微积分基础教程

2024年4月15日发(作者：安徽中考数学试卷及答案分析)

微积分教程

微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学

分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学

包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率

等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体

积等提供一套通用的方法。

微积分的基本介绍

微积分学基本定理指出，求不定积分与求导函数互为逆运算[把上下限代入不定积分即

得到积分值，而微分则是导数值与自变量增量的乘积]，这也是两种理论被统一成微积分学

的原因。我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中，微分学一般

会先被引入。

微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无

限求和’就是积分。十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的

工作，分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，但是理

论基础是不牢固的。因为“无限”的概念是无法用已经拥有的代数公式进行演算，所以，

直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，

这门学科才得以严密化。

学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性：因为，代数是人们

已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。所以，必须要利用代数处理代表

无限的量，这时就精心构造了“极限”的概念。在“极限”的定义中，我们可以知道，这

个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，相反引入了一个过程任意小量。就是说，除的数不

是零，所以有意义，同时，这个小量可以取任意小，只要满足在德尔塔区间，都小于该任

意小量，我们就说他的极限为该数——你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，

这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能性。这个概念是成功的。

微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、

经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。特别是计

算机的发明更有助于这些应用的不断发展。

客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中

引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。

由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支

就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十

分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。

微积分的本质

【参考文献】 刘里鹏.《从割圆术走向无穷小——揭秘微积分》，长沙：湖南科学技术

出版社，2009

1．用文字表述：

增量无限趋近于零，割线无限趋近于切线，曲线无限趋近于直线，从而以直代曲，以

线性化的方法解决非线性问题，这就是微积分理论的精髓所在。