国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第31届)

2023年12月10日发(作者：昆明西山区数学试卷2023)

国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第31届）

1. 弦AB，CD相交于圆内一点E，M是线段EB上的一点，过E点与△DEM外接圆的切线分别交BC，AC于F，G．

设t=AM/AB，试用t表示EF/EG．

2. 设n≥3，考虑一个圆上由2n-1个不同点构成的集合E．现给E中恰好k个点染上黑色，如果至少有一对黑点使得这两个黑点之间的弧上（两段弧中的某一个）包含恰好E中的n个点，就成这样的染色方法是“好的”．

试找出对于集合E能保证任意一种染色方法都是“好的”的最小的k值．

3. 试找出所有大于1的正整数n满足(2n+1)/n2也是整数．

4. 试构造一个从正有理数集到正有理数集的函数f使

f(xf(y))=f(x)/y 对任何x，y都成立．

5. 给定一个初始整数n0>1，两个玩家A，B根据下述规则交替的选择整数n1，n2，n3，...：

a. 设B已选择n2k，则A选择n2k+1满足

n2k≤n2k+1 ≤n2k2；

b. 设A已选择n2k+1，则B选择n2k+2满足

n2k+1/n2k+2=pr

对某个p及r≥1成立．

若A选到了数1990就获胜；若B选到了1就获胜．分别求除满足下述条件之一的n0：

(1) A有必胜策略；

(2) B有必胜策略；

(3) A，B都没有必胜策略．

6. 求证存在一个凸1990边形使得所有角都相等并且边长是12，22，...，19902（顺序不定）．