直线方程-菁优网

2023年12月16日发(作者：数学试卷鹤巢问题的题目)

直线方程测试题

一．选择题（共17小题）

1．（2014•四川）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的取值范围是（ ）

A． B．[

2，4] [，2] ，2]

C．

[，4]

D．[

2．（2014•青浦区一模）直线（a2+1）x﹣2ay+1=0的倾斜角的取值范围是 （ ）

A． B． C． D．

[0，] [，] [，] [0，]∪[，π）

3．（2014•南平模拟）设直线l与曲线y=x3+2有三个不同的交点A，B，C，且|AB|=|BC|= A． 1 B．

C． 2 D．3

，则直线l的斜率为（ ）

4．（2014•东昌区二模）已知b＞0，直线（b2+1）x+ay+2=O与直线x﹣b2y﹣1=O互相垂直，则ab的最小值等于（ ）

A． 1 B．2 C． D．

5．（2014•福建模拟）若直线ax+by=ab（a＞0，b＞0）过点（1，1），则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为（ ）

A． 1 B．2 C． 4 D．8

6．（2014•甘肃二模）已知点P在直线x+2y﹣1=0上，点Q在直线x+2y+3=0上，PQ的中点为M（x0，y0），且y0＞x0+2，则 A．

的取值范围是（ ）

B．

C．

D．

7．（2014•河南一模）已知P（x0，y0）是直线L：Ax+By+C=0外一点，则方程Ax+By+C+（Ax0+By0+C）=0（ ）

A． 过点P且与L垂B．过 点P且与L平直的直线 行的直线

C． 不过点P且与LD．不 过点P且与L垂直的直线 平行的直线

8．（2014•汕头二模）规定函数y=f（x）图象上的点到坐标原点距离的最小值叫做函数y=f（x）的“中心距离”，给出以下四个命题：

①函数y=的“中心距离”大于1；

②函数y=的“中心距离”大于1；

③若函数y=f（x）（x∈R）与y=g（x）（x∈R）的“中心距离”相等，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）至少有一个零点．

以上命题是真命题的是（ ）

①② ①③

A． B．②

③

C． D．①

9．（2014•德阳模拟）若实数a，b，c，d满足（b﹣a3+2lna）2+（c﹣d﹣2）2=0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（ ）

A．

B．2 C． D．8

2

10．（2014•湖北模拟）设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（ ）

A． B． C． D．

11．（2013•安徽）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…xn，使得==…=，则n的取值范围为（ ）

A． {2，3} C． {3，4} D．{ 3，4，5}

12．（2013•顺义区二模）设m，n∈R，若直线l：mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且坐标原点O到直线l的距离为，则△AOB的面积S的最小值为（ ）

A． B．2 C． 3 D．4

13．（2012•河西区一模）已知直线l：2x+a2y﹣2a=0（a＜0），则直线l在x，y轴上的截距之和（ ）

A． 有最大值﹣B．有

最小值2

C． 最小值﹣有最大值2

D．有2 2

14．过点A（x1，y1）和B（x2，y2）两点的直线方程是（ ）

A． B．

B．{ 2，3，4}

C．

x2﹣x1）（y2﹣y1）（x﹣D．（（x﹣x1）﹣（x2﹣x1）x1）﹣（y2﹣y1）（y﹣y1）=0 （y﹣y1）=0

15．（2010•广东模拟）已知点P（x，y）到A（0，4）和B（﹣2，0）的距离相等，则2x+4y的最小值为（ ）

A． 2 B．4 C． D．

16．（2011•湖北模拟）已知两直线l1：，l2：和l2的距离分别是d1、d2，则d1+d2的最小值为（ ）

A． 2 B．4 C．

17．（2009•中山模拟）若直线 A．

a2+b2≤1

B．a

2+b2≥1

，P（x，y）是坐标平面上动点，若P到l1D．

通过点M（cosα，sinα），则（ ）

C．

D．

2014年09月12日nxyxy的高中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共17小题）

1．（2014•四川）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的取值范围是（ ）

A． B．[

2，4] [，2] ，2]

C．

[，4]

