2018年上海市静安区高考数学一模试卷及参考答案

2024年4月13日发(作者：小学数学试卷分析课)

2018年上海市静安区高考一模数学试卷

一、填空题（本大题共12小题，1-6每小题4分，7-12每题5分，共54分）

1．（4分）计算（1﹣）的结果是 ．

的值是 （其中i为虚数单位）．

﹣＝1有公共的渐近线，且经过点A（﹣3，2）的

2．（4分）计算行列式

3．（4分）与双曲线

双曲线方程是 ．

4．（4分）从5名志愿者中选出3名，分别从事布置、迎宾策划三项不同的工作，

每人承担一项工作，则不同的选派方案有 种（用数值作答）．

5．（4分）已知函数f（x）＝a•2

x

+3﹣a（a∈R）的反函数为y＝f

1

（x），则函数

﹣

y＝f

﹣

1

（x）的图象经过的定点的坐标为 ．

6．（4分）在（x﹣a）

10

的展开式中，x

7

的系数是15，则实数a＝ ．

7．（5分）已知点A（2，3）到直线ax+（a﹣1）y+3＝0的距离不小于3，则实

数a的取值范围是 ．

8．（5分）类似平面直角坐标系，我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的

坐标系（两条数轴的原点重合于O点且单位长度相同）称为斜坐标系，在斜

坐标系xOy中，若＝x+y（其中、分别为斜坐标系的x轴，y轴

正方向上的单位向量，x，y∈R），则点P的坐标为（x，y），若在斜坐标系xOy

中，∠xOy＝60°，点M的坐标为（1，2），则点M到原点O的距离为 ．

9．（5分）已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，该圆锥的体积为π，则该圆

锥的侧面积等于 ．

10．（5分）已知函数f（x）＝

则实数a的取值范围为 ．

11．（5分）已知函数f（x）＝|sin

2

x﹣cosxcos（﹣x）﹣|，若将函数y＝

（a＞0，a≠1）是R上的增函数，

f（x）的图象向左平移a个单位（0＜a＜π），所得图象关于y轴对称，则实数

a的取值集合为 ．

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12．（5分）已知函数f（x）＝ax

2

+4x+1，若对此任意x∈R，都有f（f（x））≥0

恒成立，则实数a的取值范围为 ．

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）已知无穷等比数列{a

n

}的各项之和为，首项a

1

＝，则该数列的公

比为（ ）

A．

B．

C．﹣

D．或

14．（5分）设全集U＝R，A＝{x|y＝log

3

（1﹣x）}，B＝{x||x﹣1|＜1}，则（∁

U

A）

∩B＝（ ）

A．（0，1]

B．（0，1）

C．（1，2）

D．[1，2）

15．（5分）两条相交直线l，m都在平面α内，且都不在平面β内，若有甲：l

和m中至少有一条直线与β相交，乙：平面α与平面β相交，则甲是乙的（ ）

A．充分非必要条件

C．充要条件

16．（5分）若曲线|y|＝x+2与C：

值范围为（ ）

A．（﹣∞，﹣1]∪（1，+∞）

C．（1，+∞）

B．（﹣∞，﹣1]

