中考数学-阅读材料题综合专题(重庆育才试题集)-含答案

2024年4月4日发(作者：成都七中数学试卷二诊)

2021年重庆年中考24题阅读材料题综合专题（重庆育才试题集）

1（育才2021级初三上定时训练二）中国古贤常说万物皆自然．而古希腊学者说万物皆数．小学我们就接触了自然

数，在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的自然数进行研究，比如奇数、偶数、质数、合数等，

今天我们来研究另一种特殊的自然数﹣﹣“欢喜数”．

定义：对于一个各数位不为零的自然数，如果它正好等于各数位数字的和的整数倍，我们就说这个自然数是一个

“欢喜数”．

例如：24是一个“欢喜数”，因为24＝4×（2+4），125就不是一个“欢喜数”因为1+2+5＝8，125不是8的

整数倍．

（1）判断28和135是否是“欢喜数”？请说明理由；

（2）有一类“欢喜数”，它等于各数位数字之和的4倍，求所有这种“欢喜数”．

2（育才2020级初三下中考模拟5月份）

我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，

q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×

q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6

﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．

（1）若F（a）=且a为100以内的正整数，则a=

（2）如果m是一个两位数，那么试问F（m）是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大（或最小）

值以及此时m的取值并简要说明理由．

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3（育才2020级初三下中考模拟二）先阅读，再解答问题．

恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次

数较高的代数式转化为次数较低的代数式．如

当

x

＝时，求﹣

x

﹣

x

+2的值，为解答这题，若直接把

x

＝

2

代入所求的式中，进行计算，显然很

麻烦．我们可以通过恒等变形，对本题进行解答．

方法一

原式＝

将条件变形．因

x

＝

（

x

﹣2

x

﹣2

x

）+2

32

，得

x

﹣1＝．再把所求的代数式变形为关于（

x

﹣1）的表达式．

＝[

x

（

x

﹣1）﹣

x

（

x

﹣1）﹣3

x

]+2

2

＝[

x

（

x

﹣1）﹣3

x

]+2

2

＝（3

x

﹣3

x

）+2

＝2

方法二先将条件化成整式，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算．由

x

﹣1＝

22

，可得

x

2

﹣2

x

﹣2＝0，即，

x

﹣2

x

＝2，

x

＝2

x

+2．

原式＝

x

（2

x

+2）﹣

x

﹣

x

+2

2

2

＝

x

+

x

﹣

x

﹣

x

+2

＝2

请参以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：

2

（1）若

a

﹣3

a

+1＝0，求2

a

﹣5

a

﹣3+

232

的值；

（2）已知

x

＝2+，求的值．

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4（育才2020级初三下中考模拟三））阅读理解：

添项法是代数变形中非常重要的一种方法，在整式运算和因式分解中使用添项法往往会起到意想不到的作用，例

如：例1：计算（3+1）（3+1）（3+1）（3+1）（3+1）（3+1）

2481632

2481632

解：原式＝（3﹣1）（3+1）（3+1）（3+1）（3+1）（3+1）（3+1）

＝（3﹣1）（3+1）（3+1）（3+1）（3+1）（3+1）

22481632

＝（3﹣1）（3+1）（3+1）（3+1）（3+1）

4481632

……＝

例2：因式分解：

x

+

x

+1

解：原式＝

x

+

x

+1＝

x

+2

x

+1﹣

x

＝（

x

+1）﹣

x

2

222

42422

42

＝（

x

+1+

x

）（

x

+1﹣

x

）

根据材料解决下列问题：

2

（1）计算：；

（2）小明在作业中遇到了这样一个问题，计算

44

，通过思考，他发现

计算式中的式子可以用代数式之

x

+4来表示，所以他决定先对

x

+4先进行因式分解，最后果然发现了规律；轻

松解决了这个计算问题．请你根据小明的思路解答下列问题：

①分解因式：

x

+4；

4

②计算：．

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5（育才2019级初三下中考模拟一）阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌．这是武侠小说中的常

见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如

，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，

，其中一个是另一个的有理数因式，于是，二次根式除法可以这样解：如

．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的

分母化去，叫分母有理化．

解决间题：

（1）比较大小：（用“＞”“＜”或“＝”填空）；

（2）计算：+；

（3）设实数

x

，

y

满足，求

x

+

y

+2019的值

6（育才2020级初三下中考模拟二练习）我们已经知道一些特殊的勾股数，如三个连续正整数中的勾股数：3、4、

5；三个连续的偶数中的勾股数6、8、10；事实上，勾股数的正整数倍仍然是勾股数．

（1）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派提出的公式：

a

＝2

n

+1，

b

＝2

n

+2

n

，

2

c

＝2

n

2

+2

n

+1（

n

为正整数）是一组勾股数，请证明满足以上公式的

a

、

b

、

c

的数是一组勾股数．

（2）然而，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国古代的著名数学著作《九章算术》中，书中提到：当

a

＝（

m

2

﹣

n

2

），

b

＝

mn

，

c

＝（

m

2

+

n

2

）（

m

、

n

为正整数，

m

＞

n

时，

a

、

b

、

c

构成一组勾股数；利用上述结论，

解决如下问题：已知某直角三角形的边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且

n

＝5，求该直角三角形另两边

的长．

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7（双福育才2020级初三下中考模拟一）阅读材料:若

m

2

2mn2n

2

8n160

，求

m

、

n

的值.