D．[

考点： 两条直线的交点坐标；函数最值的应用．

专题： 直线与圆．

分析： 可得直线分别过定点（0，0）和（1，3）且垂直，可得解答：

|PA|2+|PB|2=10．由基本不等式可得．

解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），

动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），

∵动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，

∴PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．

由基本不等式可得|PA|2+|PB|2≤2（|PA|+|PB|）≤2（|PA|2+|PB|2），

即10≤（|PA|+|PB|）2≤20，可得≤|PA|+|PB|≤点评：

2，

故选：B

本题考查直线过定点问题，涉及直线的垂直关系和基本不等式的应用，属中档题．

2．（2014•青浦区一模）直线（a2+1）x﹣2ay+1=0的倾斜角的取值范围是 （ ）

A． B． C． D．

[0，] [，] [，] [0，]∪[，π）

考点： 直线的倾斜角．

专题： 直线与圆．

分析： 根据直线斜率和倾斜角之间的关系，即可得到结论．

解答： 解：①当a=0时，斜率不存在，即倾斜角为；

②当a＞0时，直线的斜率k=，

∴k≥1，

即直线的倾斜角的取值范围为[）．

③当a＜0时，直线的斜率，

∴k≤﹣1，

即直线的倾斜角的取值范围为（]． 综上，直线的倾斜角的取值范围为，

故选：C

点评： 本题主要考查直线斜率和倾斜角之间的关系，利用基本不等式求出斜率的取值服务是解决本题的关键．

3．（2014•南平模拟）设直线l与曲线y=x3+2有三个不同的交点A，B，C，且|AB|=|BC|=，则直线l的斜率为（ A． 1 B．

C． 2 D．3

考点： 直线的斜率．

专题： 直线与圆．

分析： 如图所示，由于曲线y=x3+2关于点（0，2）中心对称．又直线l与曲线y=x3+2有三个不同的交点A，B，C，

且|AB|=|BC|=，可知B（0，2）．直线l的斜率为k，由图可知：k＞0．与曲线y=x3+2联立再利用两点间的距离即可得出．

解答： 解：如图所示，

∵曲线y=x3+2关于点（0，2）中心对称．

又直线l与曲线y=x3+2有三个不同的交点A，B，C，且|AB|=|BC|=，

∴B（0，2）．

设直线l的斜率为k，由图可知：k＞0．

） 则y=kx+2，

联立，解得x=0，．

取A（﹣，+2），则，

化为k+k3=2，

化为（k﹣1）（k2+k+2）=0．

解得k=1．

解得k=1．

故选：A．

点评： 本题考查了三次函数的中心对称性、曲线的交点、两点间的距离公式，属于难题．

4．（2014•东昌区二模）已知b＞0，直线（b2+1）x+ay+2=O与直线x﹣b2y﹣1=O互相垂直，则ab的最小值等于（ A． 1 B．2 C．

D．

考点： 两条直线垂直的判定．

专题： 计算题．

分析： 由题意可知直线的斜率存在，利用直线的垂直关系，求出a，b关系，然后求出ab的最小值．

解答： 解：b＞0，两条直线的斜率存在，因为直线 ） （b2+1）x+ay+2=O与直线x一b2y一1=O互相垂直，

所以（b2+1）﹣ab2=0，ab=b+≥2

故选B

本题考查两条直线垂直的判定，考查计算推理能力，是基础题．

点评：

5．（2014•福建模拟）若直线ax+by=ab（a＞0，b＞0）过点（1，1），则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为（ ）

