例谈增根的产生与作用

例谈增根的产生与作用

(山东省宁阳县第一中学　２７１４００)

摘　要:增根是中学阶段解方程时的常见问题ꎬ本文结合高考题目与个人思考ꎬ重点阐述一下二次曲线联

立为什么产生增根、两圆联立为什么不产生增根、如何对根进行取舍、增根的作用等问题.

关键词:增根ꎻ等价转换ꎻ根轴ꎻ提示性作用

中图分类号:Ｇ６３２　　　　　　文献标识码:Ａ　　　　　　文章编号:１００８－０３３３(２０２１)０４－００３５－０２

　　中学阶段ꎬ增根是学生普遍感觉比较棘手的问题.增

根是指方程求解后得到的不满足题设条件的根.了解增

根产生的原因ꎬ对根进行合理取舍ꎬ是中学生必备的数学

素养.本文以高考题目为例谈一下增根问题.

苏凡文

{

３ｘ

２

＋１６ｃｘ－１２ｃ

２

＝０

ｘ≥０

２

ｃ.　

３

ꎬ解得

{

２

ｃ或ｘ＝－６ｃ

３

ꎬ所以

ｘ≥０

ｘ＝

ｘ＝

一、增根产生的原因

增根的产生源于题目条件转化为结论的过程中ꎬ使

我们常常说ꎬ二元二次曲线方程联立在实数范围内

容易产生增根ꎬ但两圆联立不产生增根ꎬ这是为什么呢?

得条件成为结论的充分不必要条件.如果在题目的解答

过程中将条件等价转换为结论ꎬ增根自然会被舍去.

ｘ

２

ｙ

２

例１　(２０２０年全国Ⅱ卷理１９)已知椭圆Ｃ

１

:

２

＋

２

ａｂ

＝１(ａ>ｂ>０)的右焦点Ｆ与抛物线Ｃ

２

的焦点重合ꎬＣ

１

的

二、探索两圆联立不产生增根的原因

中心与Ｃ

２

的顶点重合.过Ｆ且与ｘ轴垂直的直线交Ｃ

１

于

４

ＡꎬＢ两点ꎬ交Ｃ

２

于ＣꎬＤ两点ꎬ且｜ＣＤ｜＝

｜ＡＢ｜.

３

(１)求Ｃ

１

的离心率ꎻ

Ｃ

２

的标准方程.

２２２２２

２(ｂ

２

－ｂ

１

)ｙ＋ａ

２

１

－ａ

２

＋ｂ

１

－ｂ

２

－ｒ

１

＋ｒ

２

＝０ꎬ我们称此直线

(ｘ－ａ

２

)

２

＋(ｙ－ｂ

２

)

２

＝ｒ

２

２

ꎬ两圆相减得直线２(ａ

２

－ａ

１

)ｘ＋

例２　已知:圆Ｃ

１

:(ｘ－ａ

１

)

２

＋(ｙ－ｂ

１

)

２

＝ｒ

２

１

ꎬ圆Ｃ

２

:

为根轴ꎬ试判断“两圆公共点个数”和“根轴与两圆公共点

个数”之间的关系.

分析　两圆的圆心距为ｄ＝

(ａ

１

－ａ

２

)

２

＋(ｂ

１

－ｂ

２

)

２

ꎬＣ

１

到根轴的距离为ｄ

１

＝

２(ａ

１

－ａ

２

)

２

＋(ｂ

１

－ｂ

２

)

２

(２)设Ｍ是Ｃ

１

与Ｃ

２

的公共点ꎬ若｜ＭＦ｜＝５ꎬ求Ｃ

１

与

分析　(２)由(１)知ｅ＝

２２

ｘｙ

Ｃ

１

的方程为

２

＋

２

＝１ꎬ联立

ｘ

２

ｙ

２

ꎬ消去ｙ并整理得

４ｃ３ｃ

＋＝１

４ｃ

２

３ｃ

２

２

３ｘ

２

＋１６ｃｘ－１２ｃ

２

＝０ꎬ解得ｘ＝

ｃ或ｘ＝－６ｃ(舍去).

