2024年4月15日发(作者：山西高考数学试卷2017)

第二章 一元函数微分学

§2.1 导数与微分

（甲）内容要点

一、导数与微分概念

1、导数的定义

设函数

yf(x)

在点

x

0

的某领域内有定义，自变量

x

在

x

0

处有增量

x

，相应地函数

增量

yf(x

0

x)f(x

0

)

。如果极限

f(x

0

x)f(x

0

)

y

lim

x0

x

x0

x

lim

存在，则称此极限值为函数

f(x)

在

x

0

处的导数（也称微商），记作

f

(x

0

)

，或

y

xx

0

，

dy

dx

xx

0

，

df(x)

dx

xx

0

等，并称函数

yf(x)

在点

x

0

处可导。如果上面的极限不存在，则

称函数

yf(x)

在点

x

0

处不可导。

导数定义的另一等价形式，令

xx

0

x

，

xxx

0

，则

f

(x

0

)lim

xx

0

f(x)f(x

0

)

xx

0

我们也引进单侧导数概念。

右导数：

f

(x

0

)lim

xx

0

f(x)f(x

0

)f(x

0

x)f(x

0

)

lim

x0

xx

0

x

f(x)f(x

0

)f(x

0

x)f(x

0

)

lim

x0

xx

0

x

左导数：

f

(x

0

)lim

xx

0

则有

f(x)

在点

x

0

处可导

f(x)

在点

x

0

处左、右导数皆存在且相等。

2．导数的几何意义与物理意义

如果函数

yf(x)

在点

x

0

处导数

f

(x

0

)

存在，则在几何上

f

(x

0

)

表示曲线

yf(x)

在点（

x

0

,f(x

0

)

）处的切线的斜率。

切线方程：

yf(x

0

)f

(x

0

)(xx

0

)

24

法线方程：

yf(x

0

)

1

(xx

0

)(f

(x

0

)0)

f

(x

0

)

设物体作直线运动时路程S与时间t的函数关系为

Sf(t)

，如果

f

(t

0

)

存在，则

f

(t

0

)

表示物体在时刻

t

0

时的瞬时速度。

3．函数的可导性与连续性之间的关系

如果函数

yf(x)

在点

x

0

处可导，则

f(x)

在点

x

0

处一定连续，反之不然，即函数

yf(x)

在点

x

0

处连续，却不一定在点

x

0

处可导。例如，

yf(x)|x|

，在

x

0

0

处连

续，却不可导。

4．微分的定义

设函数

yf(x)

在点

x

0

处有增量

x

时，如果函数的增量

yf(x

0

x)f(x

0

)

有

下面的表达式

yA(x

0

)xo(x)

（

x0

）

o(x)

是

x0

时比

x

高阶的无穷小，其中

A(x

0

)

为

x

为无关，则称

f(x)

在

x

0

处可微，

并把

y

中的主要线性部分

A(x

0

)x

称为

f(x)

在

x

0

处的微分，记以

dy

我们定义自变量的微分

dx

就是

x

。

5．微分的几何意义

xx

0

或

df(x)

xx

0

。

yf(x

0

x)f(x

0

)

是曲线

yf(x)

在点

x

0

处相应

于自变量增量

x

的纵坐标

f(x

0

)

的增量，微分

dy

xx

0

是曲线

yf(x)

在点

M

0

(x

0

,f(x

0

))

处切线的纵坐标相应的增量（见

图）。

6．可微与可导的关系

f(x)

在

x

0

处可微

f(x)

在

x

0

处可导。

且

dy

xx

0

A(x

0

)xf

(x

0

)dx

一般地，

yf(x)

则

dyf

(x)dx

25

所以导数

f

(x)

dy

也称为微商，就是微分之商的含义。

dx

7．高阶导数的概念

如果函数

yf(x)

的导数

y

f

(x)

在点

x

0

处仍是可导的，则把

y

f

(x)

在点

x

0

处

的导数称为

yf(x)

在点

x

0

处的二阶导数，记以

y



称

f(x)

在点

x

0

处二阶可导。

如果

yf(x)

的

n1

阶导数的导数存在，称为

yf(x)

的

n

阶导数，记以

y

(n)

xx

0

d

2

y

，或

f



(x

0

)

，或

dx

2

xx

0

等，也

(n)

，

y

d

n

y

(x)

，

n

等，这时也称

yf(x)

是

n

阶可导。

dx

二、导数与微分计算

1．导数与微分表（略）

2．导数与微分的运算法则

（1）四则运算求导和微分公式

（2）反函数求导公式

（3）复合函数求导和微分公式

（4）隐函数求导法则

（5）对数求导法

（6）用参数表示函数的求导公式

（乙）典型例题

一、用导数定义求导数

例 设

f(x)(xa)g(x)

，其中

g(x)

在

xa

处连续，求

f

(a)

解：

f

(a)lim

xa

f(x)f(a)(xa)g(x)0

limg(a)

xa

xaxa

二、分段函数在分段点处的可导性

例1 设函数

x

2

,x1

f(x)

axb,x1

试确定

a

、

b

的值，使

f(x)

在点

x1

处可导。

解：∵可导一定连续，∴

f(x)

在

x1

处也是连续的。

由

f(10)lim

f(x)lim

x1

x1x1

2

26

f(10)lim

f(x)lim

(axb)ab

x1x1

要使

f(x)

在点

x1

处连续，必须有

ab1

或

b1a

又

f(1)lim

f(x)f(1)

x1

x1

lim

x

2

1

x1

x1

lim(

x1

x1)2

f

f(x)f(1)

(1)lim

x

x1

lim

axb1a(x1)

1x1

x1

lim

x1

x1

a

要使

f(x)

在点

x1

处可导，必须

f

(1)f

(1)

，即

2a

.

