天津市大学数学竞赛历年试题及答案(完整)

2024年3月21日发(作者：2023高考数学试卷视频全解)

天津市大学数学竞赛历年试题及答案（1）

(人文学科及医学等类)

一、填空：（请将最终结果填在相应的横线上面。）

1．

.

f(x)

lim

x0

g(x)

lim

x0

f(x)

1,lim

x0

g(x)

2

sinasinx

lim

x0

3x

2

2

cosx

3

4x

sinasinx

3x

2

4x

3

2

limcosx

x0

cosasinx

lim

x0

2asinx

lim

2

x0

6x12x

2asinxcosx

2

6x12x

2acosx

lim

x0

624x

a

3

1

2．

y

令

y

2

x

x2ln2

1

ln2

.

32

x

0

，得

x

3．=

令

u

2

2

1

x

ude

2

2

2

u

1,

0

e

x1

dx

2

1

u

1

e2udu

u

2ue

e

u

2

1

u

2

1

edu

22ee

22e

22e

2e

2

ee

ee

2

2

e

e

4．

dy

dx

5．

为

fx2x,

2

dy

dx

2

2

fx4x

22

2fx,

2

切线方程

.

3.2e

2

1．3 2. -1/ln2 4. 5．

2

切线的斜率为

3

，而

y

令

y

x

即

3x

3,

得

x

1

时，

y

y60

-1,

即

y

3

33(x

x

3x

1

6x,

3,

切线方程：

y1)

二、选择题：（每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”

前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）

1．设函数

f(x)

连续，则下列函数中必为偶函数的是( A).

(A)；(B)；

(C)；

2. D 3. B 4. B

x

0

(D)

5. C

.

解：令

F(x)

F(x)

x

0

tf(t)

x

0

f(t)dt,

f(t)dt

f(u)d(u)

x

tf(t)

(u)f(u)

f(u)du

x

0

uf(u)

0

tf(t)f(t)dt

F(x)

2．设函数

f(x)

具有一阶导数，下述结论正确的是

(A)若

f(x)

只有一个零点，则

(B) 若

\'

\'

( D )。

反例：y=2x

反例：y=x

2

f(x)

必至少有两个零点；

f(x)

至少有一个零点，则

f(x)

必至少有两个零点；

(C) 若

f(x)

没有零点，则

(D) 若

f(x)

至少有一个零点；反例：y=2+sinx

f(x)

至多有一个零点。罗尔定理

\'

f(x)

没有零点，则

\'

3. 设

f(x)

是定义在（0，

+∞

）上的非负可导函数，且满足xf\' （x）-f

（

x

）

>0

恒成立，若a>b>0，则必有

(A)

af(a)

(B)

bf(a)

(C)

af(b)

(D)

bf(b)

3．

设非负函数

f(x)

在区间(0,+∞)具有二阶导数，满足

f(0)0,f

\'\'

(x)0,又0ab,

则当

axb,

时恒有(

(A)

af(x)xf(a)

；(B)

bf(x)xf(b)

；

(C)

xf(x)bf(b)

；(D)

xf(x)af(a)

。

令F(x)

fx

,Fx

xfxfx

x

x

2

xfxfxf0

x

2

xfxxfxfxf

x

2

x

2

0x

又

fx0,故fx是严格减少函数，fxf,

Fx0,Fx

严格单调减少，

FxFb,即

fxfb

xb

fxfx

xx

2

B ).

Fx

xfx

x

2

fxxf

2

x

x

4

2xfx

f

x

f

x

f

x

f

f

xf

x

x

2

f

x

x

2

2fx

x

3

x2

x

3

fxxfx

x2

x

3

fxf0xfx

x2

3

x

x

x

为严格单调减函数，可

xfxfx

知

F

0

x0

x

4．函数

( B ).

(B) 0；(C) 1；(D)π/2。(A) –π/2；

注：如果 x

称 x

0

0

是函数 f(x) 的间断点，但左极限及右极限都存在，则

(discontinuity point of the first 为函数 f(x) 的第一类间断点

kind)。

在第一类间断点中，左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳

跃间断点。

非第一类间断点即为第二类间断点

second kind)。

1

(discontinuity point of the

e

x

limfx

x0

lim

x0

etanx

1

xe

x

e

1

1

e

lim

x0

x

e

lim

x0

e

x

x

2

1

1

1

，

x=0为第一类间断点

e

limfx

x

2

x

e

,

e

x

x

limfx

x1

2

,

5．设函数

f(x)

具有一阶导数，

(

(A)

(B)

(C)

C ).

\'

(x

0

,f(x

0

))(x

0

0)

是曲线

yf(x)

的拐点，则

x

0

必是

f(x)

的驻点；

(x

0

,f(x

0

))

必是

y

考虑函数

ye

x

2

f(x)

的拐点；考虑函数

yx1

3

(x

0

,f(x

0

))

必是

y

xx

0

与

x

f(x)

的拐点；可结合图形考虑, 如

yx1

3

(D)对任意

考虑

三、

x

0

，

yf(x)

的凹凸性相反。凹凸性仅在x0的某个领域内

四、已知曲线

yf(x)

与曲线在点(0,0)处具有相同的切线,

写出该切线方程,并求极限

五、设函数

f(x)

在区间(0,+∞)内有定义，且对任意x,y∈(0,+∞)都有

f(xy)

又

f(x)f(y)

，

f

(1)

存在且等于

a

，试讨论

f(x)

在任意

f(x)

。

\'

\'

x∈(0,+∞)时的可导性，并求

六、设

f

(

x

)

x

sin2

x

,求

f

2(n)

(0)(

n

3)