３

为什么ｘ＝－６ｃ是增根呢?分析发现ꎬｙ

２

＝４ｃｘ中隐

ｙ

＝４ｃｘ

ì

ï

ï

ｘ

２

ｙ

２

含着ｘ≥０.可将过程完善为“

í

２

＋

２

＝１

ꎬ去ｙ整理得

ï

４ｃ３ｃ

ï

î

ｘ≥０

２

{

１

ꎬ所以ａ＝２ｃꎬｂ＝３ｃ.椭圆

２

ｙ

２

＝４ｃｘ

２

｜(ａ

１

－ａ

２

)

２

＋(ｂ

１

－ｂ

２

)

２

＋ｒ

２

１

－ｒ

２

｜

轴的距离为ｄ

２

＝

２

｜ｄ

２

－ｒ

２

１

＋ｒ

２

｜

ꎬ

２ｄ

２

｜(ａ

１

－ａ

２

)

２

＋(ｂ

１

－ｂ

２

)

２

－ｒ

２

１

＋ｒ

２

｜

２

｜ｄ

２

＋ｒ

２

１

－ｒ

２

｜

＝ꎬＣ

２

到根

２ｄ

２(ａ

１

－ａ

２

)

２

＋(ｂ

１

－ｂ

２

)

２

＝

轴与两圆的两个公共点即是两圆的两个公共点ꎻ

＝ｒ

１

＋ｒ

２

.

①当两圆相交时ꎬ显然根轴为公共弦所在的直线ꎬ根

②当两圆外切时ꎬ两圆的１个公共点在根轴上ꎬ且ｄ

下面证明根轴与两圆只有一个公共点.

收稿日期:２０２０－１１－０５

作者简介:苏凡文(１９７７.１１－)ꎬ男ꎬ山东省泰安市宁阳人ꎬ大学ꎬ中学高级教师ꎬ从事中学数学教学研究.

—３５—

２ｒ＋２ｒ

１

ｒ

２

＝ｒ

１

ꎬ同理Ｃ

２

到根轴的距离ｄ

２

＝ｒ

２

ꎬ所以根轴与

２(ｒ

１

＋ｒ

２

)

２

１

２

｜(ｒ

１

＋ｒ

２

)

２

＋ｒ

２

１

－ｒ

２

｜

Ｃ

１

到根轴的距离为ｄ

１

＝＝

２(ｒ

１

＋ｒ

２

)

综上所知ꎬ“圆与圆的公共点的个数”和“根轴与圆的

公共点个数”是相同的.

所以ꎬ两圆的位置关系本质是根轴与圆的位置关系ꎬ

因为直线与二次曲线联立不会出现增根ꎬ故两圆联立不

会出现增根.

两圆均相切ꎬ即根轴与两圆只有一个公共点.

的１个公共点ꎻ

所以ꎬ两圆外切时ꎬ两圆的１个公共点即根轴与两圆

③当两圆内切时ꎬ两圆的１个公共点在根轴上ꎬ设ｒ

２

三、增根在部分题目中存在的意义

很多人认为增根本身没有存在的必要性和价值性ꎬ

<ｒ

１

ꎬｄ＝ｒ

１

－ｒ

２

.

Ｃ

２２

１

到根轴的距离为ｄ

１

＝

｜(ｒ

１

－ｒ

２

)＋ｒ－ｒ

２

２(ｒ

１

２

２

｜２

２(

ｒ

１

－ｒ

２

)

｜

＝

１

ｒ

－

１

－

２ｒ

ｒ

１

ｒ

２

２

)

｜

＝ｒ

１

ꎬ同理Ｃ

２

到根轴的距离ｄ

２

＝ｒ

２

ꎬ所以根轴

与两圆均相切.

所以ꎬ两圆内切时ꎬ两圆的１个公共点即根轴与两圆

的１个公共点

④当两圆内含时

ꎻ

｜ｄ

２

＋ｒ

２

ꎬ

２

设ｒ

ｄ

２

２

<

＋

ｒ

ｒ

１

ꎬｄ<

２

ｒ

１

－ｒ

２

ꎬＣ

１

到根轴的

距离为ｄ

１

＝

２ｄ

１

－ｒ

２

｜

＝

２

２ｄ

１

－ｒ

２

ꎬ

ｄ

１

－ｒ

１

ｄ

２

＋ｒ

２

１

－ｒ

２

２

－２ｄｒ

１

＝

(ｄ－ｒ

１

)

２

(ｄ－ｒｒ

＝

ｒ

２ｄ２ｄ

－ｒ

２

２

＝

１

－

２

)[ｄ－(ｒ

１

－

２

)]