故当

a2,b1a121

时，

f(x)

在点

x1

处可导.

)lim

x

2

e

n(x1)

例2 设

f(x

axb

n

e

n(x1)

1

，问

a

和

b

为何值时，

f(x)

可导，且求

f

(x)

解：∵

x1

时，

lim

n(x1)

n

e

，

x1

时，

lime

n(x1)

n

0

∴

f(x)

x

2

,x1

，

ab1

,x1

，

2

axb,x1

，

由

x1

处连续性，

lim

2

ab1

x1

f(x)lim

x1

x1

，

f(1)

2

1

，可知

ab1

再由

x1

处可导性，

f

x

2

f(1)

(1)lim

存在

x1

x1

f

(axb)f(1)

(1)lim

x1

x1

存在

且

f

(1)f

(1)

根据洛必达法则

f

(1)lim

2x

x1

1

2

f

a

(1)

x

lim

1

1

a

，∴

a2

于是

b1a1

27

x

2

,x1,

f(x)

1,x1,

2x1,x1,

2x,x1,

f

(x)

2,x1,

三、运用各种运算法则求导数或微分

例1 设

f(x)

可微，

yf(lnx)e

解：

dyf(lnx)de

例2 设

yx

x

(x0)

，求

x

x

f(x)

，求

dy

f(x)

e

f(x)

df(lnx)

f

(x)e

f(x)

f(lnx)dx

e

f(x)

[f

(x)f(lnx)

1

f

(lnx)e

f(x)

dx

x

1

f

(lnx)]dx

x

dy

dx

解：

lnyxlnx

对

x

求导，得

11

y

(x

x

)

lnxx

x

yx

再令

y

1

x

，

lny

1

xlnx

，对

x

求导，

x

1

lnx1

，∴

(x

x

)

x

x

(lnx1)

y

1

y

1

于是

例3 设

yy(x)

由方程

xy

所确定，求

解：两边取对数，得

ylnxxlny

，

对

x

求导，

y

lnx

yx

x

dy

x

x

(lnx1)lnxx

x1

x

x

（

x0

）

dx



dy

dx

yx

lnyy

xy

xy

y

2

xyny

y

(lnx)lny

，

y

2

yx

xxylnx

28

例4 设

x

t

e

u

2

sinudu

dx

t

求

2t

u

dy

y

eln(1u)du

0

2

dx

42

dx

dt

2te

t

sint

2

e

t

sint



解：

dy

dy

2e

2t

ln(12t)

dt

四、求切线方程和法线方程

例1 已知两曲线

yf(x)

与

y

程，并求

limnf()

。

n

arctanx

0

e

t

dt

在点（0，0）处的切线相同，写出此切线方

2

2

n

e

(arctanx)

解：由已知条件可知

f(0)0

，

f

(0)

1x

2

故所求切线方程为

yx

2

x0

1

2

f()f(0)

2

limnf()lim2

n

2f

(0)2

nn

2

n

n

例2 已知曲线的极坐标方程

r1cos

，求曲线上对应于

坐标方程。

6

处的切线与法线的直角

x(1cos

)cos

cos

cos

2

解：曲线的参数方程为

y(1cos

)sin

sin

sin

cos

dy

dx

dy

d

dx

d

cos

cos

2

sin

2

sin

2cos

sin

1

6

6

6

故切线方程

y

1333

1(x)

2424

即

xy

35

30

44

法线方程

y

1333

(x)

2424

即

xy

11

30

44

29

例3 设

f(x)

为周期是5的连续函数，在

x0

邻域内，恒有

其中

lim

f(1sinx)3f(1sinx)8x

(x)

。

(x)

x

x0

0

，

f(x)

在

x1

处可导，

求曲线

yf(x)

在点（

6,f(6)

）处的切线方程。

解：由题设可知

f(6)f(1)

，

f

(6)f

(1)

，故切线方程为

yf(1)f

(1)(x6)

所以关键是求出

f(1)

和

f

(1)

由

f(x)

连续性

lim[f(1sinx)3f(1sinx)]2f(1)

x0

由所给条件可知

2f(1)0

，∴

f(1)0

f(1sinx)3f(1sinx)8x

(x)

lim()8

x0x0

sinxsinxsinx

f(1t)3f(1t)

令

sinxt,lim8

，又∵

f(1)0

t0

t

再由条件可知

lim

∴ 上式左边=

lim

[f(1t)f(1)]f(1t)f(1)

3lim

t0t0

t(t)

=

f

(1)3f

(1)4f

(1)

则

4f

(1)8

f

(1)2

所求切线方程为

y02(x6)

即

2xy120

五、高阶导数

1．求二阶导数

例1 设

yln(x

解：

y\'

x

2

a

2

)

