2024年3月11日发(作者：中美数学试卷一样吗)
2018年全国初中数学联赛
一、选择题（每小题7分，共42分）
1、a，b，c为有理数，且等式
ab2c3526
成立，则2a+999b+1001c的值
是（ ）
（A）1999（B）2000（C）2001（D）不能确定
2、若
ab1
，且有5a
2
+2001a+9=0及
9b
2
2001b50
，则
a
的值是（ ）
b
（A）
9
（B）
5
（C）
2001
（D）
2001
5
959
3、已知在△ABC中，∠ACB=90
0
，∠ABC=15
0
，BC=1，则AC的长为（ ）
（A）
23
（B）
23
（C）
03
（D）
32
4、如图，在△ABC中，D是边AC上的一点，下面四种情况中，△ABD∽△ACB
不一定成立的情况是（ ）
（A）
ADBCABBD
（B）
AB
2
ADAC
（C）∠ABD=∠ACB （D）
ABBCACBD
bb
2
4ac
5、①在实数范围内，一元二次方程
axbxc0
的根为
x
；②在△
2a
2
ABC中，若
AC
2
BC
2
AB
2
，则△ABC是锐角三角形；③在△ABC和
A
1
B
1
C
1
中，a，b，
c分别为△ABC的三边，
a
1
,b
1
,c
1
分别为
A
1
B
1
C
1
的三边，若
aa
1
,bb
1
,cc
1
，则△ABC
的面积S大于
A
1
B
1
C
1
的面积
S
1
。以上三个命题中，假命题的个数是（ ）
（A）0（B）1（C）2（D）3
6、某商场对顾客实行优惠，规定：①如一次购物不超过200元，则不予折扣；②
如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次购物超过500
元的，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠。某人两次去
购物，分别付款168元和423元；如果他只去一次购物同样的商品，则应付款是（ ）
（A）522.8元（B）510.4元（C）560.4元（D）472.8
二、填空题（每小题7分，共28分）
1、已知点P在直角坐标系中的坐标为（0，1），O为坐标原点，∠QPO=150
0
，且P
到Q的距离为2，则Q的坐标为 。
2、已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离
为 。
3、已知
x,y
是正整数，并且
xyxy23,x
2y
xy
2
120
，则
x
2
y
2
= 。
4、一个正整数，若分别加上100和168，则可得到两个完全平方数，这个正整数
为 。
三、解答题（共70分）
1、在直角坐标系中有三点A（0，1），B（1，3），C（2，6）；已知直线
yaxb
上
横坐标为0、1、2的点分别为D、E、F。试求
a,b
的值使得AD
2
+BE
2
+CF
2
达到最大值。
（20分）
（1） 证明：若
x
取任意整数时，二次函数
yax
2
bxc
总取整数值，那么
2a,ab,c
都是整数；
（2）写出上述命题的逆命题，并判断真假，且证明你的结论。（25分）
3、如图，D，E是△ABC边BC上的两点，F是BC延长线上的一点，∠DAE=∠
CAF。（1）判断△ABD的外接圆与△AEC的外接圆的位置关系，并证明你的结论；（2）
若△ABD的外接圆的半径的2倍，BC=6，AB=4，求BE的长。
H
D
F
A
A
E
¦È
B
O
DE
C
G
B
C
F
解答题：
1、如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH所夹的锐
角为θ，且∠BEG与∠CFH都是锐角。已知EG=k，FH=
l
，四边形EFGH的面积为S。
（1）求证：sinθ=
2S
；
kl
（2）试用
k,l,S
来表示正方形的面积。
2、求所有的正整数a，b，c，使得关于x的方程
x
2
3ax2b0
，
x
2
3bx2c0
，
x
2
3cx2a0
的所有的根都是正整数。
3、在锐角△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，DE⊥AC，E为垂足，DF⊥AB，F为垂
足。O为△ABC的外心。
求证：（1）△AEF∽△ABC；
（2）AO⊥EF
4、如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，直线
l
平行于BD，且与AB、
DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P。
求证：PM
PN＝PR
PS
A
O
D
B
C
l
M
NPR
S
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