解:

m

2

2mn2n

2

8n160

，

(m

2

2mnn

2

)(n

2

8n16)0

(mn)

2

(n4)

2

0

，

mn0,n40

，

n4,m4

.

根据你的观察，探究下面的问题:

（1）己知

x2xy2y2y10

，求

xy

的值.

（2）已知△ABC的三边长

a、b、c

都是正整数，且满足

a

2

b

2

6a8b250

，求边c的最大值.

（3）若己知

ab4,abc

2

6c130

，求

abc

的值.

22

8（育才2020级初三下入学测试）阅读材料：

材料1：数学世界里有一些整数你无论从左往右看，还是从右往左看，数字都是完全一样的，例如：11、171、1661、

134431、…，像这样的数我们叫它“完美数”．

材料2：如果一个三位数

abc

，满足

abc9

，我们就称这个三位数为“长久数”．

（1）请直接写出既是“完美数”又是“长久数”的所有三位数；

（2）若三位数是大于500的“完美数”，它的各位数字之和等于

k

，

k

是一个完全平方数且

k

为奇数，求这个三位

数（请写出必要的推理过程）．

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9（育才2020级初三上第二次月考）阅读下列材料，并解决问题：任意一个大于1的正整数

m

都可以表示为：

mp

2

q

（

p

、

q

是正整数），在

m

的所有这种表示中，如果

pq

最小时，规定：

F



m





q

．例如：

21

可

p

5

．

4

以表示为：

211

2

202

2

173

2

124

2

5

，因为

12021731245

，所以

F



21





（1）求

F



33



的值；

（2）如果一个正整数

n

可以表示为

t

2

t

（其中

t2

，且是正整数），那么称

n

是次完全平方数，证明：任何一

个次完全平方数

n

，都有

F



n



1

；

（3）一个三位自然数

k

，

k100a10bc

（其中

1a9,0b9,0c9

，且

ac

，

a,b,c

为整数，）

满足十位上的数字恰好等于百位上的数字与个位上的数字之和，且

k

与其十位上数字的2倍之和能被9整除，求所

有满足条件的

k

中

F



k



的最小值．

10（双福育才2020级初三下第二次诊断性测试）一个形如

abcde

的五位自然数（其中

a

表示该数的万位上的数字，

b

表示该数的千位上的数字，

c

表示该数的百位上的数字，

d

表示该数的十位上的数字，

e

表示该数的个位上的数字，

且

a0,b0

），若有

ae,bd

且

cab

，则把该自然数叫做“对称数”，例如在自然数12321中，3=2+1，则12321

是一个“对称数”.同时规定：若该“对称数”的前两位数与后两位数的平方差被693的奇数倍，则称该“对称数”

为“智慧对称数”.如在“对称数”43734中，

43

2

34

2

693

，则43734是一个“智慧对称数”．

（1）将一个“对称数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将千位上与万位上的数字交换位置，称交换前

后的这两个“对称数”为一组“相关对称数”。例如：12321与21312为一组“相关对称数”，求证：任意的一组“相

关对称数”之和是最小“对称数”的倍数；

（2）求出所有的“智慧对称数”中的最大“智慧对称数”．

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11（育才2020级初三下开学试卷）请阅读下列材料：

问题：已知方程

x

+

x

﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．

2

解：设所求方程的根为

y

，则

y

＝2

x

所以

x

＝．

把

x

＝代入已知方程，得（

2

）+

2

﹣1＝0

化简，得

y

+2

y

﹣4＝0

故所求方程为

y

+2

y

﹣4＝0．

这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．

请用阅读村料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：

（1）已知方程

x

+

x

﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数，则所求方程为：

2

2

2

；

（2）已知关于

x

的一元二次方程

ax

+

bx

+

c

＝0有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是

已知方程根的倒数．

12（育才2020级初三上期末试卷）如果一个正整数的奇数数位上的数字之和与偶数数位上的数字之和的差（通常

用大减小）是11的倍数，则这个正整数一定能被11整除．比如整数90827，奇数数位上数字之和为9+8+7＝24，

偶数数位上数字之和0+2＝2，24﹣2＝22，因为22为11的倍数，所以整数90827能被11整除；又比如143，奇

数数位上数字之和为1+3＝4，偶数数位上数字之和4，4﹣4＝0，因为0为11的倍数，所以143能被11整除；

（1）直接写出能被11整除的最小的三位正整数为，能被11整除的最大的四位正整数为

（2）若四位正整数

abcd

能被

ll

整除．求证：正整数

bcd

﹣

a

也一定能被11整除；

（3）若一个三位正整数

abc

能被11整除（其中0＜

a

≤5，0＜

c

≤5），在这个三位数的首位数字前添上1后，

得到的新的四位数

labc

还能被7整除，求原来这个三位正整数．

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13（育才2020级初三上开学测试）定义：如果一个三位数，它的各个数位上的数字都不为零，且满足百位上的数