A． 1 B．2 C． 4 D．8

考点： 直线的截距式方程．

专题： 直线与圆．

分析： 把点（1，1）代入直线ax+by=ab，得到，然后利用a+b=（a+b）（），展开解答：

后利用基本不等式求最值．

解：∵直线ax+by=ab（a＞0，b＞0）过点（1，1），

∴a+b=ab，即，

∴a+b=（a+b）（=2+），当且仅当a=b=2时上式等号成立．

∴直线在x轴，点评：

y轴上的截距之和的最小值为4．

故选：C．

本题考查了直线的截距式方程，考查利用基本不等式求最值，是基础题．

6．（2014•甘肃二模）已知点P在直线x+2y﹣1=0上，点Q在直线x+2y+3=0上，PQ的中点为M（x0，y0），且y0＞x0+2，则 A．

考点：

专题：

分析：

的取值范围是（ ）

B．

C．

D．

两条直线的交点坐标．

压轴题；转化思想．

设出P点坐标及=k，由M为PQ中点根据中点坐标公式表示出Q的坐标，然后把P和Q分别代入到相应的直线方程中联立可得M的横坐标，因为y0＞x0+2，把解出的M横坐标代入即可得到关于k的不等式，求出解集即可．

解：设P（x1，y1），=k，则解答：

y0=kx0，∵PQ中点为M（x0，y0），∴Q（2x0﹣x1，2y0﹣y1）

∵P，Q分别在直线x+2y﹣1=0和x+2y+3=0上，

∴x1+2y1﹣1=0，2x0﹣x1+2（2y0﹣y1）+3=0，

∴2x0+4y0+2=0即x0+2y0+1=0，

∵y0=kx0，

∴x0+2kx0+1=0即x0=﹣，

又∵y0＞x0+2，代入得kx0＞x0+2即（k﹣1）x0＞2即（k﹣1）（﹣）＞2即＜0

∴﹣＜k＜﹣

故选A

点评： 此题为一道中档题，要求学生会利用解析法求出中点坐标，会根据条件列出不等式求解集．学生做题时注意灵活变换不等式y0＞x0+2．

7．（2014•河南一模）已知P（x0，y0）是直线L：Ax+By+C=0外一点，则方程Ax+By+C+（Ax0+By0+C）=0（ A． 过点P且与L垂B．过 点P且与L平直的直线 行的直线

C． 不过点P且与LD．不 过点P且与L垂直的直线 平行的直线

考点： 恒过定点的直线．

专题： 直线与圆．

分析： 由条件可得直线Ax+By+C+k=0和直线L斜率相等，但在y轴 ） 上的截距不相等，故直线Ax+By+C+k=0和直线L平行．再由Ax0+By0+C+k≠0，可得直线Ax+By+C+k=0不过点P，从而得出结论．

解：∵P（x0，y0）是直线L：Ax+By+C=0外一点，∴Ax0+By0+C=k，k≠0．

∴方程Ax+By+C+（Ax0+By0+C）=0 即Ax+By+C+k=0．

∵直线Ax+By+C+k=0和直线L斜率相等，但在y轴上的截距不相等，

故直线Ax+By+C+k=0和直线L平行．

由Ax0+By0+C=0，而k≠0，∴Ax0+By0+C+k≠0，∴直线Ax+By+C+k=0不过点P，

故选：D．

本题主要考查点与直线的位置关系，两条直线平行的条件，属于中档题．

解答：

点评：

8．（2014•汕头二模）规定函数y=f（x）图象上的点到坐标原点距离的最小值叫做函数y=f（x）的“中心距离”，给出以下四个命题：

①函数y=的“中心距离”大于1； ②函数y=的“中心距离”大于1；

③若函数y=f（x）（x∈R）与y=g（x）（x∈R）的“中心距离”相等，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）至少有一个零点．

以上命题是真命题的是（ ）

①② ①③

A． B．②

③

C． D．①

考点：

专题：

分析：

两点间距离公式的应用．

新定义；函数的性质及应用．

①②利用新定义，计算函数y=f（x）图象上的点到坐标原点距离的最小值，即可判定，③取特例．

解答：

解：①函数y=图象上的点到原点距离d=≥＞1，即函数y=的“中心距离”大于1，正确；

②函数y=图象上的点到原点距离d==≥1，错误；

③取函数y=f（x）=x2+1，y=g（x）=﹣x2﹣1，函数h（x）=f（x）﹣g（x）=2x2+2，没有零点，错误．

故选：D． 点评： 本题考查新定义，考查距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

9．（2014•德阳模拟）若实数a，b，c，d满足（b﹣a3+2lna）2+（c﹣d﹣2）2=0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（ ）

