(完整版)九年级数学二轮复习专题08--几何新定义

2023年12月16日发(作者：高中高三数学试卷讲解视频)

九年级数学组编号：二轮复习专题08

九年级数学二轮复习专题---

几何新定义班级1．定义：若点ABCD的一个“互补点”．（1）如图1，点P为四边形ABCD的一个“互补点”，∠APD=63°，求∠BPC的度数．（2）如图2，点P是菱形ABCD对角线上的任意一点，补点”．求证：点P为菱形ABCD的一个“互姓名学号APB+∠CPD=180°，则称点P为四边形P为四边形ABCD内一点，且满足∠九年级数学组编号：二轮复习专题08

2．定义：若△ABC中，其中一个内角是另一个内角的一半，则称△（1）若Rt△ABC为半角三角形，∠A=90°，则其余两个角的度数为ABC为“半角三角形”．．（2）如图1，在?ABCD中，∠C=72°，点E在边CD上，以BE为折痕，将△BCE向上翻折，点E恰好落在AD边上的点F，若BF⊥AD，求证：△EDF为半角三角形；（3）如图2，以△ABC的边AB为直径画圆，与边AC交于M，与边BC交于N，已知△ABC的面积是△CMN面积的4倍．①求证：∠C=60°．②若△ABC是半角三角形，直接写出∠B的度数．九年级数学组编号：二轮复习专题08

3．在一个三角形中，如果有一边上的中线等于这条边的一半，三角形”．那么就称这个三角形为“智慧（1）如图1，已知A、B是⊙O上两点，请在圆上画出满足条件的点三角形”并说明理由；C，使△ABC为“智慧（2）如图2，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD，试判断4△AEF是否为“智慧三角形”，并说明理由；运用：（3）如图3，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，点Q是直线x=3上的一点，若在⊙O1上存在一点P，使得△OPQ为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，求出此时点坐标．P的九年级数学组编号：二轮复习专题08

4．定义：有一个角是其邻角一半的圆内接四边形叫做圆内倍角四边形．（1）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，∠DCB﹣∠ADC=∠A，求证：四边形内接倍角四边形；（2）在（1）的条件下，⊙O半径为5．①若AD为直径，且sinA=，求BC的长；54ABCD为圆②若四边形ABCD中有一个角为（3）在（1）的条件下，记60°，且BC=CD，则四边形ABCD的面积是；AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求证：d2﹣b2=ab+cd．九年级数学组编号：二轮复习专题08

九年级数学二轮复习专题答案几何新定义班级1．定义：若点ABCD的一个“互补点”．（1）如图1，点P为四边形ABCD的一个“互补点”，∠APD=63°，求∠BPC的度数．（2）如图2，点P是菱形ABCD对角线上的任意一点，补点”．求证：点P为菱形ABCD的一个“互姓名学号APB+∠CPD=180°，则称点P为四边形P为四边形ABCD内一点，且满足∠【考点】LA：菱形的判定与性质．【专题】23：新定义．菁优网版权所有【分析】（1）根据称点P为四边形ABCD的一个“互补点”的定义直接求解即可；（2）如图2，连接AP、CP，证得∠APB+∠CPD=180°即可．【解答】解：（1）∵如图1，点P为四边形ABCD的一个“互补点”，∠APD=63°，∴∠BPC=180°﹣∠APD=180°﹣63°=117°，即∠BPC=117°；（2）如图2，连接AP、CP，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∠ADP=∠CDP．在△ADP与△CDP中，????=????，{∠??????=∠??????????=????∴△ADP≌△CDP（SAS），∴∠APD=∠CPD．又∠APB+∠APD=180°，∴∠APB+∠CPD=180°，即点P为菱形ABCD的一个“互补点”．【点评】考查了菱形的判定与性质，掌握点题的关键．P为四边形ABCD的一个“互补点”的定义是解2．定义：若△ABC中，其中一个内角是另一个内角的一半，则称△ABC为“半角三角形”．九年级数学组编号：二轮复习专题08