，求

y\'\'

(xx

2

a

2

)

x

xa

22

1

xx

2

a

2

1

xxa

22

(1

3

)

1

xa

22

1x

y\'\'(x

2

a

2

)

2

2x

223

2

(xa)

xarctant

d

2

y

例2 设

求

2

2

dx

yln(1t)

30

dy

2t

解：

dy

dx

dt

dx

1t

2

1

2t

dt

1t

2

d

2

y

d(

dy

dx

)d(

dy

)

dx

/

dx

2

dx

2

dxdtdt

1

2(1t

2

)

1t

2

例3 设

yy(x)

由方程

x

2

y

2

1

所确定，求

y\'\'

解：

2x2yy\'0

，

y\'

x

y

x

2

y\'\'

1yxy

y

y

y

2



y

2

y

2



x

2

y

3



1

y

3

2．求

n

阶导数（

n2

，正整数）

先求出

y

,y



,

，总结出规律性，然后写出

y

(n)

，最后用归纳法证明。

有一些常用的初等函数的

n

阶导数公式

（1）

ye

x

y

(n)

e

x

（2）

ya

x

(a0,a1)

y

(n)

a

x

(lna)

n

（3）

ysinx

y

(n)

sin(x

n

2

)

（4）

ycosx

y

(n)

cos(x

n

2

)

（5）

ylnx

y

(n)

(1)

n1

(n1)!x

n

两个函数乘积的

n

阶导数有莱布尼兹公式

n

[u(x)v(x)]

(n)

C

k(k)(nk)

n

u(x)v(x)

k0

其中

C

k

n!

n

k!(nk)!

，

u

(0)

(x)u(x)

，

v

(0)

(x)v(x)

假设

u(x)

和

v(x)

都是

n

阶可导

31

例1 设

yx

（

k

正整数），求

y

解：

y

(n)

k(n)

（

n

正整数）

k(k1)

(kn1)x

kn

,nk,

nk

0,

x

n

(n)

例2 设

y

，求

y

（

n

正整数）

1x

(x

n

1)11

(x

n1

x

n2

x1)

解：

y

1x1x

y

(n)

[(1x)

1

]

(n)

例3 设

y

解：

y

n!

n1

(1x)

1

(n)

y

，求（

n

正整数）

2

x3x2

111

(x2)

1

(x1)

1

(x1)(x2)x2x1

y

[(x2)

2

(x1)

2

]

y



(1)(2)[(x2)

3

(x1)

3

]

……

y

(n)

(1)

n

n![(x2)

(n1)

(x1)

(n1)

]

(n)

例4 设

ysinxcosx

，求

y

（

n

正整数）

44

1cos2x

2

1cos2x

2

)()

22

131

2

(22cos2x)cos4x

444

1n

n

y

(n)

4

n

cos(4x)4

n1

cos(4x)

422

解：

y(

(n)

例5 设

yxe

，求

y

（

n

正整数）

32x

解：用莱布尼兹公式

y

(n)k

C

n

(x

3

)

(k)

(e

2x

)

(nk)

k0

n

32

x

3

(e

2x

)

(n)

3nx

2

(e

2x

)

(n1)

n(n1)n(n1)(n2)

6x(e

2x

)

(n2)

6(e

2x

)

(n3)

26

2

n3

e

2x

[8x

3

12nx

2

6n(n1)xn(n1)(n2)]

§2.2 微分中值定理

本节专门讨论考研数学中经常考的四大定理：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中

值定理和泰勒定理（泰勒公式）。

[注：数学三不考泰勒定理，数学四不考泰勒定理]

这部分有关考题主要是证明题，其中技巧性比较高，因此典型例题比较多，讨论比较

详细。

（甲）内容要点

一、罗尔定理

设函数

f(x)

满足

（1）在闭区间[

a,b

]上连续；

（2）在开区间（

a,b

）内可导；

（3）

f(a)f(b)

则存在

(a,b)

，使得

f

(

)0

几何意义：条件（1）说明曲线

yf(x)

在

A(a,f(a))

和

B(b,f(b))

之间是连续曲线；

[包括点A和点B]。

条件（2）说明曲线

yf(x)

在

A,B

之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于

x

轴

的切线[不包括点

A

和点

B

]。

条件（3）说明曲线

yf(x)

在端点

A

和

B

处纵坐标相等。

结论说明曲线

yf(x)

在点

A

和点

B

之间[不包括点

A

和点

B

]至少有一点，它的切线

平行于

x

轴。

33

二、拉格朗日中值定理

设函数

f(x)

满足

（1）在闭区间[

a,b

]上连续；

（2）在开区间（

a,b

）内可导

则存在

(a,b)

，使得

f(b)f(a)

f

(

)

ba

或写成

f(b)f(a)f

(

)(ba)(a

b)

有时也写成

f(x

0

x)f(x

0

)f

(x

0

x)x(0

1)

这里

x

0

相当

a

或

b

都可以，

x

可正可负。

几何意义：条件（1）说明曲线

yf(x)

在点

A(a,f(a))

和点

B(b,f(b))

之间[包括点

A

和点

B

]是连续曲线：

条件（2）说明曲线

yf(x)

[不包括点

A

和点

B

]是光滑曲线。

结论说明：曲线

yf(x)