A．

B．2 C．2 D．8

考点： 两点间距离公式的应用．

专题： 转化思想；导数的概念及应用．

分析： 由题意b﹣a3+2lna=0，设b=y，a=x，得y=x3﹣2lnx；c﹣d﹣2=0，设c=x，d=y，得y=x+2；（a﹣c）2+（b﹣d）2应是曲线y=x3﹣2lnx与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，由此求出（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值．

解答： 解：根据题意，得，

①中，设b=y，a=x，则y=x3﹣2lnx，（x＞0）；

②中，设c=x，d=y，则y=x+2；

∴（a﹣c）2+（b﹣d）2是曲线y=x3﹣2lnx与直线y=x+2之间的最小距离的平方值；

对曲线y=x3﹣2lnx求导，得y\'（x）=3x2﹣，

与y=x+2平行的切线斜率k=1=3x2﹣，即3x3﹣x﹣2=0；

解得x=1，此时y=1；

∴切点（1，1）到直线y=x+2的距离为

d==点评：

，

∴（a﹣c）2+（b2﹣d）的最小值是d2=2．

故选：B．

本题考查了利用导数的性质求最小值的问题，解题的关键是把所求的结论转化为可解答的曲线上的点到直线的最小距离问题，是难题．

10．（2014•湖北模拟）设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（ ）

A． B． C． D．

考点：

专题：

分析：

解答：

两条平行直线间的距离．

计算题．

利用方程的根，求出a，b，c的关系，求出平行线之间的距离表达式，然后求解距离的最值．

解：因为a，b是方程x2+x+c=0的两个实根， 所以a+b=﹣1，ab=c，两条直线之间的距离d=∴d2=，

=，因为0≤c≤，

所以≤1﹣4c≤1，

即d2所以两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是．

故选C．

本题考查平行线之间的距离的求法，函数的最值的求法，考查计算能力．

，点评：

11．（2013•安徽）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…xn，使得==…=，则n的取值范围为（ ）

A． {2，3}

考点： 直线的斜率．

专题： 直线与圆．

分析： 由图形可知：函

B．{ 2，3，4} C． {3，4} D．{ 3，4，5} 解答：

数y=f（x）与y=kx（k＞0）可有2，3，4个交点，即可得出答案．

解：令y=f（x），y=kx，

作直线y=kx，可以得出2，3，4个交点，

故k=（x＞0）可分别有2，3，4个解．

故n的取值范围为2，3，4．

故选B．

点评： 正确理解斜率的意义、函数交点的意义及数形结合的思想方法是解题的关键．

12．（2013•顺义区二模）设m，n∈R，若直线l：mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且坐标原点O到直线l的距离为，则△AOB的面积S的最小值为（ ）