<(ｒ

>０ꎬ得ｄ

１

>ｒ

１

.因为ｄ

２

－ｒ

２

１

＋ｒ

２

１

－ｒ

２

)

２

２

－

ｄ

２

ｒ

２

１

＋ｒ

２

２

＝２ｒ

２

２

－２ｒ

１

ｒ

２

＝２ｒ

２

(ｒ

ｄ

２

－ｒ

２

＝

｜ｄ

２

－ｒ

２

１

＋

２

２ｄ

ｒ

２

｜－２ｄｒ

２

２

－ｒ

１

)<０ꎬ所以

２

＝

ｒ

１

－ｒ

２

２

－

２

ｒ

２

２

ｄ

ｄ

－２ｄｒ

２

＝

１

－(

２

２

ｄ

ｄ

＋ｒ

２

)

＝

(ｒ

１

＋ｒ

２

＋ｄ)(

２ｄ

ｒ

１

－ｒ

２

－ｄ)

>０ꎬ得ｄ

２

>ｒ

２

.所

以根轴与两圆均相离.

所以ꎬ两圆内含时ꎬ两圆无公共点ꎬ根轴与两圆也没

有公共点

⑤当两圆相离时

.

ꎬ设

距离为ｄ

２

ｒ

２

<ｒ

１

ꎬｄ>ｒ

１

＋ｒ

２

ꎬＣ

１

到根轴的

１

＝

ｄ

２

＋

ｄ

２

＋ｒ

２

２

ｒ

２

１

－ｒ

２

ꎬｄ

１

－ｒ

１

１

－

２

ｄ

(ｄ

＝

ｄ

２

＋

２

ｒ

２

ｄ

１

－ｒ

２

２

－ｒ

－ｒ

１

＝

１

)

２

－ｒ

２

(ｄ－ｒ

２ｄ

ｒ

２

－２ｄｒ

１

＝

２ｄ

２

＝

１

＋ｒ

２

)(

２ｄ

ｄ－ｒ

１

－ｒ

２

)

>０ꎬ得ｄ

１

>ｒ

１

.

ｄ

２

(ｄ－ｒ

－ｒ

２

＝

ｄ

２

－

２

２

ｒ

２

ｄ

１

＋ｒ

２

－ｒ

２

＝

ｄ

２

－ｒ

２

１

＋

２ｄ

ｒ

２

２

－２ｄｒ

２

＝

２

２

ｄ

)

２

－ｒ

２

１

＝

(ｄ－ｒ

２

－ｒ

１

)(

以根轴与两圆均相离.

２ｄ

ｄ－ｒ

２

＋ｒ

１

)

>０ꎬ得ｄ

２

>ｒ

２

.所

所以ꎬ两圆外切时ꎬ两圆无公共点ꎬ根轴与两圆也没

有公共点

—３６—

.

是严谨数学的一个瑕疵ꎬ这其实是不对的ꎬ细细研磨会发

现ꎬ增根在部分题目中对解题有些积极的提示性作用.

例３　(２０２０山东卷２２)已知椭圆Ｃ:

ｘ

２

ａ

２

＋

ｙ

２

ｂ

２

＝１(ａ>

ｂ>０)的离心率为

(１)

(２)

求Ｃ的方程

２

２

ꎬ且过点Ａ(２ꎬ１).

:(

ｘ

６

２

＋

ｙ

３

２

＝１)

证明:存在定点

点ＭꎬＮ

Ｑ

在

ꎬ使得

Ｃ上

｜

ꎬ

ＤＱ

且

｜

ＡＭ

为定值

⊥ＡＮ

.

ꎬＡＤ⊥ＭＮꎬＤ为垂足.

分析　本题绝大部分学生得６分或者７分ꎬ主要原因

是计算到４ｋ

２

利用变换主元法

＋８ｋｍ＋３ｍ

２

－２ｍ－１＝０

(２

分解绝大部分学生不会做

ｋ＋ｍ－１)(２ｋ

ꎬ

＋

可得

３ｍ＋

４

１)

ｋ

２

＋８ｍｋ＋(ｍ

不会因式分解

－１)(３ｍ＋１)

ꎬ若

＝

.

.

下面提供一种利用增根进行

但是这种二元二次方程因式

因式分解的方法.

→

产生增根的原因:因为ＡＭ⊥ＡＮꎬ所以ＡＭ

→

ＡＭ