字与个位上的数字的平均数等于十位上的数字，则称这个三位数为开合数．设

A

为一个开合数，将

A

的百位数字

与个位数字交换位置后得到的新数再与

A

相加的和记为Φ（

A

）．例如：852是“开合数”，则Φ（852）＝852+258

＝1110．

（1）已知开合数

m

＝103+10

x

（0＜

x

≤9，且为

x

整数），求Φ（

m

）的值；

（2）三位数

A

是一个开合数，若百位数字小于个位数字，

位数字的差整除，请求满足条件的所有

A

值．

是一个整数，且Φ（

A

）能被个位数字与百

14（育才2020级初三上期中试卷）对于任意一个自然数

N

，将其各个数位上的数字相加得到一个数，我们把这一过

程称为一次操作，把这个得到的数进行同样的操作，不断进行下去，最终会得到一个一位数

K

，我们把

K

称为

N

的“终极数”，并记

f

（

N

）＝

K

．例如，456→4+5+6＝15→1+5＝6，∴

f

（456）＝6．

（1）计算：

f

（2019）＝3．

f

（20192020）＝7．

（2）有一个三位自然数

M

＝，已知

f

（

M

）＝4，且

x

＜

y

＜

z

，请求出所有满足条件的自然数

M

．

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15（育才2020级初三下入学测试）一个三位自然数m，将它任意两个数位上的数字对调后得一个首位不为0的新三

位自然数m\'（m\'可与m相同），设m\'的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，在m\'的所有的可能情况中，

当a+b+2c最大时，称此时的m\'是m的“友好数”，记作：K(m)=m\'.

例如：815按上述方法可得新数：851，518，185；因为8+5+2×1=15，5+1+2×8=22，1+8+2×5=19，15<19<22，所

以518是815的“友好数”，即K(815)=518.

(1)求值：K(426)=，K(531)=；

(2)设三位自然数n=200+10

x

+

y

（1≤

x

≤9，1≤y＜9，

x

，

y

为自然数），且

x

<

y

，交换其个位与十位上的数字得到新

数n\'，若13n+2n\'=3429，那么我们称n为“长久数”，求所有“长久数”中K(n)的最小值.

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16（育才2019级初三是哪个期末测试）平面直角坐标系中有两点

A



x

1

,y

1



、

B



x

2

,y

2



，我们定义

A

、

B

两点间的

“

k

值”直角距离为

d

k



A

,

B



，且满足

d

k



A,B





kx

1



x

2



y

1



y

2

，其中

k0

。

小静和佳佳在解决问题：【求点

O



0,0



与点

M



2,5



的“1值”直角距离

d

1



O,M



】时，采用了两种不同的方法：

【方法一】：

d

1



O,M



120507

；

【方法二】：如图1，过点

M

作

MNx

轴于点

N

，过点

M

作直线

yx7

与

x

轴交于点

E

，则

d

1



O,M



ONMNOE7

请你参照以上两种方法，解决下列问题：

（1）已知点

P



2,1



，点

Q



2,3



，则

P

、

Q

两点间的“2值”直角距离

d

2



P,Q





.

（2）函数

y



4



x0



的图像如图2所示，点

C

为其图像上一动点，满足

O,C

两点间的“

k

值”直角

x

距离

d

k



O,C



5

，且符合条件的点

C

有且仅有一个，求

和点

C

坐标。

出符合条件的“

k

值”

第10页共22页

答案：

1.（（1）∵2+8＝10，28不是10的整数倍，

∴根据“欢喜数”的概念，28不是“欢喜数”；

∵

1+3+5

＝

9

，

135

＝

15

×

9

是

9

的倍数，

∴根据“欢喜数”的概念，135是“欢喜数”；

（2）①设这个数为一位数a，且a为自然数，a≠0，

根据题意可知

a

＝

4a

，

又a≠0，

∴这种情况不存在；

②

设这个数为两位数，

a

，

b

为整数，

∴10a+b＝4（a+b），即b＝2a，

∴或或或，

∴这种欢喜数为

12

，

24

，

36

，

48

；

③设这个数为三位数，a，b，c为整数，

∴100a+10b+c＝4（a+b+c），

则96a+6b＝3c，

又a，b，c为0到9的整数，且a≥1，

∴这种情况不存在；

④

设这个数为四位数，

a

，

b

，

c

，

d

为

0

到

9

的整数，且

a

≥

1

，

∴1000a+100b+10c+d＝4（a+b+c+d），

∴996a+96b+6c＝3d，

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