2024年4月7日发(作者：嵊州市数学试卷高二)
内蒙古鄂尔多斯一中2024学年高三联测促改数学试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
22
xy
22
1．已知直线
l
：
kxy3k10
与椭圆
C
1
:
2
2
1(ab0)
交于
A
、
B
两点，与圆
C
2
：
x3
y1
1
ab
交于
C
、
D
两点
.
若存在
k
2,1
，使得
ACDB
，则椭圆
C
1
的离心率的取值范围为（
）
36
,
A
．
33
2．关于函数
f(x)
B
．
[
3
,1)
3
C
．
(0,
3
]
3
D
．
[
6
,1)
3
2tanx
cos2x
，下列说法正确的是（
）
2
1tanx
A
．函数
f(x)
的定义域为
R
B
．函数
f(x)
一个递增区间为
3
,
88
8
对称
C
．函数
f(x)
的图像关于直线
x
D
．将函数
y2sin2x
图像向左平移
个单位可得函数
yf(x)
的图像
8
22
3．一个正三角形的三个顶点都在双曲线
xay1
的右支上，且其中一个顶点在双曲线的右顶点，则实数
a
的取值
范围是（
）
A
．
3,
2
B
．
3,
C
．
,3
D
．
,3
4．已知抛物线
C:y4x
和点
D(2,0)
，直线
xty2
与抛物线
C
交于不同两点
A
，
B
，直线
BD
与抛物线
C
交于
另一点
E
．给出以下判断：
①以
BE
为直径的圆与抛物线准线相离；
②直线
OB
与直线
OE
的斜率乘积为
2
；
③设过点
A
，
B
，
E
的圆的圆心坐标为
(a,b)
，半径为
r
，则
a
2
r
2
4
．
其中，所有正确判断的序号是（
）
A
．①②
B
．①③
C
．②③
D
．①②③
5．函数的图象可能是下列哪一个？（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
6．已知数列
a
1
，
A
．
64
a
2
a
3
a
n
1
，，
…
，是首项为
8
，公比为得等比数列，则
a
3
等于（
）
a
n1
a
1
a
2
2
B
．
32 C
．
2 D
．
4
7．集合
P
xN|2x12
的子集的个数是（
）
A
．
2 B
．
3 C
．
4 D
．
8
8．已知函数
f(x)sin(
x
)(
0,0
3
)
满足
f(x
)f(x),f(
1
2
D
．
12
)
=1
，则
f(
12
)
等于（
）
A
．
-
2
2
B
．
2
2
C
．
-
1
2
9．已知
sin
A
．
1
，则
sin
的值等于（
）
24
3
B
．
7
9
2
9
C
．
2
9
D
．
7
9
10．相传黄帝时代，在制定乐律时，用
“
三分损益
”
的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．如图的程序是与
“
三分损
益
”
结合的计算过程，若输入的
x
的值为
1
，输出的
x
的值为（
）
A
．
64
81
B
．
32
27
C
．
8
9
D
．
16
27
x
2
xa,x0
11．已知
A
，
B
是函数
f
x
图像上不同的两点，若曲线
yf
x
在点
A
，
B
处的切线重合，则
xlnxa,x0
实数
a
的最小值是（
）
A
．
1
B
．
1
2
C
．
1
2
D
．
1
12．
O
是平面上的一定点，
A,B,C
是平面上不共线的三点，动点
P
满足
OPOA+
(
AB
AB·cosB
AC
AC?cosC
)
，
(0,)
，则动点
P
的轨迹一定经过
ABC
的（
）
A
．重心
B
．垂心
C
．外心
D
．内心
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
1
13．
ax
2
展开式中
x
3
项系数为
160
，则
a
的值为
______.
x
14．已知
sin
6
3
3
，且，则
cos
__________
．
4
5
44
15．已知命题
P
：
x0
，
x
3
0
，那么
P
是
__________.
16．在
ABC
中，角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
，且
2bcosBacosCccosA
，若
ABC
外接圆的半径为
则
ABC
面积的最大值是
______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数
f
x
xxa
.