A． B．2 C． 3 D．4

考点：

专题：

分析：

点到直线的距离公式；三角形的面积公式．

计算题．

由距离公式可得面积为S=•，=，由基本不等式可得答案．

解答： 解：由坐标原点O到直线l的距离为，可得=，

化简可得，

令x=0，可得y=，令y=0，可得x=，

故△AOB的面积S=•=≥=3，

当且仅当|m|=|n|=时，取等号，

故选C

点评： 本题考查点到直线的距离公式，涉及基本不等式的应用和三角形的面积，属基础题．

13．（2012•河西区一模）已知直线l：2x+a2y﹣2a=0（a＜0），则直线l在x，y轴上的截距之和（ A． 有最大值﹣B．有

最小值2

C．

有最大值2

D． 有最小值﹣2 2

考点： 直线的截距式方程．

专题： 直线与圆．

分析： 先分别求得直线l在x，y轴上的截距，可得截距之和，在李永 ） 宁基本不等式求得 a+≤﹣2，从而得出结论．

解答： 解：令y=0可得直线l：2x+a2y﹣2a=0（a＜0），则直线l在x上的截距为a，再令x=0可得直线在y轴上的截距为，

故直线l：2x+a2y﹣2a=0（a＜0），则直线l在x，y轴上的截距之和为a+．

由于﹣a﹣≥2，∴a+≤﹣2，当且仅当a=﹣时，取等号，

故选A．

点评： 本题主要考查求直线在坐标轴上的截距大方法，基本不等式的应用，属于基础题．

14．过点A（x1，y1）和B（x2，y2）两点的直线方程是（ A． B．

C．

（y2﹣y1）（x﹣D．

（x2﹣x1）（x﹣x1）﹣（x2﹣x1）x1）﹣（y2﹣y1）（y﹣y1）=0 （y﹣y1）=0

考点： 直线的两点式方程．

专题： 直线与圆．

分析：

讨论x1≠x2时，过点A、B的直线方程以及 ） x1=x2时，过点A、B的直线方程，从而得出答案．

解答：

解：当x1≠x2时，过点A、B的直线斜率为k=，方程为y﹣y1=（x﹣x1），

整理，得（y2﹣y1）（x﹣x1）﹣（x2﹣x1）（y﹣y1）=0；

当x1=x2时，过点A、B的直线方程是x=x1，或x=x2，即x﹣x1=0，或x﹣x2=0，

满足（y2﹣y1）（x﹣x1）﹣（x2﹣x1）（y﹣y1）=0；

∴过A、B两点的直线方程为（y2﹣y1）（x﹣x1）﹣（x2﹣x1）（y﹣y1）=0；

故选：C．

点评： 本题考查了过两点的直线方程的问题，是基础题．

15．（2010•广东模拟）已知点P（x，y）到A（0，4）和B（﹣2，0）的距离相等，则2x+4y的最小值为（ A． 2 B．4 C．

D．

考点： 两点间的距离公式；基本不等式．

专题： 计算题．

分析： 首先根据因为点P（x，y）到 ） 解答：

A（0，4）和B（﹣2，0）的距离相等得到P在AB的垂直平分线上，然后求出垂线的方程，最后根据基本不等式求解．

解：因为点P（x，y）到A（0，4）和B（﹣2，0）的距离相等

所以点P（x，y）在A，B的垂直平分线上，且过A B的中点（﹣1，2）

所以垂线方程为：X+2Y﹣3=0

即X+2Y=3

因为2X+4Y=2X+22Y，且2x＞0，22y＞0，

所以2x+4y=2x+22y≥==

点评：

所以最小值为，

故选D．

本题考查两点间的距离公式，以及基本不等式的应用，通过对题目的分析抽象出数学模型，属于基础题．

，P（x，y）是坐标平面上动点，若P到l1D．

16．（2011•湖北模拟）已知两直线l1：，l2：和l2的距离分别是d1、d2，则d1+d2的最小值为（ ）

A． 2 B．4 C．

考点： 点到直线的距离公式．

专题： 计算题． 分析： 两直线平行时，P到l1和l2的距离之和d1

+d2的

最小值就是这两平行线之间的距离．

解：由于两直线l1：x+y+1=0

和 l2：x+y﹣3=0 是两条平行直线，

P到l1和l2的距离分别是d1、d2，则d1

+d2的最小时，点P应在这两条平行直线之间，

故d1

+d2的最小值就是这两平行线之间的距离 =2，

解答：

点评：

故选 A．

本题考查两直线平行的条件，两平行线间的距离公式的应用，考查计算能力．

17．（2009•中山模拟）若直线 A．

a2+b2≤1

考点：

专题：

分析：

B．a

2+b2≥1

通过点M（cosα，sinα），则（ ）

C．

D．

恒过定点的直线．

计算题．

由题意可得（bcosα+asinα）2=a2b2，再利用

（bcosα+asinα）2≤（a2+b2）•（cos2α+sin2α），化简可得．

解答： 解：若直线通过点M（cosα，sinα），则

，

∴bcosα+asinα=ab，∴（bcosα+asinα）222=ab．

∵（bcosα+asinα）2≤（a2+b2）•（cos2α+sin2α）=（a2+b2），

∴a2b2≤（a2+b2），∴，

点评：

故选D．

本题考查恒过定点的直线，不等式性质的应用，利用

（bcosα+asinα）2≤（a2+b2）•（cos2α+sin2α），是解题的难点．