在

A

，

B

之间[不包括点

A

和点

B

]，至少有点，它的切线与

割线

AB

是平行的。

推论1 若

f(x)

在

(a,b)

内可导，且

f

(x)0

，则

f(x)

在

(a,b)

内为常数。

推论2 若

f(x)

和

g(x)

在（

a,b

）内可导，且

f\'(x)g

(x)

，则在

[a,b]

内

f(x)g(x)C

，其中

C

为一个常数。

（注：拉格朗日中值定理为罗尔定理的推广，当

f(a)f(b)

特殊情形，就是罗尔定理）

三、柯西中值定理

设函数

f(x)

和

g(x)

满足：

（1）在闭区间[

a

，

b

]上皆连续；

（2）在开区间（

a

，

b

）内皆可导；且

g

(x)0

，则存在

(a,b)

使得

f(b)f(a)f

(

)

g(b)g(a)g

(

)

(a

b)

（注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形

g(x)x

时，柯西中值定

34

理就是拉格朗日中值定理）

几何意义：考虑曲线的参数方程

xg(t)

t[a,b]

yf(t)

点

A(g(a),f(a))

，点

B(g(b),f(b))

曲线在上是连续

曲线，除端点外是光滑曲线，那么在曲线上至少有一点，它

的切线平行于割线

AB

. 值得注意：在数学理论上，拉格朗日

中值定理最重要，有时也称为微分学基本定理。罗尔定理看

作拉格朗日中值定理的预备定理，柯西中值定理虽然更广，

但用得不太多。在考研数学命题中，用罗尔定理最多，其次

是用拉格朗日中值定理，而用柯西中值定理也是较少。

四、泰勒定理（泰勒公式）（数学一和数学二）

定理1（带皮亚诺余项的

n

阶泰勒公式）

设

f(x)

在

x

0

处有

n

阶导数，则有公式

____

f

\'

(x

0

)f

\'\'

(x

0

)f

(n)

(x

0

)

2

f(x)f(x

0

)(xx

0

)(xx

0

)(xx

0

)

n

R

n

(x)

1!2!n!

（

xx

0

）

n

其中

R

n

(x)o[(xx

0

)](xx

0

)

称为皮亚诺余项。

（

lim

R

n

(x)

0

）

xx

0

(xx)

n

0

前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不同情形取适当的

n

，所以对常用的

a

初等函数如

e,sinx,cosx,ln(1x)

和

(1x)

（

为实常数）等的

n

阶泰勒公式都要熟记。

x

定理2 （带拉格朗日余项的

n

阶泰勒公式）

设

f(x)

在包含

x

0

的区间

(a,b)

内有

n1

阶导数，在

[a,b]

上有

n

阶连续导数，则对

x[a,b]

，有公式

f

\'

(x

0

)f

\'\'

(x

0

)f

(n)

(x

0

)

2

f(x)f(x

0

)(xx

0

)(xx

0

)(xx

0

)

n

R

n

(x)

1!2!n!

f

(n1)

(

)

(xx

0

)

n1

，其中

R

n

(x)

（

在

x

0

与

x

之间）称为拉格朗日余项。

(n1)!

上面展开式称为以

x

0

为中心的

n

阶泰勒公式。

x

0

0

时，也称为麦克劳林公式。

如果

limR

n

(x)0

，那么泰勒公式就转化为泰勒级数，这在后面无穷级数中再讨论。

n

35

（乙）典型例题

一、用罗尔定理的有关方法

例1 设

f(x)

在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且

f(0)f(1)f(2)3

，

f(3)1

.

试证：必存在

(0,3)

，使

f

(

)0

证：∵

f(x)

在[0，3]上连续，∴

f(x)

在[0，2]上连续，且有最大值

M

和最小值

m

.

于是

mf(0)M

；

mf(1)M

；

mf(2)M

，故

1

m[f(0)f(1)f(2)]M

. 由连续函数介值定理可知，至少存在一点

c[0,2]

使得

3

1

（

c

，3）

f(c)[f(0)f(1)f(2)]1

，因此

f(c)f(3)

，且

f(x)

在[

c

，3]上连续，

3

内可导，由罗尔定理得出必存在

(c,3)(0,3)

使得

f

(

)0

。

例2 设

f(x)

在[0，1]上连续，（0，1）内可导，且

3

1

2

3

f(x)dxf(0)

求证：存在

(0,1)

使

f(

)0

证：由积分中值定理可知，存在

c[,1]

，使得

\'

2

3

1

2

3

2

f(x)dxf(c)(1)

3

得到

f(c)3

1

2

3

f(x)dxf(0)

对

f(x)

在[0，c]上用罗尔定理，（三个条件都满足）

故存在

(0,c)(0,1)

，使

f

(

)0

例3 设

f(x)

在[0,1]上连续，(0，1)内可导，对任意

k1

，有

f(1)k

求证存在

(0,1)

使

f

(

)(1

)f(

)

1

1

k

0

xe

1x

f(x)dx

，

1

1

1x1c

证：由积分中值定理可知存在

c[0,]

使得

k

xef(x)dxcef(c)(0)

0

k

k

36

1

令

F(x)xe

1x

f(x)

，可知

F(1)f(1)