（
1
）当
a2
时，求不等式
f
x
4
的解集；
（
2
）若
f
x
1
对任意
xR
成立，求实数
a
的取值范围
.
23
，
3
1
xcos
2
18．（12分）在平面直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
（
为参数）
.
以原点
O
为极点，
x
轴
y
3
sin
2
的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系
.
（
1
）设直线
l
的极坐标方程为
12
，若直线
l
与曲线
C
交于两点
A
．
B
，求
AB
的长；
（
2
）设
M
、
N
是曲线
C
上的两点，若
MON
2
，求
OMN
面积的最大值
.
19．（12分）设函数
f(x)ax(2cosx)sinx
，
f(x)
是函数
f(x)
的导数
.
（
1
）若
a1
，证明
f(x)
在区间
,
上没有零点；
22
（
2
）在
x(0,)
上
f(x)0
恒成立，求
a
的取值范围
.
20．（12分）如图在四边形
ABCD
中，
BA3
，
BC2
，
E
为
AC
中点，
BE
13
.
2
（
1
）求
AC
；
（
2
）若
D
3
，求
ACD
面积的最大值
.
x
21．（12分）已知
f
x
ln
xm
，
g
x
e
.
（
1
）当
m2
时，证明：
f
x
g
x
；
（
2
）设直线
l
是函数
f
x
在点
Ax
0
,f
x
0
0x
0
1
处的切线，若直线
l
也与
g
x
相切，求正整数
m
的值
.
x
2
y
2
22．（10分）如图，在平面直角坐标系
xOy
中，已知圆
C
：
x3
y1
，椭圆
E
：
2
2
1
（
ab0
）的
ab
2
2
右顶点
A
在圆
C
上，右准线与圆
C
相切
.
（
1
）求椭圆
E
的方程；
（
2
）设过点
A
的直线
l
与圆
C
相交于另一点
M
，与椭圆
E
相交于另一点
N
.
当
AN
12
AM
时，求直线
l
的方程
.
7
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．
A
【解析】
由题意可知直线过定点即为圆心，由此得到
A,B
坐标的关系，再根据点差法得到直线的斜率
k
与
A,B
坐标的关系，由
此化简并求解出离心率的取值范围
.
【详解】
设
A
x
1
,y
1
,B
x
2
,y
2
，且线
l:kxy3k10
过定点
3,1
即为
C
2
的圆心，
因为
ACDB
，所以
x
1
x
2
x
C
x
D
236
，
yyyy212
CD
12
b
2
x
1
2
a
2
y
1
2
a
2
b
2
222222
又因为
22
，所以
b
x
1
x
2
a
y
1
y
2
，
2222
bx
2
ay
2
ab
y
1
y
2
b
2
x
1
x
2
3b
2
2
所以，所以
k
2
2,1
，
x
1
x
2
ay
1
y
2
a
b
2
12
a
2
c
2
12
12
2
1e,
，
,
所以
2
,
，所以，所以
2
3
a33a33
3
36
e
所以
,
.
33
故选：
A.
【点睛】
本题考查椭圆与圆的综合应用，着重考查了椭圆离心率求解以及点差法的运用，难度一般
.
通过运用点差法达到
“
设而
不求
”
的目的，大大简化运算
.
2．
B
【解析】
化简到
f(x)
【详解】
2sin
2x
，根据定义域排除
ACD
，计算单调性知
B
正确，得到答案
.
4
f(x)
2tanx
cos2xsin2xcos2x2sin2x
，
1tan
2
x4
xxk
,kZ
故函数的定义域为
，故
A
错误；
2
当
x
当
x
3
,
时，
2x
,
，函数单调递增，故
B
正确；
4
22
88
π
，关于
x
的对称的直线为
x
不在定义域内，故
C
错误
.
82
4
平移得到的函数定义域为
R
，故不可能为
yf(x)
，
D
错误
.
