抛物线的伴随圆系及其性质

数学通报２００７年第４６卷第３期抛物线的伴随圆系及其性质刘耀斌顾越岭（盐城师范学院数学系２２４００２）１伴随国系的意义　　　　证明设（二。，Ｙｏ）为抛物线尹＝　２ｐｘ　（ｐ　＞０）　　　　　所谓抛物线的伴随圆，是指与抛物线有关的圆．上的任意一点，则ｘｏ）０．如抛物线的内切圆就是最常见的一种伴随圆．此外还有以焦点弦为直径的圆，以及以焦点弦为弦且过因为过该点的切线斜率为ｋ二卫，　　　　Ｙｏ　　　　　　　　　　　　　　　　　　所以过该点顶点的圆等．同类的伴随圆构成一个圆系，圆系中有的法线斜率为一粤＝一Ｙ无数多个圆．本文将对这种圆系的方程与性质进行‘　　Ｐｏ，从而相应的法线方程即为探讨．２伴随团系及其方程Ｙ一Ｙｏ＝一－ｋｘ一ＡＯＪ・Ｙｏ／　　　　　　　　　　　　　　、Ｙ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２．１抛物线的内切圆系因为抛物线尹二２ｐ　　　　ｘ　（ｐ＞０）关于：轴对称，定理１设抛物线的方程为尹二２ｐ　　　　ｘ　（ｐ＞０），所以其内切圆的圆心必在ｘ轴上．从而要求圆　　　　则其内切圆系的方程为心的坐标，只须令上述法线方程中的Ｙ为零即可．由（　　　　ｘ一ｐ一ｘ０　）２＋Ｙ２二ｐ２＋２ｐｘｏ　（　ｘ。为参数，且ｘｏ此即可求得圆心的横坐标ｐ＋二。，纵坐标为０．〕０）．（Ｉ）设内切圆的半径为Ｒ，　　　　则Ｒ２二（ｐ＋二。一ｘｏ）２　＋（０一Ｙｏ　）２二ｐ２＋Ｙｏ　２＝Ｐ２＋２ｐｘ