D．[﹣1，0）∪（1，+∞）

+

B．必要非充分条件

D．既非充分也非必要条件

＝1恰有两个不同交点，则实数λ取

三、解答题（本大题共5小题，共14+14+14+16+18＝76分）

17．（14分）如图，在正三棱柱ABC﹣A

1

B

1

C

1

中，AA

1

＝4，异面直线BC

1

与AA

1

所成角的大小为．

（1）求正三棱柱ABC﹣A

1

B

1

C

1

的体积；

（2）求直线BC

1

与平面AA

1

C

1

C所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）

18．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，设向量＝（a，

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cosB），＝（b，cosA），且∥，≠．

（1）求证：A+B＝；

（2）若x•sinAsinB＝sinA+sinB，试确定实数x的取值范围．

19．（14分）如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD，在点A处有

一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°（其中点P，Q分别在边

BC，CD上），设∠PAB＝θ，tanθ＝t．

（1）当三点C，P，Q不共线时，求直角△CPQ的周长．

（2）设探照灯照射在正方形ABCD内部区域PAQC的面积为S（平方百米），试

求S的最大值．

20．（16分）如图，已知满足条件|z﹣3i|＝|﹣i|（其中i为虚数单位）的复数z

在复平面xOy对应点的轨迹为圆C（圆心为C），设复平面xOy上的复数z＝

x+yi（x∈R，y∈R）对应的点为（x，y），定直线m的方程为x+3y+6＝0，过A

（﹣1，0）的一条动直线l与直线m相交于N点，与圆C相交于P，Q两点，

M是弦PQ中点．

（1）若直线l经过圆心C，求证：l与m垂直；

（2）当|PQ|＝2

（3）设t＝•

时，求直线l的方程；

，试问t是否为定值？若为定值，请求出t的值，若t不为定

值，请说明理由．

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21．（18分）已知数列{a

n

}的通项公式a

n

＝

（1）若a

1

，a

2

，a

4

成等差数列，求a的值；

（n，a∈N*）．

（2）是否存在k（k≥10且k∈N*）与a，使得a

1

，a

3

，a

k

成等比数列？若存在，

求出k的取值集合，若不存在，请说明理由；

（3）求证：数列{a

n

}中的任意一项a

n

总可以表示成数列{a

n

}中的其它两项之积．

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2018年上海市静安区高考一模数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共12小题，1-6每小题4分，7-12每题5分，共54分）

1．（4分）计算（1﹣）的结果是 0 ．

【考点】8J：数列的极限．

【解答】解：（1﹣）＝＝1＝0．

故答案为：0．

2．（4分）计算行列式的值是 ﹣6i （其中i为虚数单位）．

【考点】OM：二阶行列式的定义．

【解答】解：

故答案为：﹣6i．

3．（4分）与双曲线﹣＝1有公共的渐近线，且经过点A（﹣3，2）的

＝（1﹣i）（1+i）﹣2（3i+1）＝1﹣i

2

﹣6i﹣2＝﹣6i．

双曲线方程是 ．

【考点】KB：双曲线的标准方程；KC：双曲线的性质．

【解答】解：与双曲线﹣＝1有公共的渐近线，

设所求双曲线的方程为

代入点A（﹣3，2

﹣＝m（m≠0），

），得m＝．

﹣＝．

则所求双曲线的方程为

故答案为：．

4．（4分）从5名志愿者中选出3名，分别从事布置、迎宾策划三项不同的工作，

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每人承担一项工作，则不同的选派方案有 60 种（用数值作答）．

【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．

【解答】解：根据题意，从5名志愿者中选出3名，分别从事三项不同的工作，

则有A

5

3

＝60种不同的选派方案；

故答案为：60．

5．（4分）已知函数f（x）＝a•2

x

+3﹣a（a∈R）的反函数为y＝f

﹣

1

（x），则函数

y＝f

﹣

1

（x）的图象经过的定点的坐标为 （3，0） ．

【考点】4R：反函数．

【解答】解：∵f（x）＝a•2

x

+3﹣a＝a（2

x

﹣1）+3过定点（0，3），

∴f（x），的反函数y＝f

﹣

1

（x）的图象经过定点（3，0）．

故答案为：（3，0）．

6．（4分）在（x﹣a）

10

的展开式中，x

7

的系数是15，则实数a＝ ﹣ ．

【考点】DA：二项式定理．

【解答】解：（x﹣a）

10

的展开式的通项为T

r+1

＝C

10

r

x

10

﹣

r

（﹣a）

r

令10﹣r＝7得r＝3

∴x

7

的系数是﹣a

3

C

10

3

∵x

7

的系数是15

∴﹣a

3

C

10

3

＝15

解得

7．（5分）已知点A（2，3）到直线ax+（a﹣1）y+3＝0的距离不小于3，则实

数a的取值范围是 （﹣∞，﹣3]∪

【考点】IT：点到直线的距离公式．

．

【解答】解：由题意可得：

化为：7a

2

+18a﹣9≥0，

解得a≤﹣3或a．

．

≥3，

故答案为：（﹣∞，﹣3]∪

8．（5分）类似平面直角坐标系，我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的

坐标系（两条数轴的原点重合于O点且单位长度相同）称为斜坐标系，在斜

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坐标系xOy中，若＝x+y（其中、分别为斜坐标系的x轴，y轴