（1）若Rt△ABC为半角三角形，∠A=90°，则其余两个角的度数为45°，45°或30°，60°．（2）如图1，在?ABCD中，∠C=72°，点E在边CD上，以BE为折痕，将△BCE向上翻折，点E恰好落在AD边上的点F，若BF⊥AD，求证：△EDF为半角三角形；（3）如图2，以△ABC的边AB为直径画圆，与边AC交于M，与边BC交于N，已知△ABC的面积是△CMN面积的4倍．①求证：∠C=60°．②若△ABC是半角三角形，直接写出∠B的度数．【考点】RB：几何变换综合题．【专题】152：几何综合题．菁优网版权所有【分析】（1）根据“半角三角形”的定义即可解决问题；（2）只要证明∠DEF=∠D，即可解决问题；21（3）①只要证明△CMN∽△????21????1CBA，可得（）=，即=，在????4????2Rt△ACN中，sin∠CAN=????1????2=，即可推出∠CAN=30°解决问题；②根据“半角三角形”的定义即可解决问题；【解答】解：（1）∵Rt△ABC为半角三角形，∠∴其余两个角的度数为45°，45°或30°，60°，A=90°，∴∠B=∠C=45°，或∠B=60°，∠C=30°或∠B=30°，∠C=60°，故答案为45°，45°或30°，60°．（2）如图1中，∵平行四边形∴∠D=108°，ABCD中，∠C=72°，由翻折可知：∠EFB=72°，∵EF⊥AD，∴∠EFD=18°，∴∠DEF=54°，∴∠DEF=∠D，即△DEF是半角三角形．21九年级数学组编号：二轮复习专题08

（2）①如图2中，连接AN．∵AB是直径，∴∠ANB=90°，∵∠C=∠C，∠CMN=∠B，∴△CMN∽△CBA，∴（????21????1）=，即=，????4????2????1????2在Rt△ACN中，sin∠CAN=∴∠CAN=30°，∴∠C=60°．=，②∵△ABC是半角三角形，∠∴∠B=30°或40°或80°或90°．C=60°，“半角【点评】本题考查几何变换综合题、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．3．在一个三角形中，如果有一边上的中线等于这条边的一半，三角形”．（1）如图1，已知A、B是⊙O上两点，请在圆上画出满足条件的点三角形”并说明理由；那么就称这个三角形为“智慧C，使△ABC为“智慧（2）如图2，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD，试判断4△AEF是否为“智慧三角形”，并说明理由；运用：（3）如图3，在平面直角坐标系中，⊙坐标．O的半径为1，点Q是直线x=3上的一点，若在⊙OP的上存在一点P，使得△OPQ为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，求出此时点1九年级数学组编号：二轮复习专题08

【考点】MR：圆的综合题．菁优网版权所有【专题】1：常规题型．【分析】（1）连结AO并且延长交圆于（2）设正方形的边长为C1，连结BO并且延长交圆于C2，即可求解；4a，表示出DF、CF以及EC、BE的长，然后根据勾股定理列式表AEF是直角三角形，由直角三角形1，3，示出AF2、EF2、AE2，再根据勾股定理逆定理判定△的性质可得△AEF为“智慧三角形”；（3）根据“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点再根据勾股定理可求点P的纵坐标，从而求解．O于点C1、C2，【解答】解：（1）如图1所示：点C1和C2均为所求；理由：连接BO，AO并延长，分别交⊙连接AB，AC1，∵BC1是⊙O的直径，∴AO=BC1，2∴△ABC1是“智慧三角形”，同理可得：△ABC2也是“智慧三角形”，（2）△AEF是“智慧三角形”，理由如下：如图∴BE=EC=2a，∵CD：FC=4：1，∴FC=a，DF=4a﹣a=3a，在Rt△ABE中，AE2=（4a）2+（2a）2=20a2，在Rt△ECF中，EF2=（2a）2+a2=5a2，在Rt△ADF中，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2，∴AE2+EF2=AF2，∴△AEF是直角三角形，∵斜边AF上的中线等于AF的一半，∴△AEF为“智慧三角形”；（3）如图3所示：由“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边即：OQ最小，OP=1，∴PQ最小时，△POQ的面积最小，2，设正方形的边长为4a，∵E是BC的中点，1P的横坐标，九年级数学组编号：二轮复习专题08