故选：
B
.
【点睛】
本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，定义域，对称，三角函数平移，意在考查学生的综合应用能力
.
3．
D
【解析】
因为双曲线分左右支，所以
a0
，根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为
(1t
，
将其代入双曲线可解得．
【详解】
因为双曲线分左右支，所以
a0
，
3
t)(t0)
，
3
根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为
(1t
，
(1t)
2
a(
t
2
1
，由
t0
得
a3
．
a1
3
3
t)(t0)
，将其代入双曲线方程得：
3
3
2
t)1
，
3
即
故选：
D
．
【点睛】
本题考查了双曲线的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
4．
D
【解析】
对于①，利用抛物线的定义，利用
d
d
1
d
2
|BF||EF||BE|
R
可判断；
222
对于②，设直线
DE
的方程为
xmy2
，与抛物线联立，用坐标表示直线
OB
与直线
OE
的斜率乘积，即可判断；
对于③，将
xty2
代入抛物线
C
的方程可得，
y
A
y
1
8
，从而，
y
A
y
2
，利用韦达定理可得
|BE|
2
|BE|16m48m32
，再由
r|MN|
，可用
m
表示
r
，线段
BE
的中垂线与
x
轴的交点（即圆心
2
242
2
22
N
）横坐标为
2m
2
4
，可得
a
，即可判断
.
【详解】
如图，设
F
为抛物线
C
的焦点，以线段
BE
为直径的圆为
M
，则圆心
M
为线段
BE
的中点．
设
B
，
E
到准线的距离分别为
d
1
，
d
2
，
显然
B
，
E
，
F
三点不共线，
则
d
M
的半径为
R
，点
M
到准线的距离为
d
，
d
1
d
2
|BF||EF||BE|
R
．所以①正确．
222
由题意可设直线
DE
的方程为
xmy2
，
代入抛物线
C
的方程，有
y4my80
．
设点
B
，
E
的坐标分别为
x
1
,y
1
，
x
2
,y
2
，
则
y
1
y
2
4m
，
y
1
y
2
8
．
所以
x
1
x
2
my
1
2
my
2
2
my
1
y
2
2m
y
1
y
2
44
．
2
2
y
1
y
2
2
．所以②正确．
则直线
OB
与直线
OE
的斜率乘积为
x
1
x
2
将
xty2
代入抛物线
C
的方程可得，
y
A
y
1
8
，从而，
y
A
y
2
．根据抛物线的对称性可知，
A
，
E
两点关于
x
轴对称，所以过点
A
，
B
，
E
的圆的圆心
N
在
x
轴上．
2
由上，有
y
1
y
2
4m
，
x
1
x
2
4m4
，
则
|BE|
2
x
1
x
2
4x
1
x
2
y
1
y
2
4y
1
y
2
16m
4
48m
2
32
．
所以，线段
BE
的中垂线与
x
轴的交点（即圆心
N
）横坐标为
2m
2
4
，所以
a2m
2
4
．
22
x
1
x
2
y
1
y
2
|BE|
242
于是，
r
2
|MN|
2
2m4
4m12m8
，
2
2
2
2
代入
x
1
x
2
4m4
，
y
1
y
2
4m
，得
r
2
4m
4
16m
2
12
，
222
所以
a
2
r
2
2m
2
4
所以③正确．
故选：
D
【点睛】
4m
2
4
16m
2
12
4
．
本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题
.
5．
A
【解析】
由
【详解】
由，可排除选项，可排除选项；由可得，即函数有无数
排除选项
;
排除选项；由函数有无数个零点，排除选项
,
从而可得结果
.
个零点，可排除选项
,
故选
A.
【点睛】
本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题
.
这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特
点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循
.
解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、
单调性、奇偶性、特殊点以及
一排除
.
6．
A
【解析】
根据题意依次计算得到答案
.
【详解】
根据题意知：
a
1
8
，
故选：
A
.
