
∴×7x×4x＝14,
x,
∴x＝1,
∴DG＝4,GF＝3,AD＝8, ∴Rt△DFG中,DF＝5,
∴AB＝5,
∵∠ADE＝∠F,∠E＝∠DGF,
∴△ADE∽△DFG,
∴AE＝AD＝,
∴BE＝AE﹣AB＝．
故答案为：．
28．如下图,在△ABC中,∠A＝70°,∠B＝90°,点A关于BC的对称点是A\',点B关于AC的对称点是B\',点C关于AB的对称点是C\',假设△ABC的面积是,那么△A\'B\'C\'的面积是 1 ．
【考点】轴对称的性质．
【专题】三角形．
【解答】解：如图,连接BB\'并延长交A\'C\'于D交AC于E,连接BA\',BC\', ∵点A关于BC边的对称点为A′,点B关于AC边的对称点为B′,点C关于AB边的对称点为C′,
∴AB＝A\'B,BC＝BC′,∠ABC＝∠A\'BC\',AC垂直平分BB\',
∴△ABC≌△A\'BC′〔SAS〕,
∴S△ABC＝S△A\'BC,∠A＝∠AA\'C\',
∴AC∥A\'C\',
∴BD⊥A\'C\',
∴根据全等三角形对应边上的高相等,可得BD＝BE,
∴BD＝BE＝EB\',
∴S△A\'BC′＝S△A\'B\'C,
∴S△ABC＝S△A\'B\'C,
∴△A′B′C′的面积＝3×＝1,
故答案为1．
29．如图,一束光线从点O射出,照在经过A〔1,0〕、B〔0,1〕的镜面上的点D,经AB反射后,反射光线又照到竖立在y轴位置的镜面,要使最后y轴再反射的光线恰好通过点A,那么点D的坐标为 ． 【考点】坐标与图形性质；镜面对称．
【专题】数形结合．
【解答】解：
∵点O关于AB的对称点是C〔1,1〕,
点A关于y轴的对称点是E〔﹣1,0〕,
设AB的解析式为y＝kx+b,
∵〔1,0〕,〔0,1〕在直线上,
∴,
解得k＝﹣1,
∴AB的表达式是y＝1﹣x,
同理可得CE的表达式是y＝+,
两个表达式联立,解得x＝,y＝．
故答案为：〔,〕．
30．有两面夹角∠AOB＝11°的镜面OA、OB,从一个镜面上P点发射的光线,顺次在点C1,C2,C3…∁n,C反射,当垂直地射到镜面上的C点时,光线就会逆向从原路返回到P点,假设当反射次数n为最大时,那么∠OPC1的大小为 2
度． 【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；镜面对称．
【专题】数形结合．
【解答】解：光线由O至P在OP上的入射角分别为x,y,z…
根据角的转换
得到x＝11°,
∠C∁nC3＝22°；
y＝22°,
∠CCn﹣2C3＝44°；
z＝44°,
∠C3C2C1＝88°；
w＝88°,
∠C1PB＝176°；
∵入射角此时已经不能再大．
∴∠OPC1＝〔180°﹣176°〕÷2＝2°,
故答案为2．
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三角形,轴对称,性质,专题
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