由垂线段最短可得斜边最小为由勾股定理可得根据面积得，123，2PQ=√３-12=2√2，OQ×PM=2OP×PQ，2√231∴PM=1×2√2÷3=由勾股定理可求得13，2√221，)=332√23OM=√12-(2√2313故点P的坐标（，）或（，﹣）．【点评】本题考查了圆的综合题，用正方形的边长表示出△键正方形的性质，勾股定理的应用，勾股定理逆定理的应用，“智慧三角形”的定义是解题的关AEF的各边的平方，熟练掌握4．定义：有一个角是其邻角一半的圆内接四边形叫做圆内倍角四边形．（1）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，∠DCB﹣∠ADC=∠A，求证：四边形内接倍角四边形；（2）在（1）的条件下，⊙O半径为5．①若AD为直径，且sinA=，求BC的长；54ABCD为圆②若四边形ABCD中有一个角为（3）在（1）的条件下，记60°，且BC=CD，则四边形ABCD的面积是75√34或754；AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求证：d2﹣b2=ab+cd．九年级数学组编号：二轮复习专题08

【考点】MR：圆的综合题．菁优网版权所有【专题】15：综合题．【分析】（1）先判断出∠ADC=180°﹣2α．进而判断出∠ABC=2∠A，即可得出结论；（2）①先用锐角三角函数求出结论；②分两种情况：利用面积和差即可得出结论；（3）先得出BE=BC=b，DE=DA=b，进而得出CE=d﹣c，再判断出△EBC∽△EDA，即可得出结论．【解答】解：（1）设∠A=α，则∠DCB=180°﹣α，∵∠DCB﹣∠ADC=∠A，∴∠ADC=∠DCB﹣∠A=180°﹣α﹣α=180°﹣2α，∴∠ABC=180°﹣∠ADC=2α=2∠A，∴四边形ABCD是⊙O内接倍角四边形；（2）①∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°，在Rt△ABD中，AD=2×5=10，sin∠A=，54BD，进而得出AB，由（1）得出∠ADB=∠BDC，即可得出∴BD=8，根据勾股定理得，设∠A=α，∴∠ADB=90°﹣α．AB=6，由（1）知，∠ADC=180°﹣2α，∴∠BDC=90°﹣α，∴∠ADB=∠BDC，∴BC=AB=6；②若∠ADC=60°时，∵四边形∴∠BCD=120°或∠BAD=30°，Ⅰ、当∠BCD=120时，°如图3，连接OA，OB，OC，OD，∵BC=CD，∴∠BOC=∠COD，∴∠OCD=∠OCB=∠BCD=60°，21ABCD是圆内接倍角四边形，∴∠CDO=60°，∴AD是⊙O的直径，（为了说明AD是直径，点O没有画在AD上）∴∠ADC+∠BCD=180°，九年级数学组编号：二轮复习专题08

∴BC∥AD，∴AB=CD，∵BC=CD，∴AB=BC=CD，∴△OAB，△BOC，△COD是全等的等边三角形，∴S四边形ABCD=3S△AOB=3×√34×52=75√34，当∠BAD=30°时，如图4，连接OA，OB，OC，OD，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCD=180°﹣∠BAD=150°，∵BC=CD，∴∠BOC=∠COD，∴∠BCO=∠DCO=∠BCD=75°，21∴∠BOC=∠DOC=30°，∴∠OBA=45°，∴∠AOB=90°连接AC，∴∠DAC=∠BAD=15°，21∵∠AOD=∠OAB﹣∠BAD=15°，∴∠DAC=∠AOD，∴OD∥AC，∴S△OAD=S△OCD，过点C作CH⊥OB于H，在Rt△OCH中，CH=OC=，22∴S四边形△COD+S△BOC+S△AOB﹣S△AOD=S△BOC+S△AOB=ABCD=S1512××5+×5×5=，2245175故答案为75√34或754；（3）延长DC，AB交于点E，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BCE=∠A=∠ABC，21∵∠ABC=∠BCE+∠A，∴∠E=∠BCE=∠A，∴BE=BC=b，DE=DA=b，∴CE=d﹣c，∵∠BCE=∠A，∠E=∠E，∴△EBC∽△EDA，∴????????=????????，∴??-????+??=????，九年级数学组编号：二轮复习专题08

∴d2﹣b2=ab+cd．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的内接四边形的性质，定和性质，等边三角形的判定和性质，作出辅助线是解本题的关键．新定义，相似三角形的判