正方向上的单位向量，x，y∈R），则点P的坐标为（x，y），若在斜坐标系xOy

中，∠xOy＝60°，点M的坐标为（1，2），则点M到原点O的距离为

【考点】F3：类比推理．

．

【解答】解：由题意可得

平方可得

2

＝

•

+2

，

＝

2

+4

2

+4

＝1+4+4×1×1×＝7，

可得||＝，

．

故答案为：

9．（5分）已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，该圆锥的体积为π，则该圆

锥的侧面积等于 4π ．

【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．

【解答】解：设圆锥的母线长为l，则圆锥的底面半径为r＝

∴圆锥的体积V＝πr

2

•h＝

∴l＝2，r＝2，

π．

π＝，

，高h＝r＝．

∴圆锥的侧面积为S

侧

＝πrl＝4

故答案为：4π．

10．（5分）已知函数f（x）＝

则实数a的取值范围为 [3，5） ．

（a＞0，a≠1）是R上的增函数，

【考点】5B：分段函数的应用；KI：圆锥曲线的综合．

【解答】解：函数f（x）＝（a＞0，a≠1）是R上的增函数，

则，

解得3≤a＜5，

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故答案为：[3，5）．

11．（5分）已知函数f（x）＝|sin

2

x﹣cosxcos（﹣x）﹣|，若将函数y＝

f（x）的图象向左平移a个单位（0＜a＜π），所得图象关于y轴对称，则实数

a的取值集合为 {，，，} ．

【考点】HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．

【解答】解：函数f（x）＝|sin

2

x﹣

＝|

＝|

+cosxsinx﹣|

cosxcos（﹣x）﹣|

sin2x﹣cos2x|

）|，

＝|sin（2x﹣

函数y＝f（x）的图象向左平移a个单位（0＜a＜π），

得y＝|sin（2（x+a）﹣）|＝|sin（2x+2a﹣）|的图象，

且函数的图象关于y轴对称，

∴2a﹣

∴a＝

＝kπ，k∈Z；

+kπ，k∈Z；

又0＜a＜π，

∴a＝或或或；

，

，

，

}．

，}．

∴实数a的取值集合为{

故答案为：{，，

12．（5分）已知函数f（x）＝ax

2

+4x+1，若对此任意x∈R，都有f（f（x））≥0

恒成立，则实数a的取值范围为 [3，+∞） ．

【考点】6P：不等式恒成立的问题；KI：圆锥曲线的综合．

【解答】解：当a＝0时，函数f（x）＝4x+1，f[f（x）]＝16x+5，

不满足对任意x∈R，f[f（x）]≥0恒成立，

当a＞0时，f（x）≥f（﹣）＝1﹣

f[f（x）]≥f（1﹣）＝a（1﹣）

2

+4（1﹣）+1＝a﹣3≥0，

解得a≥3，

第8页（共17页）

当a＜0时，f（x）≤1﹣，

不满足对任意x∈R，f[f（x）]≥0恒成立，

综上可得：a≥3．

故答案为：[3，+∞）．

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）已知无穷等比数列{a

n

}的各项之和为，首项a

1

＝，则该数列的公

比为（ ）

A．

B．

C．﹣

D．或

【考点】88：等比数列的通项公式．

【解答】解：由题意可得：

故选：B．

14．（5分）设全集U＝R，A＝{x|y＝log

3

（1﹣x）}，B＝{x||x﹣1|＜1}，则（∁

U

A）

∩B＝（ ）

A．（0，1]

B．（0，1）

C．（1，2）

＝，解得q＝．

D．[1，2）

【考点】1H：交、并、补集的混合运算．

【解答】解：解1﹣x＞0得，x＜1；

∴A＝{x|x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}；

∴∁

U

A＝{x|x≥1}；

∴（∁

U

A）∩B＝{x|1≤x＜2}＝[1，2）．

故选：D．

15．（5分）两条相交直线l，m都在平面α内，且都不在平面β内，若有甲：l

和m中至少有一条直线与β相交，乙：平面α与平面β相交，则甲是乙的（ ）

A．充分非必要条件

C．充要条件

B．必要非充分条件

D．既非充分也非必要条件

【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．

【解答】解：两条相交直线l，m都在平面α内，且都不在平面β内，甲：l和

m中至少有一条直线与β相交，乙：平面α与平面β相交，

由甲⇒乙，反之也成立，否则l∥β，m∥β，l∩m＝P，l，m⊂α，可得α∥β，矛

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