这样

F(1)f(1)k

1

k

0

xe

1x

f(x)dxce

1c

f(c)F(c)

，对

F(x)

在

[c,1]

上用罗尔定理

（三个条件都满足）存在

(c,1)(0,1)

，使

F

(

)0

而

F

(x)e

1x

f(x)xe

1x

f(x)xe

1x

f

(x)

1

∴

F

(

)

e

1

[f

(

)(1)f(

)]0

又

e

1

1

0

，则

f

(

)(1)f(

)

在例3的条件和结论中可以看出不可能对

f(x)

用罗尔定理，否则结论只是

f

(

)0

，

而且条件也不满足。因此如何构造一个函数

F(x)

，它与

f(x)

有关，而且满足区间上罗尔

定理的三个条件，从

F

(

)0

就能得到结论成立，于是用罗尔定理的有关证明命题中，如

何根据条件和结论构造一个合适的

F(x)

是非常关键，下面的模型Ⅰ，就在这方面提供一些

选择。

模型Ⅰ：设

f(x)

在

[a,b]

上连续，（

a,b

）内可导，

f(a)f(b)0

则下列各结论皆成立。

（1）存在

1

(a,b)

使

f

(

1

)lf(

1

)0

（

l

为实常数）

k1

（2）存在

2

(a,b)

使

f

(

2

)k

2

f(

2

)0

（

k

为非零常数）

（3）存在

3

(a,b)

使

f

(

3

)g(

3

)f(

3

)0

（

g(x)

为连续函数）

证：（1）令

F(x)ef(x)

，在

[a,b]

上用罗尔定理

∵

F

(x)lef(x)ef

(x)

∴ 存在

1

(a,b)

使

F

1

le

消去因子

e

l

1

l

1

lxlx

lx

f

1

e

l

1

f

1

0

，即证.

k

（2）令

F(x)e

x

f(x)

，在

[a,b]

上用罗尔定理

F

(x)kx

k1

e

x

f(x)e

x

f

(x)

kk

37

k1

2

存在

2

(a,b)

使

F

(

2

)k

2

ef(

2

)e

2

f

(

2

)0

kk

消去因子

e

k

2

，即证。

G(x)

（3）令

F(x)ef(x)

，其中

G

(x)g(x)

f(x)e

G(x)

f

(x)

由

F

(

3

)0

F

(x)g(x)e

清去因子

e

G(x)

G(

3

)

，即证。

例4 设

f(x)

在

[0,1]

上连续，在（0，1）内可导，

f(0)f(1)0

，

f()1

，试证：

（1）存在

(,1)

，使

f(

)

。

（2）对任意实数

，存在

(0,

)

，使得

f

(

)

[f(

)

]1

证明：（1）令

(x)f(x)x

，显然它在[0, 1]上连续，又

1

2

1

2

111

(1)10,()0

，根据介值定理，存在

(,1)

使

(

)0

即

f(

)

222

（2）令

F(x)e

x

(x)e

x

[f(x)x]

，它在

[0,

]

上满足罗尔定理的条件，故存

在

(0,

)

，使

F

(

)0

，即

e



f

f

1

0

从而

f

(

)

[f(

)

]1

（注：在例4（2）的证明中，相当于模型Ⅰ中（1）的情形，其中

l

取为

，

f(x)

取为

(x)f(x)x

）

模型Ⅱ：设

f(x)

，

g(x)

在

[a,b]

上皆连续，（

a,b

）内皆可导，且

f(a)0

，

g(b)0

，

则存在

(a,b)

，使

f

(

)g(

)f(

)g

(

)0

证：令

F(x)f(x)g(x)

，则

F(a)F(b)0

，显然

F(x)

在[

a,b

]上满足罗尔定理的条

件，则存在

(a,b)

，使

F

(

)0

，即证.

38

例5 设

f(x)

在[0, 1]上连续，（0, 1）内可导，

f(0)0

，

k

为正整数。

求证：存在

(0,1)

使得

f

(

)kf(

)f

(

)

证：令

g(x)(x1)

，

a0,b1

，则

f(0)0

，

g(1)0

，用模型Ⅱ，存在

k

(0,1)

使得

f

(

)(

1)

k

k(

1)

k1

f(

)0

故

f

(

)(

1)kf(

)0

则

f

(

)kf(

)f

(

)

例6 设

f(x),g(x)

在

(a,b)

内可导，且

f

(x)g(x)f(x)g

(x)

，求证

f(x)

在

(a,b)

内任

意两个零点之间至少有一个

g(x)

的零点

证：反证法：设

ax

1

x

2

b

，

f(x

1

)0

，

f(x

2

)0

而在

(x

1,

x

2

)

内

g(x)0

，

则令

F(x)

f(x)

在

[x

1

,x

2

]

上用罗尔定理

g(x)

f(x

1

)f(x

2

)

0,F(x

2

)0

]

g(x

1

)g(x

2

)

[

f(x

1

)f(x

2

)0,F(x

1

)

（不妨假设

g(x

1

)0,g(x

2

)0

否则结论已经成立）

则存在

(x

1

,x

2

)

使

F

(

)0

，得出

f

(

)g(

)f(

)g

(

)0

与假设条件

矛盾。所以在

(x

1

,x

2

)

内

g(x)

至少有一个零点

例7 设

f(x),g(x)