【点睛】
本题考查了数列值的计算，意在考查学生的计算能力
.
7．
D
【解析】
先确定集合
P
中元素的个数，再得子集个数．
【详解】
由题意
P{xN|1x3}{0,1,2}
，有三个元素，其子集有
8
个．
故选：
D
．
【点睛】
本题考查子集的个数问题，含有
n
个元素的集合其子集有
2
n
个，其中真子集有
2
n
1
个．
8．
C
【解析】
*
设
f
x
的最小正周期为
T
，可得
nT
,nN
，则
2n,nN
，再根据
f
时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一
a
2
4
，故
a
2
a
1
32
，
a
3
2
，
a
3
64
.
a
2
1
得
12
2
2k
n
6
,kZ,nN
*
，又
0
3
，则可求出
n12k2
，进而可得
f(
12
)
.
【详解】
解：设
f
x
的最小正周期为
T
，因为
f(x
)f(x)
，
所以
nT
,nN
，所以
T
n
2
,nN
*
，
所以
2n,nN
，
*
又
f
1
x
n
2k
，
x
，所以当时，
12
62
12
2
2k
n
2k
n
0
6
,kZ,nN
*
，因为
0
3
2
6
3
，
整理得
1n12k3
，因为
n12kZ
，
n12k2
，
2
2k
212k
6
6
，则
n
6
6
2
2k
n
2k
63
所以
f(
n
)sin
2n
sin
1212666
sin
故选：
C.
【点睛】
1
2k
sin
.
6
2
3
6
本题考查三角形函数的周期性和对称性，考查学生分析能力和计算能力，是一道难度较大的题目
.
9．
A
【解析】
由余弦公式的二倍角可得，
cos(
7
)12sin
2
，再由诱导公式有
2
24
9
7
cos(
)sin
，所以
sin
29
【详解】
∵
sin
1
24
3
∴由余弦公式的二倍角展开式有
7
cos(
)12sin
2
2
24
9
又∵
cos(
2
)sin
∴
sin
故选：
A
7
9
【点睛】
本题考查了学生对二倍角公式的应用，要求学生熟练掌握三角函数中的诱导公式，属于简单题
10．
B
【解析】
根据循环语句，输入
x1
，执行循环语句即可计算出结果
.
【详解】
输入
x1
，由题意执行循环结构程序框图，可得：
2
，
i24
，不满足判断条件；
3
8
第
2
次循环：
x
，
i34
，不满足判断条件；
9
3232
.
第
4
次循环：
x
，
i44
，满足判断条件；输出结果
x
2727
第
1
次循环：
x
故选：
B
【点睛】
本题考查了循环语句的程序框图，求输出的结果，解答此类题目时结合循环的条件进行计算，需要注意跳出循环的判
定语句，本题较为基础
.
11．
B
【解析】
先根据导数的几何意义写出
f
x
在
A,B
两点处的切线方程，再利用两直线斜率相等且纵截距相等，列出关系树，
从而得出
a
【详解】
解：当
x0
时，
f
x
xxa
，则
f\'
x
2x1
;
当
x0
时，
f
x
xlnxa
2
1
2
2x
1
1
x
1
e
，令函数
g
x
x
2
e
2x
x0
，结合导数求出最小值，即可选出正确答案
.
22
则
f\'
x
lnx1
.
设
Ax
1
,f
x
1
,Bx
2
,f
x
2
为函数图像上的两点，
当
x
1
x
2
0
或
0x
1
x
2
时，
f\'
x
1
f\'
x
2
，不符合题意，故
x
1
0x
2
.
则
f
x
在
A
处的切线方程为
yx
1
x
1
a
2x
1
1
xx
1
；
2
f
x
在
B
处的切线方程为
yx
2
lnx
2
a
lnx
2
1
xx
2
.
由两切线重合可知
lnx
2
12x
1
1
1
2
2x
1
1
22x
axex0gx
.
，整理得不妨设
xe
x0
11
2
xaax
22
1
2
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