高中数学《复数》基础知识及经典练习题(含答案解析)

2024年4月16日发(作者：盘龙区七年级数学试卷答案)

高中数学《复数》基础知识及经典练习题（含答案解析）

一、基础知识：

复数题目通常在高考中有所涉及，题目不难，通常是复数的四则运算1、复数

z

的代数形

式为

z=a+bi

(

a,bR

)

，其中

a

称为

z

的实部，

b

称为

z

的虚部（而不是

bi

)，

2、几类特殊的复数：

（1）纯虚数：

a=0,b0

例如：

5i

，

i

等

（2）实数：

b=0

3、复数的运算：设

z

1

=a+bi,z

2

=c+di

(

a,b,c,dR

)

（1）

i=−1

（2）

z

1

z

2

=

(

a+c

)

+

(

b+d

)

i

（3）

z

1

z

2

=

(

a+bi

)



(

c+di

)

=ac+adi+bci+bdi=

(

ac−bd

)

+

(

ad+bc

)

i

2

2

注：乘法运算可以把

i

理解为字母，进行分配率的运算。只是结果一方面要化成标准形式，

另一方面要计算

i=−1

（4）

2

z

1

a+bi

(

a+bi

)(

c−di

)(

ac+bd

)

+

(

bc−ad

)

i

===

z

2

c+di

(

c+di

)(

c−di

)

c

2

+d

2

注：除法不要死记公式而要理解方法：由于复数的标准形式是

z=a+bi

(

a,bR

)

，所以不

允许分母带有

i

，那么利用平方差公式及

i=1

的特点分子分母同时乘以

z

2

的共轭复数即可。

2

4、共轭复数：

z=a−bi

， 对于

z

而言，实部相同，虚部相反

5、复数的模：

z=a

2

+b

2

z=zz

(

zz

2

)

22

6、两个复数相等：实部虚部对应相等

7、复平面：我们知道实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数

a+bi

(

a,bR

)

都与平面直角坐标系上的点

(

a,b

)

一一对应，将这个平面称为复平面。横坐标代表复数的实部，

横轴称为实轴，纵轴称为虚轴。

8、处理复数要注意的几点：

（1）在处理复数问题时，一定要先把复数化简为标准形式，即

z=a+bi

(

a,bR

)

- 1 -

（2）在实数集的一些多项式公式及展开在复数中也同样适用。例如：平方差公式，立方和差

公式，二项式定理等

二、典型例题

例1：若复数

z=2i+

2

，其中

i

是虚数单位，则复数

z

的模为（ ）

1+i

2

C.

3

2

D. 2 A.

2

B.

思路：需要求复数的模，那首先要化成标准形式

z=a+bi

，进行化简，目前需要处理的就是

分式，化简再求模即可

解：

z=2i+

z=

答案：A

2

(

1−i

)

2

=2i+=2i+1−i=1+i

1+i

(

1+i

)(

1−i

)

2

z

2

−2z

例2： 已知复数

z=1−i

，则

=

（ ）

z−1

A.

2i

B.

−2i

C.

2

D.

−2

思路：本题可直接带入计算，也可考虑先化简再求值

z

2

−2zz

2

−2z+1−111

解：

==z−1−=−i−=−2i

z−1z−1z−1−i

答案：B

例3： 设

i

是虚数单位，且

i

2014

=

i−k

，则实数

k

等于（ ）

ki−1

A.

2

B.

0

C.

1

D.

−1

思路：等号左边

i

2014

=i

2

=−1

，若化简等号右边则比较麻烦。所以考虑利用等式性质两边同

- 2 -

乘

(

ki−1

)

,然后利用复数相等的性质求出

k

值

解：

i

2014

=

i−ki−k

−1=1−ki=−k+i

k=−1

ki−1ki−1

答案：D

小炼有话说：

（1）

i

的指数幂呈周期性变化（周期为4)即

i

期性的想法，将

i

的较高指数幂进行降次。

（2）对于呈分式形式的复数等式，一般两种处理方法：一是对分式本身进行化简，二是利用

等式性质进行“去分母”（尤其是分母形式较复杂时）

例4：复数

z=i

3

−

A．第一象限

4n+1

=i,i

4n+2

=−1,i

4n+3

=−i,i

4n

=1

.故可依照周

2i

，在复平面上对应的点位于（ ）

1+i

B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

思路：将复数化为标准形式后再进行判断。

解：

z=−i−

答案：C

例5：（2013天津河东一模，1）若

z=

2i

=−i−(i+1)=−1−2i

在复平面上对应的点为

(

−1,−2

)

，所以在第三象限

1+i

a+i

是纯虚数，则实数

a

的值是（ ）

1−i

A.

−1

B.

0

C.

1

D. 2

思路：涉及到纯虚数的概念，所以首先把

z

化成标准形式，再根据纯虚数的定义即可求出

a

解：

z=

a+i

(

a+i

)(

1+i

)

a−1+

(

a+1

)

i

a−1a+1

===+i

1−i

(

1−i

)(

1+i

)

222

由纯虚数可得

答案：C

a−1

=0a=1

2

例6： 若复数

a−3a+2+

(

a−1

)

i

是纯虚数，则实数

a

的值是（ ）

2

()

A.

1

B.

2

C.

1

或

2

D.

−1

思路：纯虚数：实部为零且虚部不为零，所以要将

a

满足的条件写全

- 3 -