在[

a,b

]二阶可导，且

g



(x)0

，又

f(a)f(b)g(a)g(b)0

求证：（1）在（

a,b

）内

g(x)0

；

f



(

)f(

)

（2）存在

(a,b)

，使

g



(

)g(

)

证：（1）用反证法，如果存在

c(a,b)

使

g(c)0

，则对

g(x)

分别在[

a,c

]和[

c,b

]

上用罗尔定理，存在

x

1

(a,c)

使

g

(x

1

)0

，存在

x

2

(c,b)

使

g

(x

2

)0

，

39

再对

g

(x)

在[

x

1

,x

2

]上用罗尔定理存在

x

3

(x

1

,x

2

)

使

g



(x

3

)0

与假设条

件

g



(x)0

矛盾。所以在

(a,b)

内

g(x)0

（2）由结论可知即

f



(

)g(

)f(

)g



(

)0

，因此

令

F(x)g(x)f\'(x)g\'(x)f(x)

，可以验证

F(x)

在[

a,b

]上连续，在

(a,b)

内可导，

F(a)F(b)0

满足罗尔定理的三个条件

故存在

(a,b)

，使

F

(

)0

于是

f



(

)g(

)f(

)g



(

)0

成立

二、用拉格朗日中值定理和柯西中值定理

例1 设

f(x)

在

(,)

内可导，且

limf

(x)e

，

lim(

x

x

xc

x

)lim[f(x)f(x1)]

x

xc

求

c

的值

解：由条件易见，

c0

c

(1)

x

xc

x

e

c

x

lim()lim

c

e

2c

x

xc

x

c

e

(1)

x

x

由拉格朗日中值定理，有

f(x)f(x1)f

(

)[x(x1)]f

(

)

其中

介于

(x1)

与

x

之间，那么

lim[f(x)f(x1)]lim

f

(

)e

x

x

(

)

于是

e

2c

e

，

2c1

，则

c

1

2

例2 设

f(x)

是周期为1的连续函数，在（0，1）内可导，且

f(1)0

，又设

M0

是

f(x)

在[1，2]上的最大值，证明：存在

(1,2)

，使得

f

(

)2M

。

证：由周期性可知

f(0)f(1)f(2)0

，不妨假定

x

0

(1,2)

而

f(x

0

)M0

，

对

f(x)

分别在[1,

x

0

]和[

x

0

, 2]上用拉格朗日中值定理，

存在

1

(1,x

0

)

，使得

f

(

1

)

40

f(x

0

)f(1)

①

x

0

1

存在

2

(x

0

,2)

，使得

f

(

2

)

f(2)f(x

0

)

②

2x

0

如果

x

0

(1,

f(x

0

)

3

2M

；

)

，则用①式，得

f

(

1

)

2

x

0

1

如果

x

0

[

f(x

0

)

3

2M

；

,2)

，则用②式，得

f

(

2

)

2

2x

0

因此，必有

(1,2)

，使得

f

(

)2M

例3 设

f(x)

在[0, 1]上连续，（0, 1）内可导，且

f(0)0

，

f(1)1

，证明：

（Ⅰ）存在

(0,1)

，使得

f(

)1

（Ⅱ）存在

,

(0,1)

，

，使

f

(

)f

(

)1

证：（Ⅰ）令

g(x)f(x)x1

，则

g(x)

在[0, 1]上连续，且

g(0)10

，

g(1)10

，用介值定理推论存在

(0,1)

，使

g(

)0

，即

f(

)1

（Ⅱ）在[0,

]和[

，1]上对

f(x)

用拉格朗日中值定理，存在

(0,

)

，使

得

f

(

)

f(

)f(0)1

0

f(1)f(

)1(1

)



1

1

1

存在

(

,1)

，

，使

f

(

)

∴

f

(

)f

(

)1

例4 设函数

f(x)

在闭区间[

a,b

]上连续，在开区间（

a,b

）内可导，且

f

(x)0

，若极

限

lim

xa

f(2xa)

存在，证明：

xa

（1）在

(a,b)

内

f(x)0

；

（2）在

(a,b)

内存在

，使

b

2

a

2

b

a

f(x)dx

2

；

f(

)

（3）在

(a,b)

内存在与（2）中

相异的点

，使

41

f

(

)(b

2

a

2

)

证：（1）因为

lim

xa

2

b

f(x)dx

a

a

f(2xa)

存在，故

lim

f(2xa)0

，由

f(x)

在[

a,b

]上

xa

xa

连续，从而

f(a)0

. 又

f

(x)0

知

f(x)

在

(a,b)

内单调增加，故

f(x)f(a)0,x(a,b)

（2）设

F(x)x

2

,g(x)

x

a

f(t)dt(axb)

，

则

g

(x)f(x)0

，故

F(x)

，

g(x)

满足柯西中值定理的条件，于是在

(a,b)

内

存在点

，使

F(b)F(a)

g(b)g(a)

b

2

a

2

b

a

f(t)dt

f(t)dt

a

a

(x

2

)

(

f(t)dt)

a

x

x

，

即

b

2

a

2

b

a

f(x)dx

2

f(

)

（3）因

f(

)f(

)0f(

)f(a)

，在[

a,

]上应用拉格朗日中值定理，知在

(a,

)

内存在一点

，使

f(

)f

(

)(

a)

，从而由（2）的结论得

b

2

a

2

b

a

f(x)dx

2

2

，

f(

)(

a)

2

b

f(x)dx

.

a

a

即有

f

(

)(ba)

三、泰勒公式（数学一和数学二）

2

例1 设

f(x)

在[-1，1]上具有三阶连续导数，且

f(1)0

，

f(1)1

，

f

(0)0

.

