两个重要极限

2024年4月14日发(作者：2020泰州高三一模数学试卷)

§1--4 两个重要极限

一、

lim

sin

x

x

0

x

观察当x0时函数的变化趋势：

x(弧度)

0.50

0.9585

0.10

0.9983

0.05

0.9996

0.04

0.9997

0.03

0.9998

0.02 ...

sinx

x

0.9999 ...

sinxsinx

1，即

lim

=1；

x

0



xx

当x取负值趋近于0时，-x0, -x>0, sin(-x)>0．于是

x

sin



(

x

)

．

lim

sin



lim

x



0





x



0



x

(



x

)

当x取正值趋近于0时，

综上所述，得

lim

lim

sin

x



1

．

x



0

x

sin

x



1

的特点：

x



0

x

00

(1)它是“”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是

；

00

(2)在分式中同时出现三角函数和x的幂．

推广 如果

lim



(x)=0,(a可以是有限数x

0

, 或)，

xa

si





n



x





=

sin







x





=1．

则

lim

lim

xa





x



0





x







x



例1 求

lim

tan

x

．

x

0

x

sin

x

tan

x

sin

x

1sin

x

1

解

lim

=

lim

cos

x



lim



lim



lim



1



1



1

．

x

0

x



0

x



0

x



0

x



0

x

xx

cos

xx

cos

x

sin3

x

例2 求

lim

．

x

0

x

解

lim

sin3

x

3sin3

x

sin

t

=

lim(

令

3

x



t

)3lim



3

．

x

0

x



0

t



0

x

3

xt

1



cos

x

．

2

x



0

x

例3 求

lim

解

lim

1



cos

x

=

lim

2

x



0

x



0

x

2sin

2

xxxx

sin

2

sinsin

2



lim

2



lim

1



2



2



1

．

x



0

x



0

2

xx

x

2

x

2

2()

2

222

例4 求

lim

arcsin

x

．

x

0

x

解 令arcsinx=t，则x=sint且x0时t0．

所以

lim

arcsin

xt

=

lim



1

．

x

0

t



0

sin

tx

例5 求

lim

tan

x



sin

x

．

3

x



0

x

sin

x

1



cos

x



sin

x

sin

x



tan

x



sin

x

cos

x

解

lim

=

lim

cos

x



lim

3

x



0

x



0

x



0

x

x

3

x

3

sin

x

11



cos

x

1

=

lim



lim



lim



．

2

x



0

x



0

x



0

x

cos

x

2

x

1

二、

lim(1



)

x



e

x



x

观察当x+时函数的变化趋势：

x

1

(1)

x

x

1

2

2

2.25

10

2.594

1000

2.717

10000

2.7181

100000

2.7182

100000

2.71828

...

...

当x取正值并无限增大时，

(1

1

x

1

)

是逐渐增大的，但是不论x如何大，

(1)

x

的值

xx

1

x

)

是趋近于一个确

x

总不会超过3．实际上如果继续增大x．即当x+时，可以验证

(1

定的无理数e＝．

1

当x-时，函数

(1)

x

有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于e．

x

综上所述，得

lim(1

x



1

x

)

=e．

x

x



lim(1

1

x

)

=e的特点：

x

无穷大案

（１）lim(1+无穷小)

；

（２）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数．

xa

推广 （１）若

lim



(x)= ,(a可以是有限数x

0

, 或)，则

li(m1



x



a

1



(x)

1



)



lim1







x







(x)



(x)





(x)

=e；

（２）若

lim



(x)=0,(a可以是有限数x

0

, 或)，则

xa

m1







x



li



x



a



1



(x)



1







x





lim





x





0



1



(

x

)

=e．

1

1

变形 令=t，则x时t0，代入后得到

lim



1



t



t



e

．

t



0

x



如果在形式上分别对底和幂求极限，得到的是不确定的结果1，因此通常称之为1不

定型．

2

例6 求

lim(1)

x

．

x



x

解 令－

2

2

=t，则x=－

．

x

t