全国大学生数学竞赛数学类试题

2024年3月21日发(作者：白河县中考数学试卷真题)

全国大学生数学竞赛数学类试题

第一题：

已知函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，且在 (a, b) 内可导。若 f(a) = 0,

f(b) = 1, 且存在 c ∈ (a, b)，使得 f(c) = 2，则在区间 (a, b) 必存在点 d，

使得 f\'(d) = 3。

解析：

由题意可知，函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，因此满足了介值定

理的条件。由于 f(a) = 0, f(b) = 1，根据介值定理，对于任意介于 0 和 1

之间的数 k ∈ (0, 1)，在区间 (a, b) 内必存在点 x_k，使得 f(x_k) = k。

现令 k = 2，根据题目给出的条件，存在 c ∈ (a, b)，使得 f(c) = 2。

因此，在区间 (a, b) 内必存在点 d，使得 f(d) = 2。根据介值定理，对于

任意介于 1 和 2 之间的数 k ∈ (1, 2)，在区间 (a, b) 内必存在点 x_k，使

得 f(x_k) = k。这说明在区间 (a, b) 内必然存在点 x_3，使得 f(x_3) = 3。

根据题意，已知函数 f(x) 在区间 (a, b) 内可导，因此 f(x) 在 (a, b) 的

任何子区间内都满足拉格朗日中值定理的条件。根据拉格朗日中值定

理，对于区间 [d, x_3] 内的任意一点 ξ，必有：

f\'(ξ) = [f(x_3) - f(d)] / (x_3 - d) = [3 - 2] / (x_3 - d) = 1 / (x_3 - d) ≠ 0

因此，必然存在点 d ∈ (a, b)，使得 f\'(d) = 3。

综上所述，根据题目给出的条件和数学定理，我们可以得出在区间

(a, b) 必存在点 d，使得 f\'(d) = 3。

第二题：

已知函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，且在 (a, b) 内可导。若对于任意

的 x ∈ (a, b)，有 f\'(x) ≠ 0，则函数 f(x) 在区间 (a, b) 内满足什么性质？

解析：

根据题目给出的条件，函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续且可导，并

且对于任意的 x ∈ (a, b)，有 f\'(x) ≠ 0。这说明函数 f(x) 在区间 (a, b) 内

的导数不为零，即在该区间内函数的斜率始终不等于零。

根据导数的几何意义，函数的导数代表了函数曲线在各点处的切线

的斜率。因此，题目给出的条件表明函数 f(x) 在区间 (a, b) 内的曲线始

终不存在水平切线，也就是说函数 f(x) 在该区间内不会出现平坦的部

分。

简言之，函数 f(x) 在区间 (a, b) 内满足的性质为：其曲线在该区间

内不会有水平切线，即没有平坦的部分。

这个结果与题目给出的条件是一致的，说明题目中给出的条件在一

定程度上能够确定函数在区间内的性质。

综上所述，已知函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，且在 (a, b) 内可导，

对于任意的 x ∈ (a, b)，有 f\'(x) ≠ 0，则函数 f(x) 在区间 (a, b) 内没有平

坦的部分，即其曲线在该区间内不会有水平切线。