求证：

(1,1)

，使

f



(

)3

.

证：麦克劳林公式

f

x

f

0

f

0

x

f



0

2

f



3

xx

2!3!

其中

x[1,1]

，

介于0与

x

之间。 ∵

f

(0)0

f



(0)1

(1)

2

f



(

1

)(1)

3

(1

1

0)

0f(1)f(0)

2!6

42

1f(1)f(0)

f



(0)

2

1

1f



(

2

)1

3

(0

2

1)

2!6

后式减前式，得

f



(

1

)f



(

2

)6

∵

f



(x)

在[

1

,

2

]上连续，设其最大值为

M

，最小值为

m

.

则

m

1

[f



(

1

)f



(

2

)]M

2

再由介值定理，

[

1

,

2

](1,1)

使

f



(

)

1

[f



(

1

)f



(

2

)]3

2

例2 设函数

f(x)

在闭区间[

a,b

]上具有二阶导数，且

f

(a)f

(b)0

，试证：在

(a,b)

内至少存在一点

，使

|f



(

)|4

成立。

f(b)f(a)

2

(ba)

分析：因所欲证的是不等式，故需估计

f



(

)

，由于一阶泰勒公式

f(x)f(x

0

)f

(x

0

)(xx

0

)

1

（其中

在

x

0

,x

之间）

f



(

)(xx

0

)

2

，

2

含有

f



(

)

，因此应该从此入手. 再由

f

(a)f

(b)0

知，应在

[a,

abab

],[,b]

两个区间上分别应用泰勒公式，以便消去公式中的

f

(x)

项，同时又

22

2

能出现

(ba)

项.

证：在

[a,

abab

]

与

[,b]

上分别用泰勒公式，便有

22

f(

abab1ba

2

ab

)f(a)f

(a)(a)f



(

1

)(),a

1

.

222!22

abab1ba

2

ab

)f(b)f

(b)(b)f



(

2

)(),

2

b

.

222!22

f(

两式相减，得

1

|f(b)f(a)|(ba)

2

|f\'\'(

1

)f\'\'(

2

)|

8

11

(ba)

2

(|f\'\'(

1

)||f\'\'(

2

)|)

42

43

1

(ba)

2

max{|f\'\'(

1

)|,|f\'\'(

2

)|}

.

4

所以至少存在一点

(a,b)

，使得

|f



(

)|4|

f(b)f(a)

|

(ba)

2

§2.3 导数的应用

（甲）内容要点

一、判断函数的单调性

二、函数的极值

1、定义 设函数

f

x

在

a,b

内有定义，

x

0

是

a,b

内的某一点，则

如果点

x

0

存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点

x

xx

0

，总有

f

x

f

x

0

，

则称

f

x

0

为函数

f

x

的一个极大值，称

x

0

为函数

f

x

的一个极大值点；

如果点

x

0

存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点

x

xx

0

，总有

f

x

f

x

0

，

则称

f

x

0

为函数

f

x

的一个极小值，称

x

0

为函数

f

x

的一个极小值点。

函数的极大值与极小值统称极值。极大值点与极小值点统称极值点。

2、必要条件（可导情形）

设函数

f

x

在

x

0

处可导，且

x

0

为

f

x

的一个极值点，则

f

x

0

0

我们称满足

f

x

0

0

的

x

0

为

f

x

的驻点，可导函数的极值点一定是驻点，反之不然。

极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。

3、第一充分条件

设

f

x

在

x

0

处连续，在0<

xx

0

内可导，

f

x

0

不存在，或

f

x

0

＝0

0

1

如果在

x

0

,x

0

内的任一点x处，有

f

x

0

，而在

x

0

,x

0

内的任一点x

处，有

f

x

0

，则

f

x

0

为极大值，

x

0

为极大值点；

2

0

如果在

x

0

,x

0

内的任一点x处，有

f

x

0

，而在

x

0

,x

0

内的任一点x

处，有

f

x

0

，则

f

x

0

为极小值，

x

0

为极小值点；

3

0

如果在

x

0

,x

0

内与

x

0

,x

0

内的任一点x处，

f

x

的符号相同，那么

f

x

0

不是极值，

x

0

不是极值点

44

4、第二充分条件

设函数

f

x

在

x

0

处有二阶导数，且

f

x

0

0

，

f



x

0

0

，则

当

f



x

0

0

，

f

x

0

为极大值，

x

0

为极大值点

当

f



x

0

0

，

f

x

0

为极小值，

x

0

为极小值点

三、函数的最大值和最小值

1．求函数

f(x)

在

[a,b]

上的最大值和最小值的方法。

首先，求出

f(x)

在

(a,b)

内所有驻点，和不可导点

x

1

,...,x

k

。

其次计算

f(x

1

),...,f(x

k

),f(a),f(b)

最后，比较

f(x

1

),...,f(x

k

),f(a),f(b)

，其中最大者就是

f(x)

在

[a,b]

上的最大值

M

；

其中最小者就是

f(x)

在

[a,b]

上的最小值

m

。

2．最大（小）值的应用问题

首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间，然后再求出目标函数在区间内的

最大（小）值。

四、凹凸性与拐点

1．凹凸的定义

设

f(x)

在区间Ⅰ上连续，若对任意不同的两点

x

1

,x

2

，恒有

f(

x

1

x

2

xx

2

11

)[f(x

1

)f(x

2

)]

（

f(

1

)[f(x

1

)f(x

2

)]

），则称

f(x)

在Ⅰ上

2222

是凸（凹）的

2．曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。

五、渐近线及其求法

六、函数作图

七、曲率

（乙）典型例题

一、证明不等式

例1．求证：当

x0

时，

(x1)lnx(x1)

证：令

f(x)(x1)lnx(x1)

22

22

45

只需证明

x0

时，

f(x)0

易知

f(1)0

，

f

(x)2xlnxx2

1

，

x

f\'(1)0

，由于

f

(x)

的符号不易判断，故进一步考虑

f



(x)2lnx1

1

，

f



(1)20

x

2

2(x

2

1)

再考虑

f



(x)

x

3

于是，当

0x1

时，

f



(x)0

；

当

1x

时，

f



(x)0

由此可见，

f



(1)2

是

f



(x)

的最小值。

由于

f



(x)20

，这样

x0

时，

f

(x)

单调增加

又因为

f

(1)0

，所以

0x1

时，

f

(x)0

；

1x

时，

f

(x)0

。

再由

f(1)0

，可知

0x1

时，

f(x)0

；

1x

时，

f(x)0

，这样证明了

x0

时，

f(x)0

。

证二：令

f(x)lnx

x1

（自己思考）

x1

证三：令

f(x)(x1)lnx(x1)

（自己思考）

例2 设

ba0

，求证：

ln

b2(ba)

aba

证：令

f(x)(lnxlna)(xa)2(xa),(xa)

46

则

f

(x)

1

(xa)(lnxlna)2

x

a1xa

f



x

2



2

0

(xa)

x

xx

于是可知

f

(x)

在

xa

时单调增加，又

f

(a)0

，∴

xa

时

f

(x)0

，这样

f(x)

单调

增加。因此，

ba0

时

f(b)f(a)0

，得证。

例3 设

eabe

2

，证明

ln

2

bln

2

a

4

e

2

(ba)

证一：对函数

f(x)ln

2

x

在

[a,b]

上用拉格朗日中值定理

ln

2

bln

2

a

2ln

(ba)

（

a

b

）

再来证明

(t)

lnt

t

在

te

时单调减少

∵

\'(t)

1lnt

t

2

0(te)

从而

(

)

(e

2

)

，即

ln

lne

2

2

e

2

e

2

故

ln

2

bln

2

a

4

e

2

(ba)

证二：设

g(x)ln

2

x

4lnx4

e

2

x

，则

g\'(x)2

x

e

2

g\'\'(x)2

1lnx

x

2

当

xe

时，

g



(x)0

，故

g

(x)

单调减少

g

(x)g

(e

2

)

4

e

2

4

e

2

0

因此

exe

2

时，由

g

(x)0

可知

g(x)

单调增加

题设

eabe

2

，于是

g(b)g(a)

故

ln

2

b

4

e

2

bln

2

a

4

22

4

e

2

a

，即

lnblna

e

2

(ba)

47

二、有关函数的极值

例1、设函数

f(x)

在

(,)

内连续，其导函数的图形如图所示，则

f(x)

有 [ ]

（A）一个极小值点和两个极大值点

（B）两个极小值点和一个极大值点

（C）两个极小值点和两个极大值点

（D）三个极小值点和一个极大值点

例2 设

f(x)

的导数在

xa

处连续，又

lim

f

(x)

xa

xa

1

，

则[ ]

（A）

xa

是

f(x)

的极小值点

（B）

xa

是

f(x)

的极大值点

（C）

(a,f(a))

是曲线

yf(x)

的拐点

（D）

xa

不是极值点，

(a,f(a))

也不是曲线

yf(x)

的拐点

例3 设

yf(x)

有二阶导数，满足

xf



(x)3x[f

(x)]

2

1e

x

求证：

f

(x

0

)0

时，

f(x

0

)

为极小值

证：（1）

x

0

0

情形。

f



(x

1e

x

0

x

0

0,1e

x

0

0

0

)

x

0

x

故

f(x

0

)

为极小值

0

x

0

0,1e

0

0

（2）

x

0

0

情形

这时方程条件用

x0

代入不行，无法得出上面的公式

∵

f



(x)

存在 ∴

f

(x)

连续，

lin

x0

f

(x)f

(0)0

f



(0)lim

f

(x)f

(0)

x0

x0

lim

f

(x)f



(x)

（用洛必达法则）

x0

x

lim

x0

1

x

lim{

1e1e

x

x0

x

3[f

(x)]

2

}lim

x0

x

（再用洛必达法则）

lim

e

x

x0

1

10

∴

f(0)

是极小值

三、最大（小）值的应用题（略）

48


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